מלבן

הגדרת המלבן

ניתן להגדיר מלבן בשני אופנים :

מלבן הוא מרובע שארבעת  זוויותיו שוות ל 90 מעלות.
הערה : ניתן גם לומר מלבן הוא מרובע ששלוש מזוויותיו שוות ל 90 מעלות, משום שאם שלוש זוויות שוות ל-90 מעלות אז הרביעית צריכה להשלים ל 360 נעלות ולכן גם היא שווה ל 90 מעלות.

הגדרה שנייה :
מלבן הוא מקבילית שאחת מזוויותיה שווה ל- 90 מעלות.
הערה : אם אחת מזוויות המקבילית שוות ל- 90 מעלות אז כל זוויות המקבילית שוות ל – 90 מעלות, בגלל תכונות של זוויות הנוצרות על ידי ישרים מקבילים.

היקף מלבן

אם אורך צלע אחת במלבן שווה ל – a ואורך הצלע השנייה שווה ל – b אז היקף המלבן p נתון על ידי
(p=a+a+b+b=2(a+b.

 

שטח מלבן

אם a ו- b הן צלעות המלבן ו- s שטח המלבן אז:
s=a×b

שטח והיקף מלבן

תכונות המלבן

מלבן הוא מקבילית
מלבן הוא סוג של מקבילית. כלומר כל תכונות המקבילית מתקיימות בו. זו העובדה הבסיסית ביותר שאתם צריכים לזכור בהקשר של מלבן. רצוי ללמוד היטב את תכונות המקבילית לפני שלומדים את תכונות המלבן. אחזור עליהן בקצרה כאן.
מקבילית היא מרובע :
1) שבו זוג צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות.
2) שבו שני זוגות של צלעות מקבילות.
3) שבו שני זוגות של צלעות שוות.
4) שבו האלכסונים חוצים זה את זה. (חוצים כלומר מחלקים לחצי)
5) שבו שתי זוגות של זוויות נגדיות השוות זו לזו.

במה שונה מלבן ממקבילית

  1. האלכסונים במלבן שווים זה לזה
    תכונה זו ניתנת להוכחה בקלות בעזרת משפט פיתגורס.
    כתוצאה מתכונה זו האלכסונים יוצרים 4 משולשים שווה שוקיים. כאשר כל שתי זוגות משולשים חופפים.
  2. זווית המלבן הן 90 מעלות.
סיכום תכונות המלבן

סיכום תכונות המלבן

 

איך מוכיחים שמרובע הוא מלבן

ישנן שלושה דרכים להוכיח שמרובע הוא מלבן והדרך שבה נבחר תלויה בנתונים שיתנו לנו.

  1. מלבן הוא מקבילית שבה זווית אחת של 90 מעלות
    א) נוכיח שהמרובע הוא מקבילית.
    ב) נוכיח שלפחות אחת מזוויות המקבילית שווה ל 90 מעלות.
  2. מלבן הוא מקבילית שבה האלכסונים שוויםבדרך כלל נשתמש בהוכחה באחת משתי הדרכים הראשונות כאשר כבר נתון לנו שהמרובע הוא מקבילית והתוספת שלנו תהיה להוכיח שאחת מהזוויות שווה ל 90 מעלות.
  3. מלבן הוא מרובע ששלוש מזוויותיו שוות ל 90 מעלות
    בדרך זו נוכיח ששלוש מזוויות המלבן שוות ל 90 מעלות (ולכן באופן הכרחי גם הרביעית).

טעויות שכיחות במלבן

אלכסוני המלבן אינם חוצי זווית, כלומר אינם מחלקים את זוויות המלבן לשתי זוויות עם 45 מעלות

סיכום

* זכרו שמלבן הוא מקבילית ומקיים את כל תכונות המקבילית.
*הגדרות המלבן : 1)מלבן הוא מרובע ששלוש מזוויותיו שוות ל 90 מעלות. 2) מלבן הוא מקבילית שאחת מהזויות שלה שווה ל 90 מעלות.
* מלבן הוא מקבילית שהאלכסונים שלה שווים.
* בגלל המשפט הקודם ומכוון שאלכסוני המקבילית שווים זה לזה אלכסוני המלבן יוצרים עם הצלעות ארבע משולשים שווי שוקיים, כל שניים נגדיים חופפים.
*זכרו כיצד להוכיח שמרובע הוא מלבן.
*זכרו שאלכסוני המלבן אינם חוצי זווית (למעט מלבן שהוא ריבוע).

מלבן תרגילים

תרגיל 1

היקף מלבן הוא 40 ס"מ. היחס בין אורכי צלעותיו הוא 5:3.

מצאו את אורכי הצלעות.

פתרון:

  1. בהיקף המלבן כל צלע במלבן נכנסת פעמיים. במחצית ההיקף (20 ס"מ) פעם אחת.
  2. הצלע הגדולה היא 5/8 ואילו הצלע הקטנה היא 3/8.
  3. לכן אורך הצלע הגדולה (5/8) * 20 = 12.5 ס"מ.
    אורך הצלע הקטנה הוא (3/8)  * 20  = 7.5 ס"מ.

