בדף זה זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה.
sin 2a = 2sin a * cos a.
cos 2a = cos²a – sin²a
משוואות נוספות עבור cos 2a הן:
cos 2a = 2cos²a – 1
cos 2a = 1 – 2sin²a
הזהויות הנוספות של cos 2a הגענו על ידי שימוש והצבה של הזהות:
sin ² a + cos ²a=1
שניתן לכתוב אותה גם כ:
sin ² a = 1 – cos ²a
cos ²a = 1 – sin²a
ולקבל זהויות נוספות עבור cos 2a
כאשר נציב
sin ² a = 1 – cos ²a
נקבל:
cos 2a = cos²a – sin²a
(cos 2a = cos²a – (1 – cos ²a
cos 2a = 2cos²a – 1
כאשר נציב:
cos ²a = 1 – sin²a
נקבל:
cos 2a = cos²a – sin²a
cos 2a = 1 – sin²a – sin²a
cos 2a = 1 – 2sin²a
תרגיל 1
נתון כי sin a = 0.5
חשבו את
(sin (2a), cos (2a
פתרון
על מנת לפתור שאלות מסוג זה עלינו גם להשתמש בזהויות הטריגונומטריות:
cos ²a = 1 – sin²a
(cos a = √(1 – sin²a
חישוב sin 2a
sin 2a = 2sin a * cos a
(sin 2a = 2 * 0.5 * √(1 – 0.5²
sin 2a = 1 * √0.75
sin 2a = √0.75
חישוב cos 2a
ניתן להשתמש בנוסחה:
cos 2a = 1 – 2sin²a
cos 2a = 1 – 2*0.5²
cos 2a = 1 – 0.5 = 0.5
תרגילים
הוכיחו את הזהויות הבאות:
תרגיל 1
sin(2a)*cot(2a) = cos2a-sin2a
לחצו לצפייה בפתרון
מהסתכלות ראשונית ניתן לזהות שבצד ימין נעשה שימוש בנוסחת הזווית הכפולה של קוסינוס:
cos 2a = cos²a – sin²a
כלומר ניתן לרשום את המשוואה גם בצורה זו:
sin(2a)*cot(2a) = cos 2a
כעת, צד שמאל נראה מורכב יותר ולכן נחשוב כיצד ניתן לפשט אותו.
אנו יודעים ש: cota = cosa/sina
ולכן:
cot(2a)=cos(2a)/sin(2a)
נשתמש בזהות ונקבל:
sin(2a)*cos(2a)]/sin(2a) = cos 2a]
סינוס 2a מופיע גם במונה וגם במכנה ולכן ניתן לצמצם אותו.
cos 2a = cos 2a
לכן השוויון מתקיים.
תרגיל 2
sin(4a) = (4sinacosa)*(2cos2a-1)
לחצו לצפייה בפתרון
נפשט כל צד בנפרד וננסה להגיע לביטויים שווים:
צד ימין:
4sinacosa מזכיר את הזהות לזווית כפולה של סינוס.
ההבדל הוא שבמקרה זה הביטוי מוכפל ב4 ובזהות המקורית מוכפל ב2.
נבצע התאמה לזהות-
4sinacosa=2*2*sina*cosa=2*sin2a
בנוסף, ניתן לזהות שהביטוי השני 2cos2a-1 הוא אחד מהזהויות של זווית כפולה בקוסינוס.
cos 2a = 2cos²a – 1
לכן נוכל לפשט את צד ימין באופן הבא:
(4sinacosa)*(2cos2a-1)=2*sin2a*cos2a
כעת, הזוויות בתוך הסינוס והקוסינוס זהות, והביטוי כולו מוכפל ב2.
דבר המרמז על שימוש נוסף בזהות הזווית הכפולה של סינוס.
מכיוון שהזווית היא 2a, הזווית הכפולה תהיה 4a.
2*sin2a*cos2a=2*2sin(4a) =
4sin(4a)
הגענו לביטוי שבצד השמאלי במשוואה המקורית ולכן זהות זו מתקיימת.
תרגיל 3
2sinacosa / (1-2sin2a) = 2sina / [(1-tan2a)*cosa]
לחצו לצפייה בפתרון
במקרה זה, 2 צידי המשוואה מורכבים ולכן ננסה לפשט כל אחד מהם בנפרד בשאיפה להגיע לביטויים זהים.
צד שמאל-
הביטויים במונה ובמכנה מוכרים לנו מזהויות הזווית הכפולה.
במונה- נעשה שימוש בזהות הזווית הכפולה של סינוס:
sin2a=2sinacosa
במכנה- נעשה שימוש בזהות הזווית הכפולה של קוסינוס:
cos2a=1-2sin2a
כלומר סה”כ קיבלנו בצד השמאלי:
2sinacosa / (1-2sin2a) = sin2a / cos2a
אנו יודעים ש: (sina/cosa=tan(a
ולכן:
sin2a/cos2a=tan2a
כלומר עלינו להוכיח ש:
tan2a = 2sina / [(1-tan2a)*cosa]
בשלב זה, ניזכר שגם לtan יש נוסחה לזווית כפולה והיא:
tan2a = 2tana/(1-tan2a)
נוסחה זו דומה לביטוי בצד ימין של המשוואה ולכן אנו מבינים שעלינו להשתמש בה.
ההבדל בין הנוסחה למשוואה המקורית הוא שחסר tan a
אבל אנו יודעים ש: tana=sina/cosa
נמיר את (tan(a בעזרת זהות זו ונקבל:
tan2a = 2sina / [(1-tan2a)*cosa]
כלומר הזהות מתקיימת.
עוד באתר:
איך מפקים cos 4x
שלום
לשתי זוויות של 2x
אם יש לי sin(4x) איך מפרקים
שלום
אפשר לפרק ל:
2sin(2x) cos (2x)
הי!
אם יש לי sin(3x) ,באיזה זהות אני אמורה להשתמש?
שלום
זה תלוי אלו זוויות אחרות יש במשוואה.
אם אתה רוצה להגיע ל x ו 2x.
אז תשתמש בזהות הזו:
(sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b
אם יש לי תרגיל sin(2x)+cos(x) =0- איך פותרים את זה אם הזהות של זוויות כפולה
שלום
את צריכה לפרק את sin2x על פי הנוסחה בדף זה ולהוציא גורם משותף.