אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות

בדף זה 5 חלקים:

1. כללי אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות.
2. 7 דוגמאות מהירות לחישוב אינטגרל.
3. 18 תרגילים – חישוב אינטגרלים בכל הרמות.
4. חישוב אינטגרל מסוים.
5. חישוב שטחים (כולל פרמטרים).

דפים קשורים באתר:

• אינטגרלים מסוגים נוספים.
• חקירת פונקציות טריגונומטריות.

1.כללי אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות

כללים לביצוע אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות:

1. אינטגרל של cosx:
cos x dx = sin x + c∫

2. אינטגרל של sinx:
sin x dx = -cox x + c∫

3.אינטגרלים של פונקציות מורכבות:
כאשר יש לנו פונקציה של ישר בתוך האינטגרל ניתן להשתמש בנוסחאות.

כאשר יש לנו פונקציה של x בתוך sin:


4. אינטגרל נוסף:

• עבור פונקציות מורכבות יש דרך שאינה כוללת נוסחה והיא נלמדת בדף אינטגרל של פונקציה מורכבת.

הערה : כאשר יש לנו פונקציה טריגונומטרית שכפולה במספר קבוע , נוציא את המספר מחוץ לאינטגרל על פי הכלל:
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

2.חישובי אינטגרל מהירים

בחלק זה נראה 7 חישובים של אינטגרל ללא הסברים.
כמו כן מצורפים שני סרטונים המסבירים את האינטגרלים הללו והנוסחאות שלמעלה.
הסרטון הראשון מסביר את תרגילים 1-4.
הסרטון השני מסביר את תרגילים 5-7.

3.תרגילים

לתלמידי 4 יחידות
תרגילים 1-6 כוללים פונקציות טריגונומטריות פשוטות.

לתלמידי 5 יחידות
תרגילים 7-10 כוללים פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא קו ישר.
תרגילים 10-16 כוללים אינטגרל על פי זיהוי הנגזרת הפנימית.
תרגילים 17-18 הם האינטגרלים של sin²x,  cos²x

בחלק הראשון נפתור את התרגילים הבאים:

1.   5cos x dx∫
2.   3sin x dx∫
3.   sin x – 4cos x dx-∫
4.   0.2sin x + 3cos x dx∫
5.   0.5cos x – 2.4sin x + 3x² dx∫

6.

בחלק השני נפתור את התרגילים הבאים:

1.   cos 8x dx∫
2.   sin (5x -20) dx∫
3.   7sin 2x dx∫
4.   sin (-4x + 30) dx∫

בחלק השלישי נפתור את התרגילים הבאים:

1.   sin²x cos x dx∫
2.   sin x cos³x dx∫
3.   sin⁴ 3x cos 3x dx∫
4.   5sin (x²) * x dx∫

פתרונות

תרגיל 1
5cos x dx∫

פתרון
נוצא את המספר 5 מחוץ לאינטגרל.
כמו כן נשתמש בנוסחה לאינטגרל של cosx :
5cos x dx = 5*∫cos x = 5sinx + c∫

בפתרון זה השתמשנו בנוסחאות:

• cos x dx = sin x + c∫
• k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

תרגיל 2
3sin x dx∫

פתרון
נוצא את המספר 3 מחוץ לאינטגרל.
כמו כן נשתמש בנוסחה לאינטגרל של sinx :
3sin x dx = 3*∫sin x = 3 * (-cos x) + c∫
3cos x + c-

תרגיל 3
sin x – 4cos x dx-∫

פתרון
נחלק את האינטגרל לשני אינטגרלים נפרדים.
sin x – 4cos x dx = ∫ -sin x dx+ ∫ -4cos dx-∫

נחשב כל אינטגרל בנפרד:
sin x dx = – (-cos x) + c = cosx + c-∫
4cos dx = -4sinx + c-∫

ולכן האינטגרל הוא:
sin x – 4cos x dx = cos x – 4sinx + c-∫

תרגיל 4
0.2sin x + 3cos x dx∫

פתרון
נחלק את האינטגרל לשני אינטגרלים נפרדים.
0.2sin x + 3cos x dx = ∫0.2sin x dx +∫3cosx dx∫

נחשב כל אינטגרל בנפרד:
0.2sin x dx = -0.2cos x + c∫
3cosx dx = 3sinx + c∫

ולכן האינטגרל הוא:
0.2sin x + 3cos x dx = -0.2cos x + 3sin x + c∫

תרגיל 5
0.5cos x – 2.4sin x + 3x² dx∫

פתרון
נחלק את האינטגרל ל 3 אינטגרלים נפרדים ונחשב אותם:
0.5cos x dx= 0.5sin x + c∫
2.4sin x dx = 2.4cos x + c-∫
3x² dx = x³ + c∫

ולכן האינטגרל הוא:
0.5cos x – 2.4sin x + 3x² dx = 0.5sin x + 2.4cos x + x³ + c∫

תרגיל 6

פתרון
נזכור את נוסחת האינטגרל:

ולכן הפתרון שלנו הוא:

אינטגרל של פונקציה מורכבת
כאשר הפונקציה הפנימית היא קו ישר

בדף אינטגרל של פונקציה מורכבת יש הסבר מפורט ווידאו כיצד מחשבים אינטגרל מסוג זה.
כאן נגיד שניתן לחשב את האינטגרל בעזרת:
1. ההיגיון
2. הנוסחה

וכאשר הפונקציה היא sin הנוסחה נראית כך:

וכאשר הפונקציה היא cos הנוסחה נראית כך:

• נגזרת מורכבת – על מנת לחשב אינטגרל מסוג זה עליכם לדעת לגזור היטב נגזרת מורכבת.

דוגמה:
cos 4x dx∫

פתרון
איזו פונקציה נגזור ונקבל cos 4x?
הפונקציה חייבת לכלול sin 4x.
ועל מנת שכאשר נגזור לא ישאר לנו 4 מיותר נחלק ב 4 (4 הוא ה m בנוסחאות שלמעלה).

לכן:
cos 4x dx = (sin 4x / 4) + c∫

בחלק השני נפתור את התרגילים הבאים:

1.   cos 8x dx∫
2.   sin (5x -20) dx∫
3.   7sin 2x dx∫
4.   sin (-4x + 30) dx∫

תרגיל 7
cos 8x dx∫

פתרון
cos 8x dx = (sin 8x / 8) + c∫

תרגיל 8
sin (5x -20) dx∫

פתרון

תרגיל 9
7sin 2x dx∫

פתרון
זו פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא קו ישר.
7sin 2x dx = 7(-cos 2x) / 2∫

תרגיל 10
sin (-4x + 30) dx∫

פתרון
זה אינטגרל מורכב של פונקציית הסינוס.

אינטגרל של פונקציה מורכבת 
עם זיהוי בנגזרת הפנימית