תרגיל 2

חוצה זוויות במלבן ABCD חוצה את הצלע שאליה הוא מגיע ביחס של 1:2. (AE=2ED).

מצאו:
1) מה היחס בין אורכי צלעות המלבן?
2) אם שטח המלבן הוא 24 סמ"ר. מה אורכי צלעות המלבן ומה הוא היקף המלבן?

מלבן ומשולש ישר זווית

פתרון:

  1. נגדיר ED=X.
  2. AE=2X – נובע מהנתונים ו- 1.
  3. AD=ED+AE=2X+X=3X.
  4. EBA=∠EBC=45∠  – נתון BE חוצה זווית ישרה.
  5. AEB= 45∠  – משלימה ל- 180 מעלות במשולש AEB.
  6. משולש AEB שווה שוקיים – נובע מ- 4 ו- 5. משולש שבו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים.
  7. BA=AE=2X – נובע מ- 6 ו- 2.
  8. היחס בין AD: AB הוא 3:2  (3X:2X).חלק שני – נמצא את אורכי הצלעות
  9. 3X*2X=6X²=24 – על פי נוסחת שטח מלבן.
    X²=4
    X=2 או X=-2 (תשובה שאינה אפשרית עבור צלע).
  10. AB=2X=2*2=4 ס"מ.
  11. AD=3X=3*2=6 ס"מ.

תרגיל 3

ΔABC הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים (B = 90∠).

בתוך המשולש נמצא מלבן DEFG כך ש CG גדול פי שורש 2 מ- GB.

מצאו:

  1. ארבע משולשים דומים.
  2. פי כמה גדולה צלע DG של המלבן מצלע GF.

תרגיל מלבן

פתרון:

  1. A=∠B∠  – במשולש שווה שוקיים ABC הזוויות שליד השוקיים שוות.
  2. A + ∠C=2∠A=2∠C = 90∠.
    A=∠B=45∠.
  3. GFE=∠DEF =90∠ – זוויות מלבן DEFG שוות ל- 90 מעלות.
  4. GFB=∠DEA=90 – זוויות צמודות משלימות ל- 180 מעלות.
  5. ADE=∠BGF = 45∠  – זוויות משלימות ל- 180 מעלות במשולשים ADE ו – BGF.
  6. CGD = ∠B=45∠   ו – CDG = ∠C=45∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  7. ΔCAB ∼ ΔCDG ∼ΔEDA ∼ΔFGB  – על פי ז.ז.ז .חלק שני של ההוכחה:
  8. נגדיר GF=X.
  9. משולש GFB הוא שווה שוקיים על פי 1 – 5  – משולש שבו זוויות הבסיס הן שוות הוא שווה שוקיים.
  10. במשולש GFB על פי פיתגורס.X² + X² = GB²
    GB=X*20.5 (הערה: אין לי את הסימן שורש ולכן השורש נכתב בצורה של חזקה).
  11. CG = שורש 2 * GB =
    CG=2X.
  12. במשולש CGD על פי פיתגורס DG²= (2X)² + (2X)² = 4X² + 4X²= 8X².
    DG = שורש 8 כפול X =
    DG=2.82X

תשובה: הצלע DG גדולה פי 2.82 מהצלע GF.

תרגיל 4

ABCG מקבילית.
מארבעת קודקודי המקבילית מעבירים חוצי זווית הנפגשים בנקודות E,F,G,H.
הוכיחו כי המרובע EFGH הוא מקבילית.

הוכחת מלבן

 

פתרון:
פתרון זה יכתב בקיצור.

  1. נגדיר C1=C2=a – נתון CH הוא חוצה זווית.
  2. D= 180- 2a∠  – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
  3. D1=∠D2=90-a  – נובע מ- 2 ומכך ש DH הוא חוצה זווית.
  4. במשלש DHC זווית H=90∠ – סכום הזוויות במשולש שווה ל- 180 מעלות.
  5. EHG=∠H∠  = 90 – זוויות קודקודיות שוות.באותו אופן ניתן להוכיח שזווית EFG שווה 90.

    חלק שני של ההוכחה. – נוכיח שזוויות E ו- G שוות 90.

  6. B=180-2a∠  – זווית חד צדדית של זווית C ומשלימה אותה ל- 180 מעלות.
  7. B1=∠B2=90-a∠  הישר BF הוא חוצה זווית.
  8. במשולש BEF זווית E שווה ל- 90 – נובע מ 1 ו- 7 ומכך שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות.
  9. G=90∠ – משלימה ל- 360 מעלות במרובע EFGH.
  10. EFGH הוא מלבן – מרובע שארבעת זוויותיו שוות ל- 90 מעלות הוא מלבן.

תגובה אחת בנושא “מלבן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *