פונקציית ln נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה

בדף זה נלמד למצוא נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה של פונקציה לוגריתמית.

החלקים של דף זה הם:

1. דוגמאות לנקודות קיצון.
2. תרגילים בנושא נקודות קיצון.
3. תרגילים בנושא עלייה וירידה.

• פונקציית ln נושאים נוספים בחקירת הפונקציה.

1.דוגמאות

נזכיר כי כאשר מבקשים מאיתנו קיצון קודם כל עלינו למצוא את תחום ההגדרה.

ולאחר שמצאנו את הקיצון עלינו לבדוק שהקיצון נמצא בתחום ההגדרה.

לשם הקיצור ותרגול נושא הלן בדוגמאות הללו נגיע רק לנקודה חשודה כקיצון ולא נפתור את התרגיל במלואו.

נזכיר את נוסחאות הגזירה של פונקציית לן.

 נגזרת הפונקציה lnx:

נגזרת פונקציית ln מורכבת:

בחלק זה ניתן דוגמאות ל 5 סוגים של פונקציית לן ונקודות הקיצון שמתקבלות בהן.

1.לפונקציה f(x) = ln x  אין נקודות קיצון.

כי הנגזרת שלה היא:

שבר שווה ל 0 כאשר המונה שווה ל 0.

מונה השבר הוא 1 ואף פעם לא שווה ל 0.

לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

2.ניתן לקבל נקודות קיצון כאשר בתוך הלן יש משוואה ריבועית מכפלה או מנה של פונקציות.

בחלק זה 5 דוגמאות.

1.דוגמה לקיצון בפונקציית לן עם פונקציה ריבועית בתוכה

f(x) = ln (x² + 6)

תחום הגדרה
x² + 6 > 0

x² חיובי או שווה ל 0.
6 חיובי תמיד.
לכן הסכום של שניהם חיובי לכל x.

הפונקציה מוגדרת לכל x.

מציאת קיצון

נגזור את הפונקציה

הנגזרת שווה ל 0 כאשר המונה שווה ל 0.
2x = 0
x = 0

הנקודה x = 0 החשודה כקיצון נמצאת בתחום ההגדרה.

2.דוגמה לפונקציה שנקודת הקיצון שלה נפסלת בגלל תחום ההגדרה

(f(x) = ln (x² – 9

נמצא את תחום ההגדרה
x² – 9 = (x + 3)(x – 3) > 0

x > 3  או x < -3.

נגזור את הפונקציה על פי נגזרת מורכבת

הנגזרת שווה ל 0 כאשר
2x = 0
x = 0

אבל:
x = 0 לא נמצא בתחום ההגדרה לכן אין לפונקציה קיצון פנימי.

3.דוגמה לפונקציה הכוללת לן ופולינום

f(x) = ln (6 – 2x) + x²

נמצא את תחום ההגדרה
6 – 2x > 0
3 > x

נמצא את הקיצון

נגזור את הפונקציה

נשווה את הנגזרת ל 0.

6 – 2x
הוא ביטוי שונה מ 0 בתחום ההגדרה של הפונקציה.
לכן ניתן להכפיל בו.

-2 + 2x(6 – 2x) = 0

-2 + 12x – 4x² = 0

4x² – 12x + 2 = 0

2x² – 6x + 1 = 0

הפתרונות של המשוואה הן:

x₁ = 0.38    x₂ = 2.62

שתי הנקודות נמצאות בתחום ההגדרה x < 3 ולכן שתיהן חשודות כקיצון.

4.דוגמה לפונקציית מכפלה

2.תרגילים

בחלק זה 3 תרגילים.

3.תחומי עליה וירידה

בחלק זה שני תרגילים.