מלבן

בדף זה:

  1. הגדרה והוכחת המלבן.
  2. שטח והיקף מלבן.
  3. תכונות המלבן.
  4. במה שונה מלבן ממקבילית.
  5. טעויות שכיחות במלבן.
  6. 9 מצבים שכדאי להכיר בשאלות על מלבן.
  7. תרגילים עם פתרונות מלאים.

1. הגדרה והוכחת המלבן

יש משפט אחד המאושר לשימוש בבגרות לצורך הוכחת מלבן:

  1. אם במקבילית האלכסונים שווים זה לזה אז המקבילית היא מלבן.

בנוסף יש את הגדרת המלבן:
מקבילית שבה זווית של 90 מעלות היא מלבן.

הדרכים להוכחת מלבן שפורטו קודם לכן בדף

הוכחת מלבן תרגילים.

 

2. שטח היקף מלבן

אם a ו- b הן צלעות המלבן ו- s שטח המלבן אז:
s=a×b
היקף המלבן הוא:
(p = 2(a+b

נוסחאות שטח והיקף מלבן

 

3. תכונות המלבן

מלבן הוא מקבילית
מלבן הוא סוג של מקבילית. כלומר כל תכונות המקבילית מתקיימות בו. זו העובדה הבסיסית ביותר שאתם צריכים לזכור בהקשר של מלבן. רצוי ללמוד היטב את תכונות המקבילית לפני שלומדים את תכונות המלבן. אחזור עליהן בקצרה כאן.
מקבילית היא מרובע :
1) שבו זוג צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות.
2) שבו שני זוגות של צלעות מקבילות.
3) שבו שני זוגות של צלעות שוות.
4) שבו האלכסונים חוצים זה את זה. (חוצים כלומר מחלקים לחצי)
5) שבו שתי זוגות של זוויות נגדיות השוות זו לזו.

  • הרחבה בנושא תכונות המלבן הכוללות תכונות אלכסונים נוספות שיש להוכיח על מנת להשתמש בהם בבחינה.

וידאו: תכונות המלבן

הסברים לתכונות המלבן

4. במה שונה מלבן ממקבילית

  1. האלכסונים במלבן שווים זה לזה
    תכונה זו ניתנת להוכחה בקלות בעזרת משפט פיתגורס.
    כתוצאה מתכונה זו האלכסונים יוצרים 4 משולשים שווה שוקיים. כאשר כל שתי זוגות משולשים חופפים.
  2. זווית המלבן הן 90 מעלות.

סיכום תכונות המלבן כפי שפורטו למעלה

 

5. טעויות שכיחות במלבן

  1. אלכסוני המלבן אינם חוצי זווית, כלומר אינם מחלקים את זוויות המלבן לשתי זוויות עם 45 מעלות.
  2. כמו כן האלכסונים אינם מאונכים זה לזה.

7. 9 מצבים שכדאי להכיר בשאלות על מלבן

הכרת המצבים הבאים תעזור לכם לפתור שאלות.
המצבים הללו קיימים בכול הצורות של משפחת המקבילית: מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע.
את כל המשפטים המופיעים כאן צריך להוכיח ולא ניתן להשתמש בהם ללא הוכחה.

1.אם מעבירים חוצה זווית בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים

ולהפך: אם בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים אז אחת מצלעות המשולש היא חוצי זווית.

אם מעבירים חוצה זווית בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים

 

המפתח להוכחה הוא שזוויות CDE∠ וזווית AED∠ הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן אם נתון ש DE חוצה זווית נגדיר:

  1. EDC = ∠EDA = X∠
  2. AED = ∠EDC =X∠
  3. קיבלנו שבמשולש AED יש שתי זוויות שגודלן X ולכן המשולש שווה שוקיים.

ההוכחה ההפוכה: נתון AD= AE וצריך להוכיח ש DE הוא חוצה זווית.

  1. DEA = ∠EDA = X∠
  2. AED = ∠EDC =X∠
  3. EDC = ∠EDA = X∠ ולכן DE הוא חוצה זווית.

2. שני חוצי זווית במלבן שנפגשים יוצרים משולש ישר זווית ושווה שוקיים

הדבר נובע מכך שכל אחת מזוויות המלבן שווה 90 מעלות. לכן זוויות משולש המורכב משני חצאים שלהם הן 90,45,45.
(הערה: במקבילית המשולש שנוצר הוא רק ישר זווית ולא שווה שוקיים).

