משוואה ריבועית מתקדם

באי שוויון נדרש תחום חיוביות:

x² + 3x – 10 > 0

אנו רואים שהפרבולה חיובית כאשר:

x > 2   או   x < -5

לכן אלו הפתרונות של האי שוויון.

כדי לא להישאר עם מקדם שלילי ל x² נכפיל את האי שוויון ב 1-.

x² – 3x  – 4 < 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום:

שני המספרים הם 4- , 1.

(x – 4) (x + 1) < 0

נשרטט פרבולה מתאימה:

התחום שהוא שלילי והוא הפתרון הוא:

-1 < x < 4

x³ – 4x² < 2x²

x³ – 6x² < 0

x²(x – 6) < 0

נשרטט פרבולה:

התחום השלילי הוא:

0 < x < 6

-2x² +10 > 4

-2x² +6 > 0  / : -2

x² – 3 < 0

x² < 3

כדי לשרטט את הפרבולה נפתור את המשוואה:

x² = 3

x = 3   או   x = -√3

לכן שרטוט הפרבולה הוא:

ותחום השליליות הוא:

-√3  < x < √3

דבר נוסף

ניתן לפתור גם כך:

x² – 3 < 0

(x + √3) (x – √3) < 0

קבוצת ההצבה היא:
x – 4 ≠ 0
x≠ 4

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא x – 4

20 = x(x – 4) – 3(x – 4)
20 = x² – 4x – 3x + 12
0 = x² – 7x – 8
x₁= 8,  x₂= -1

קבוצת הצבה:
2x + 1 ≠ 0
x ≠ -0.5

המכנה המשותף הוא 2x + 1 ובו נכפיל.

20 – 2 = x(2x + 1) + 5(2x + 1)
18 = 2x² + x + 10x + 5
0 = 2x² + 11x – 13
x₁= 1,  x₂= -6.5

קבוצת הצבה:
2x ≠ 0
x ≠ 0

המכנה המשותף של המספרים 2 ו 7 הוא:

2 * 7 = 14

לכן המכנה המשותף של 2x ו7 הוא 14x.
נכפיל במכנה המשותף.

2x *2x – 4x * 14x = 35
4x² – 56x² = 35
-52x² = 35
x² = 35/(-52)

אין פתרון למשוואה.

קבוצת הצבה:
x ≠ 0

המכנה המשותף של המספרים הוא 10.
המכנה המשותף של התרגיל הוא 10x.

נכפיל ב 10x

5x(x + 1) – 10*2 + 2 * 10x = 2x * x

קבוצת הצבה:
x + 4 ≠ 0
x ≠ -4

המכנה המשותף של המספרים הוא 8.
המכנה המשותף של התרגיל הוא 8x.

נכפיל ב 8x.

2(x + 4) (2x – 3) + (x + 4) (x + 1)  – 8(x + 4) = 8x

-x² – 4 > 0

-x² > 4

x²- הוא ביטוי שלילי או שווה ל 0.

ולכן אינו יכול להיות גדול מ 4

y = -x² – 4

זאת פרבולה עם נקודת מקסימום ובלי נקודות חיתוך עם ציר ה x.

לכן סקיצה תראה כך:

פרבולה חיובית תמיד כאשר:

1. זו פרבולת מינימום.
2. אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה x.

פרבולה שלילית תמיד כאשר:

1. זו פרבולת מקסימום.
2. אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה x.

בתרגיל זה b=10.

נוסיף 10²=100 לשני צדדי המשוואה.

84-/x²+20x+100+84=100

x+10)²=16)

x+10=4  או x+10=-4

x=-6  או x=-14  – אלו פתרונות המשוואה.

צריך שהדיקרמיננטה תהיה שלילית:

(m + 4)² – 4 * (-1)  * m < 0

m² + 8m + 16 – 4m < 0

m² + 4m + 16  < 0

כאשר ננסה למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x נגלה שאין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

לכן זו פרבולה חיובית או שלילית תמיד.

על ידי הצבה m = 1 ניתן לקבוע שזו פרבולה חיובית תמיד.

או

מכוון שזו פרבולת מינימום – היא לא יכולה להיות שלילית תמיד.

ולכן לאי שוויון m² + 4m + 16  < 0 אין פתרון.

לכן אין ערך m שעבורו למשוואה המקורית אין פתרונות.

5x² = 500a²

נחלק את את המשוואה ב 5, עלינו לעשות זאת לפני שמוצאים שורש.

x² = 100a²

x = 10a  או  x = -10a

לתרגיל זה אין פתרון. מכוון ש:

הביטוי x² חיובי תמיד.

והביטוי 25a²- שלילי תמיד (כי a² חיובי תמיד, לעומת 25- ששלילי תמיד).

מספר חיובי לא יכול להיות שווה לשלילי לכן למשוואה אין פתרון.

הפתרון היחידי שהיה להתקבל למשוואה הזו הוא:

x =0, a = 0

אך בתחילת אמרו לנו ש a ≠ 0, ולכן פתרון זה לא יכול להתקבל.

(ההוראה שהפרמטר a שונה מ 0 היא הוראה נפוצה בתרגילים).

x = a*√10  או x = – a*√10

נשתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

נקבל:

x² = a² + 6a + 9 = (a + 3)²
x²  = (a + 3)²
x = a + 3

או

x = -(a +3) = – a – 3

תשובה:

x = a + 3   או  x = – a – 3

נציב את המספרים והפרמטר בנוסחת השורשים.

נבצע פעולות חשבון בתוך השורש.

נמצא את פתרונות המשוואה:

נציב את המספרים הללו בנוסחת השורשים ונקבל:

המשך הפתרון נראה כך:

תשובה: x = -0.33a

*הערה: אם היינו מקבלים ביטוי שלילי בתוך השורש משמעות הדבר הייתה שאין למשוואה פתרון.

*הערה: את התרגיל הזה נפתור גם בדרך מהירה יותר, ראו תרגיל 3 בחלק הבא.