בדף זה נעבור על מספר מצבים שכדאי להכיר בדמיון משולשים במעגל.

1.שני מיתרים נחתכים יוצרים משולשים דומים

AB, CD הם מיתרים נחתכים.
ואז שתי הזוויות האדומות הן זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות ולכן שוות זו לזו.
וכך גם שתי הזוויות הירוקות.
לכן
AOC ∼ DOB

2. אלכסונים של מרובע חסום במעגל הם מיתרים נחתכים

ולכן יוצרים משולשים דומים.

שימו לב שכאשר נתון מרובע חסום במעגל ומעבירים בתוכו אלכסונים, האלכסונים הם מיתרים נחתכים והם יוצרים משולשים דומים כפי שראינו קודם.

AOD ∼BOC 

3. שני חותכים למעגל היוצאים מנקודה אחת בצורה הזו

אפשר גם לכתוב את השאלה הזו כהמשכי צלעות של מרובע חסום במעגל.
ABCD הוא מרובע חסום במעגל והנקודה E היא מפגש המשך הצלעות.
ר

הוכחה:
נגדיר את זווית C כ a.
BAD = 180- a∠  כי זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל משלימות ל 180.
EAD = a∠  (זוויות צמודות).

כמו כן זווית E היא זווית משותפת לשני המשולשים.
לכן:
EAD ∼ ECB
(שימו לב לסדר רישום האותיות).

4. שני חותכים היוצאים למעגל בצורה הזו

שתי הזוויות האדומות הן זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות.
הזווית E משותפת לשני המשולשים.
לכן:
EBD ∼ECA

5. שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ יוצרים משולשים דומים בצורה הזו

ההוכחה מתבססת על המשפט "זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני".

1. נגדיר זווית A שווה ל a.
2. לכן זווית BEF שווה ל a. (זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני).
3. DEG = BEF = a  קודקודיות
4. C = a (זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני).
5. בנוסף שתי הזוויות הירוקות קודקודיות.

לכן:
AEB ∼ CED

6. כאשר יש קוטר במעגל וזווית נוספת של 90 מעלות, יש סיכוי טוב לדמיון.

כאשר יש קוטר במעגל וזווית נוספת שגודלה 90 מעלות יש סיכוי טוב שיש בשאלה משולשים דומים.
כי "זוויות היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות".
כך יש לנו זוג זוויות שוות וחסר למצוא עוד זוג אחד על מנת להוכיח דמיון משולשים.

בהקשר הזה טוב לזכור גם את המשפט "ישר ממרכז המעגל החוצה מיתר מאונך למיתר" (ולהפך).

7. בשאלות המשלבות משיק למעגל יש פוטנציאל לדמיון אבל לא בטוח

בגלל המשפט "זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני".
וגם בגלל המשפט "הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה".
הרבה פעמים נוצרים משולשים דומים בשאלות עם משיק.
לכן אם נתון משיק, כדאי לבדוק אם יש משולשים דומים.

שתי הזוויות האדומות שוות זו לזו ולכן בעזרת נתונים נוספים יכולים להיווצר משולשים דומים.

עוד באתר:

• דמיון משולשים – נושאים נוספים.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.