 

שני חוצי זווית במלבן שנפגשים יוצרים משולש ישר זווית ושווה שוקיים

3. שני ישרים היוצאים מצלע המלבן ונפגשים בנקודה מחוץ למלבן יוצרים משולשים דומים

הדבר נובע מכך שנוצרות שתי זוגות של זוויות מתאימות שוות וגם זווית אחת משותפת לשני המשולשים (זווית E∠).

 שני ישרים היוצאים מצלע המלבן ונפגשים בנקודה מחוץ למלבן יוצרים משולשים דומים

 

הוכחה:

  1. ECD = ∠EGF∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. EDC = ∠EFG∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. EFG ∼ EDC  דמיון משולשים על פי ז.ז.

שימו לב: "לבליטה" יכולות מספר צורות. היא יכולה להיות המשך צלע, לא לצאת מקודקודי המלבן ויכולה לצאת מארבעת צדדי המלבן.

מספר צורות לדמיון המשולשים

 

4. מלבן החסום בתוך משולש יוצר 2 או 3 משולשים דומים

כאשר מעבירים קו מקביל לאחד הצלעות בתוך משולש נוצרים 2 משולשים דומים. וחסימת מלבן בתוך משולש היא העברת 2 קווים מקבילים במשולש שיוצרים 3 משולשים דומים.

מלבן החסום בתוך משולש יוצר 2 משולשים דומים

ABC ∼ AED

הזוויות הירוקות והאדומות שוות זו לזו לפי המשפט "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

כאשר המלבן חסום במשולש ישר זווית נוצרים 3 משולשים דומים:

מלבן חסום במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים

 

ABC ∼ AED ∼ EBF

הזוויות הירוקות והאדומות שוות זו לזו לפי המשפט "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

5. ישר היוצא מצלע המלבן אל הצלע שממול דרך נקודת מפגש האלכסונים יוצר מקבילית.

הדבר נובע מכך שנקודת מפגש האלכסונים חוצה אותו (מוכיחים בחפיפת משולשים) ומכך שאם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה אז המרובע הוא מקבילית.
(הישר EF יוצר מקבילית AECF).

 ישר היוצא מצלע המלבן אל הצלע שממול דרך נקודת מפגש האלכסונים יוצר מקבילית.

הוכחה (בקצרה):

  1. COF ≅AOE בגלל שהזוויות הירוקות מתחלפות שוות + הכתומות קודקודיות + AO=OC אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה. משפט חפיפה ז.צ.ז.
  2. EO=FO צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  3. עכשיו במרובע ECFA האלכסונים חוצים זה את זה. AO=OC, EO=FO. ומרובע שבו האלכסונים חוצים הוא מקבילית.

6. כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

כאשר מחסרים קטעים שווים מאלכסון המלבן נקודת המפגש של האלכסונים עדיין מחלקת את האלכסון והאלכסון הנוסף לשני חלקים שווים.
ומרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
(אם BF=DE אז AECF מקבילית).

כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

הוכחה

  1. AO = CO,  BO = DO אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.
  2. DE = BF נתון.
  3. OE = DO – DE
  4. FO = BO- BF
  5. OE=FO,   AO=CO  כלומר אלכסוני המרובע AEOF חוצים זה את זה ולכן המרובע הוא מקבילית.

7.כאשר נותנים לכם צלעות שוות חישבו על חפיפת משולשים או על חיבור / חיסור צלעות

כאשר אומרים לכם שצלעות שוות חשבו האם ניתן לבצע חיסור צלעות או חפיפת משולשים על מנת להגיע אל התשובה.
חפיפת משולשים היא כלי חשוב בהוכחות השונות.

תרגיל לדוגמה:
במלבן ABCD מעבירים את את הישרים BE ו CF כך ש BE=CF.
הוכיח AF=ED.

מלבן, שרטוט התרגיל

פתרון
נוכיח חפיפת משולשים ΔFDC ≅ ΔEAB

  1. AF=ED נתון.
  2. DC=AB- צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. D=∠A=90∠ – זוויות המלבן שוות 90.
  4. FE, EB הם יתר במשולשים ישרי זווית – נובע מ 3.
  5.  ΔFDC ≅ ΔEAB – חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה רביעי צ.צ. וזווית שמול הצלע הגדולה.
  6. AE=DF – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  7. AF=DE – אם נחסר מהשוויון שמצאנו ב 6 גודל קבוע (FE) נקבל קטעים שווים.
    בשפה מתמטית כותבים זאת כך:
    AF= AE-FE=DF-FE=DE

8. שימו לב שצלעות נגדיות שוות וגם האלכסונים חוצים זה את זה

בחלק משאלות המלבן לא מבינים מה הקשר הנתונים למה שצריך למצוא. המיקום של הצלע המבוקשת כל כך רחוק מהאזור שבו יש נתונים.
אז בשאלות מסוג זה כנראה שאתם צריכים להשתמש בשוויון צלעות נגדיות או שוויון חצאי האלכסונים.

