פונקציה מורכבת

שני דפים בולטים באתר בנושא פונקציה מורכבת הם:

• נגזרת מורכבת.
• אינטגרל של פונקציה מורכבת.

מהיא פונקציה מורכבת?

פונקציה מורכבת היא פונקציה המורכבת משתי פונקציות.
הפונקציה הפנימית היא הפונקציה שאותה קודם מבצעים על ה x.
הפונקציה החיצונית היא הפונקציה שמבצעים לאחר מיכן על ה x.
למשל:
3x+1)²)
הפונקציה  פנימית היא  3x+1 ואילו הפונקציה הנוספת היא העלאה בריבוע.

(2x + 1)√
הפונקציה הפנימית היא 2x + 1
והפונקציה החיצונית היא שורש.

sin 2x
בפונקציה הפנימית היא 2x
הפונקציה החיצונית היא שורש.

cos²x
הפונקציה הפנימית היא cos x.
הפונקציה החיצונית היא חזקה.

e^{3x – 1}
הפונקציה הפנימית היא 3x – 1
הפונקציה החיצונית היא שורש.

(ln (-x
הפונקציה הפנימית היא x-
הפונקציה החיצונית היא ln.

ln ³x
הפונקציה הפנימית היא ln x
הפונקציה החיצונית היא חזקה.

בכתיב מתמטי פונקציה מורכבת נכתבת כך:  ((f(g(x

כיצד גוזרים פונקציה מורכבת?

הנוסחה של נגזרת מורכבת היא:
(f (g(x) ]’ = f ‘ (g(x)) * g ‘ (x] כלומר, הנגזרת היא מכפלת שתי הנגזרות של הפונקציות.

ואם נחזור אל הפונקציה 3x+1)²) אז הנגזרת היא:
f'(x)= 2(3x+1) * 3

נגזור פונקציות נוספות:
תרגיל 1
4x- 2)³ )

פתרון
4x- 2)³ ) ‘ = 3(4x -2)² * 4))

תרגיל 2

שאלה: האם הפונקציה x+1)²) היא פונקציה מורכבת?

תשובה: כן. זו פונקציה מורכבת אך מכוון שהנגזרת הפנימית של x+1 היא 1 זה חסר משמעות לגזור אותה כפונקציה מורכבת.