טריגונומטריה

מתמטיקה

הדף מסכם את נושאי הטריגונומטריה במישור עבור תלמידים הניגשים לבחינת הבגרות ברמת 3 יחידות לימוד.

מידע עבור 5 יחידות נמצא בדף טריגונומטריה 5 יחידות הכולל חומר תיאורטי על משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים וזהויות טריגונומטריות + תרגילים פתורים בנושאים הללו.

פתרונות לשאלות בטריגונומטריה מתוך הבגרות ברמת 3 יחידות

פתרון טריגונומטריה קייץ תש"ע 2010 (שאלה 4 בשאלון 802 ו 002, טריגונומטריה במשולש)

פתרון טריגונומטריה קייץ תש"ע (2010) (שאלה 4 בשאלון 001 ו 801)


נושאי הדף
1 הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות
1.1  פונקציית הסינוס
1.2  פונקציית הקוסינוס
1.3  פונקציית הטנגס

2 שימוש בפונקציות הטריגונומטריות בצורות שאינן משולשים ישרי זווית
2.1  משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות
2.2  מלבן
2.3  מעוין
2.4  טרפז
2.5  בעיות בטריגונומטריה עם יחסים


הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות

הפונקציות הטריגונומטריות מקשרות בין גדלים של זוויות במשולש לגדלים של צלעות הבמשולש. כלומר מאפשרות לנו למצוא גודל של זווית על פי גודל הצלעות וגודל של צלעות על פי גודל הזווית ומידע נוסף.

בשלב ראשון ההתייחסות היא למשולש ישר זווית בלבד.

פונקציית הסינוס - sin a

סינוס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית לייתר.

כלומר : sin a = a / c.

דוגמאות לחישוב בעזרת פונקציית הסינוס :

חסר הנתון של הזווית	חסר הנתון של הניצב	חסר הנתון של הייתר

פונקציית קוסינוס - cos a

קוסינוס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שלייד הזווית לייתר.

כלומר sin a =b / c :

דוגמאות לחישוב פונקציות הקוסינוס :

חסר הנתון של הזווית	חסר הנתון של הניצב	חסר הנתון של הייתר

פונקציית הטנגס - tg a

טנגס של זווית מבטא  את היחס שבין הנצב שמול הזווית לניצב שליי הזווית.

כלומר :  tg a = a / b

דוגמאות לחישוב פונקציית הטנגס :

חסר הנתון של הזווית	חסר הנתון של הניצב	חסר הנתון של הניצב

שימוש בפונקציות טריגונומטריות במשולשים שאינם ישרי זווית

ההגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות תקפות עבור משולשים ישרי זווית. כאשר נתון לנו משולש שאינו ישר זווית עלינו ליצור משולש ישר זווית בתוכו על מנת שנוכל להשתמש בפונקציות הטריגונומטריות.

הדרך הפשוטה ביותר ליצור משולש ישר זווית היא להעביר גובה במשולש.

תרגילים :

מציאת אורכו של גובה במשולש בעזרת טריגונומטריה	מציאת אורכה של צלע במשולש בעזרת טריגונומטריה

משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות

משולש שווה שוקיים הוא מקרה פרטי של משולש שבו עלינו לבצע פעולה על מנת ליצור משולש ישר זווית ולהשתמש בפונקציות הטריגונומטריות. מה שמייחד אותו הוא המשפט הבא :

במשולש שווה שוקיים הגובה מזווית הראש הוא גם תיכון וחוצה זווית.
משתמשים בתכונה זו על מנת למצוא יותר נתונים ולפתור שאלות.

במשולש שווה צלעות שלושת התיכונים הם גם חוצאי זווית וגבהים

תרגילים

שימוש בטרונומטריה במשלש שווה צלעות	שימוש בטרונומטריה במשלש שווה שוקיים

מלבן
על מנת לפתור שאלות בטריגונומטריה הכוללות מלבן אנו משתמשים בתכונות המלבן שהעיקריות שבהם הן :
- כל אחת מזוויות המלבן שווה ל 90 מעלות.
- אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
- אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.
- אלכסוני המלבן יוצרים שני זוגות של משולשים שווה שוקיים.
הרחבה בנושא תכונות המלבן תמצאו בדף מלבן שבאתר


תרגילים :

מציאת זווית במלבן בעזרת טריגונומטריה	מציאת זווית במלבן בעזרת טריגונומטריה

מעוין
על מנת לפתור שאלות בטריגונומטריה הכוללות מעוין אנו משתמשים בתכונות המעויין שהעיקריות שבהן הן :
- צלעות המעוין שוות.
- אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין, מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה.
- אלכוסוני המעוין יוצרים ארבעה משולשים חופפים.
- שימו לב : אלכסוני המעוין אינם שווים זה לזה.
הרחבה בנושא תכונות המעוין תמצאו בדף מעוין שבאתר.

תרגילים :

מציאת צלע במעוין בעזרת טריגונומטריה	מציאת זווית במעוין בעזרת טריגונומטריה

טרפז
על מנת לפתור שאלות בטריגונומטריה הכוללות טרפז נשתמש בתכונות הטרפז שהעיקריות שבהן הן :

- טרפז כולל  שתי צלעות מקבילות (בסיסים) ושתי צלעות שאינן מקבילות (שוקיים).
- הגבהים בטרפז שווים זה לזה (שימושי מאוד וחשוב להבנה).
- בטרפז ישר זווית שתיים מהזוויות שוות ל 90.
- בטרפז שווה שוקיים השוקיים שוות, הזוויות ליד כל בסיס שוות זו לזו, אלכסוני הטרפז שווים.

שימוש בטריגונומטריה בטרפז ישר זווית	שימוש בטריגונומטריה בטרפז שווה שוקיים

בעיות עם יחסים

בבעיות עם יחסים בטריגונומטריה לא נותנים את הגודל המדוייק של הצלעות / זוויות אלא נותנים לנו פרפורציה שלו בעזרת משתנה. פתרון התרגילים נעשה בצורה דומה.

תרגילים

בעיית יחסים בטרפז שווה שוקיים	בעיית יחסים במשלש שווה שוקיים

תרגיל עם טריגונומטריה במעגל	תרגיל עם טריגונומטריה במעגל