שאלה לדוגמה:
במקבילית ABCD הישר BE הוא חוצה זווית. הוכיחו כי EB=AD.

שימו לב שצלעות נגדיות שוות וגם האלכסונים חוצים זה את זה

הוכחה (בקצרה):

  1. ECD = ∠CEB∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. במשולש EBC יש שתי זוויות שוות ולכן EB=BC
  3. BC = AD (צלעות נגדיות במקבילית שוות).
  4. ולכן EB= AD

9. לא לשכוח שבמלבן יש ישרים מקבילים…

אולי בגלל שלא כתוב בשאלות במפורש "ישרים מקבילים" ראיתי מקרים רבים של תלמידים ששוכחים להשתמש בתכונה זו בפתרון השאלות.
במלבן הישרים מקבילים ולכן ניתן למצוא בהם זוויות מתאימות או מתחלפות שוות.
זכרו להשתמש בתכונה זו.

סיכום נושא המלבן

* זכרו שמלבן הוא מקבילית ומקיים את כל תכונות המקבילית.
*הגדרות המלבן : 1)מלבן הוא מרובע ששלוש מזוויותיו שוות ל 90 מעלות. 2) מלבן הוא מקבילית שאחת מהזויות שלה שווה ל 90 מעלות.
* מלבן הוא מקבילית שהאלכסונים שלה שווים.
* בגלל המשפט הקודם ומכוון שאלכסוני המקבילית שווים זה לזה אלכסוני המלבן יוצרים עם הצלעות ארבע משולשים שווי שוקיים, כל שניים נגדיים חופפים.
*זכרו כיצד להוכיח שמרובע הוא מלבן.
*זכרו שאלכסוני המלבן אינם חוצי זווית (למעט מלבן שהוא ריבוע).

8. מלבן תרגילים

תרגיל 1: חישוב זוויות

במלבן ABCD מעבירים אלכסונים AC ו BD.
ידוע כי DBA=3∠DBC∠
חשבו את זוויות משולש BOC.

שרטוט התרגיל

רמזים / שלבי פתרון:

  1. כאשר נותנים לכם יחס של גדלים אתם צריכים לבטא את הקשר בין הגדלים באמצעות משתנה.
  2. מציאת המשתנה בעזרת תכונת זוויות המלבן.
  3.  השלמת זוויות במשולש בעזרת סכום זוויות ותכונות משולש שווה שוקיים.

פתרון

  1. נגדיר DBC =x∠  לכן DBA=3X∠
  2. זוויות המלבן שוות 90 לכן זווית B=90∠
  3. 3x+x=90
    4x=90
    x=22.5
  4. OB=OC- אלכסוני המלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
  5. OCB = ∠OBC=22.5∠ – במשולש שווה שוקיים OBC זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  6. BOC = 180-22.5-22.5=135∠ – סכום הזוויות במשולש OBC הוא 180.
    תשובה:  BOC = 135,     ∠OCB = ∠OBC=22.5∠

תרגיל 2

במלבן ABCD עוברים האלכסונים AC, BD שנקודת הפגישה שלהם היא O.
OE⊥BC,   OF⊥CD.
הוכיחו כי המרובע OECF הוא מלבן.

שרטוט התרגיל

רמזים / שלבי פתרון:

  1. מרובע שבו 3 זוויות של 90 מעלות הוא מלבן.

פתרון

  1. OEC = ∠OFCC = ∠FCE=90∠ נתון.
  2. OECF מלבן, נובע מ 1. מרובע ששלוש מזוויותיו שוות 90 מעלות הוא מלבן.

תרגיל 3: חפיפת משולשים וחיסור צלעות

במלבן ABCD מעבירים את את הישרים BE ו CF כך ש BE=CF.
הוכיח AF=ED.

מלבן, שרטוט התרגיל

רמזים / שלבי פתרון:

  1. נוכיח חפיפת משולשים ΔFDC ≅ ΔEAB.
  2. נשתמש בצלעות מתאימות שוות בין המשולשים החופפים וחיסור קטע משותף.

פתרון:

  1. AF=ED נתון.
  2. DC=AB- צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. D=∠A=90∠ – זוויות המלבן שוות 90.
  4. FE, EB הם יתר במשולשים ישרי זווית – נובע מ 3.
  5.  ΔFDC ≅ ΔEAB – חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה רביעי צ.צ. וזווית שמול הצלע הגדולה.
  6. AE=DF – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  7. AF=DE – אם נחסר מהשוויון שמצאנו ב 6 גודל קבוע (FE) נקבל קטעים שווים.
    בשפה מתמטית כותבים זאת כך:
    AF= AE-FE=DF-FE=DE

תרגיל 4: יחסים בין צלעות מלבן

היקף מלבן הוא 40 ס"מ. היחס בין אורכי צלעותיו הוא 5:3.
מצאו את אורכי הצלעות.

שרטוט התרגיל, מלבן

רמזים / שלבי פתרון:

  1. נגדיר את שתי הצלעות באמצעות משתנה אחד.
  2. נשתמש בנוסחה להיקף מלבן על מנת למצוא את המשתנה.

פתרון:

  1. על פי יחס הצלעות ניתן להגדיר צלע אחת כ 3x והצלע השנייה 5x.
  2. לכן היקף המלבן הוא:
    5x+5x+3x+3x=40
    16x=40 /:16
    x=2.5
    תשובה: צלעות המלבן הן 7.5 ס"מ ו 12.5 ס"מ.

תרגילים נוספים בנושא שטח והיקף מלבן בדף שטח מלבן.

תרגיל 5

חוצה זוויות במלבן ABCD חוצה את הצלע שאליה הוא מגיע ביחס של 1:2. (AE=2ED).

מצאו:
1) מה היחס בין אורכי צלעות המלבן?
2) אם שטח המלבן הוא 24 סמ"ר. מה אורכי צלעות המלבן ומה הוא היקף המלבן?

מלבן, שרטוט התרגיל

רמזים / שלבי פתרון:

  1. נציג את הנתונים בעזרת מספרים (חוצי זווית) ומשתנים (יחס).
  2. נזהה משולש שווה שוקיים.
  3. נכתוב את היחס.

סעיף ב

  1. נציב בנוסחה של שטח מלבן.

פתרון:

  1. נגדיר ED=X.
  2. AE=2X – נובע מהנתונים ו- 1.
  3. AD=ED+AE=2X+X=3X.
  4. EBA=∠EBC=45∠  – נתון BE חוצה זווית ישרה.
  5. AEB= 45∠  – משלימה ל- 180 מעלות במשולש AEB.
  6. משולש AEB שווה שוקיים – נובע מ- 4 ו- 5. משולש שבו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים.
  7. BA=AE=2X – נובע מ- 6 ו- 2.
  8. היחס בין AD: AB הוא 3:2  (3X:2X).

חלק שני, נמצא את אורכי הצלעות:

  1. 3X*2X=6X²=24 – על פי נוסחת שטח מלבן.
    X²=4
    X=2 או X=-2 (תשובה שאינה אפשרית עבור צלע).
  2. AB=2X=2*2=4 ס"מ.
  3. AD=3X=3*2=6 ס"מ.

תרגיל 6: הוכחת מלבן

במלבן ABCD מעבירים את האלכסונים AC, BD הנפגשים בנקודה O.
הנקודות E,F,G,H הן אמצעי הישרים המחברים את קודקודי המלבן עם הנקודה O.
הוכיחו כי המרובע EFGH הוא מלבן.

שרטוט התרגול

רמזים / שלבי פתרון:

  1. רישום נכון של הנתונים הוא צעד גדול לקראת הפתרון.
  2. שימוש במשפטי אלכסונים של מקבילית ומלבן הוא הצעד השני.

פתרון

  1. OC= OA=OB = OD אלכסוני המלבן שווים בגודלם וחוצים זה את זה.
  2. OG= 0.5OC, OE = 0.50A,  OF = 0.5OB,  OH= 0.5OD
  3. OG = OA,  OH = OF (נובע מ 2). לכן EFGH מקבילית. מרובע שהאלכסונים שלו חוצים את זה הוא מקבילית.
  4. FH = OF+OH
  5. EG = OE + OG
  6. FH=EG נובע מ 2,4,5.
  7. EFGH מלבן. מקבילית שהאלכסונים שלה שווים באורכם היא מלבן.

תרגיל 7: מלבן וחפיפת משולשים

במלבן ABCD הישרים DE ו CE נפגשים בנקודה E שמחוץ למלבן.
DE חותך את הצלע AB בנקודה F ואלו CE חותך את AB בנקודה G.
ED=EC.
הוכיחו AF=GB.

שרטוט התרגיל

רמזים / שלבי פתרון:

  1. חפשו בעזרת איזו חפיפת משולשים ניתן לפתור את השאלה.
  2. הוכיחו את החפיפה בעזרת תכונות המלבן ותכונות משולש שווה שוקיים.

פתרון

  1. A = ∠B  = 90∠ זוויות המלבן שוות 90.
  2. AD=BC צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. EDC = ∠ ECD∠ זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים ECD. (הצלעות AD=AC).
  4. ADF = 90 – ∠EDC∠
  5. BCG = 90 – ∠ECD∠
  6. ADF = ∠BCG∠
  7. GBC ≅ FAD. משולשים חופפים על פי ז.צ.ז. (נובע מ 1,2,6).
  8. GB = FA צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

תרגיל 8: זיהוי משולשים דומים

ΔABC הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים (C = 90∠).
בתוך המשולש נמצא מלבן DEFG כך ש:
CG=√2 * GB
מצאו:

ארבעה משולשים דומים.
פי כמה גדולה צלע DG של המלבן מצלע GF.

מלבן ודמיון משולשים, שרטוט התרגיל

רמזים / שלבי פתרון:

  1. זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים וגם סכום
    זוויות צמודות ימצאו לנו את המשולשים הדומים.
  2. נגדיר בעזרת משתנה אחד ומשפט פיתגורס
    כל צלע שנרצה.

פתרון:

  1. A=∠B∠  – במשולש שווה שוקיים ABC הזוויות שליד השוקיים שוות.
  2. A + ∠B=2∠A=2∠B = 90∠.
    A=∠B=45∠.
  3. GFE=∠DEF =90∠ – זוויות מלבן DEFG שוות ל- 90 מעלות.
  4. GFB=∠DEA=90∠ – זוויות צמודות משלימות ל- 180 מעלות.
  5. ADE=∠BGF = 45∠  – זוויות משלימות ל- 180 מעלות במשולשים ADE ו – BGF.
  6. CGD = ∠B=45∠   ו – CDG = ∠C=45∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  7. ΔCAB ∼ ΔCDG ∼ΔEDA ∼ΔFGB  – דמיון משולשים על פי ז.ז.סעיף ב.
  8. נגדיר GF=X.
  9. משולש GFB הוא שווה שוקיים על פי 1 – 5  – משולש שבו זוויות הבסיס הן שוות הוא שווה שוקיים.
  10. במשולש GFB על פי משפט פיתגורס :
    X² + X² = GB²
    GB=√2 * X
  11. CG = √2 * GB
    CG=√2*√2 X
    CG=2X.
  12. במשולש CGD על פי פיתגורס DG²= (2X)² + (2X)² = 4X² + 4X²= 8X².
    DG²=8X²
    DG = √8 X
    DG=2.82X

תשובה: הצלע DG גדולה פי 2.82 מהצלע GF.

תרגיל 9: הוכחת מלבן

ABCD מקבילית.
מארבעת קודקודי המקבילית מעבירים חוצי זווית הנפגשים בנקודות E,F,G,H.
הוכיחו כי המרובע EFGH הוא מלבן.

הוכחת מלבן, שרטוט התרגיל

רמזים / שלבי פתרון:

  1. נגדיר זווית אחת שיוצר חוצה זווית כמשתנה ובאמצעותה נגדיר את הזווית החד צדדית לה.
  2. נחשב סכום זוויות במשולש.

פתרון:
פתרון זה יכתב בקיצור.

  1. נגדיר C1=C2=a – נתון CH הוא חוצה זווית.
  2. D= 180- 2a∠  – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
  3. D1 =∠D2 =90-a  – נובע מ- 2 ומכך ש DH הוא חוצה זווית.
  4. במשלש DHC זווית H=90∠ – סכום הזוויות במשולש שווה ל- 180 מעלות.
  5. EHG=∠H  = 90∠ – זוויות קודקודיות שוות.
שרטוט הזוויות בפתרון התרגיל

שרטוט הזוויות בפתרון התרגיל

המשך ההוכחה חוזר על עצמו; נוכיח שזוויות E ו- G שוות 90:

  1. B=180-2a∠  – זווית חד צדדית של זווית C ומשלימה אותה ל- 180 מעלות.
  2. B1=∠B2=90-a∠  הישר BF הוא חוצה זווית.
  3. במשולש BEF זווית E שווה ל- 90 – נובע מ 1 ו- 7 ומכך שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות.
  4. G=90∠ – משלימה ל- 360 מעלות במרובע EFGH.
  5. EFGH הוא מלבן – מרובע שארבעת זוויותיו שוות ל- 90 מעלות הוא מלבן.

עוד באתר:

4 תגובות בנושא “מלבן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.