טרפז חסום במעגל או טרפז חוסם מעגל

הדבר הידוע והבסיסי ביותר בנושא טרפז חסום במעגל הוא שאם טרפז חסום במעגל אז הטרפז הוא שווה שוקיים.

נוכיח זאת בשתי דרכים. אני ממליץ לכם לקרוא את שתי ההוכחות משום שהן קצרות, קל לזכור אותן והן שימושיות מאוד.

תרגיל
מרובע ABCD הוא טרפז החסום במעגל.
הוכיחו: AB =DC.

פתרון
נוכיח את זה בשתי דרכים.
דרך ראשונה

  1. נעביר AC בניית עזר.
  2. BCA = ∠CAD∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. AB = DC זוויות היקפיות שוות נשענות על מתרים שווים.

שרטוט המסביר את ההוכחה:

הוכחה: אם טרפז חסום במעגל אז הטרפז הוא שווה שוקיים
הוכחה: אם טרפז חסום במעגל אז הטרפז הוא שווה שוקיים


הוכחה בדרך שנייה: ללא בניית עזר
בדרך זו שזווית B = C  ואם זוויות בסיס בטרפז שוות זו לזו אז הטרפז שווה שוקיים.

  1. D + B = 180 זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל משלימות ל 180 מעלות.
  2. D + C = 180 זוויות חד צדדיות.
  3. D + B = D + C
    B = C
  4. אם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הטרפז שווה שוקיים.

הוכחה בוידאו

התכונה הפחות ידועה היא התכונה ההפוכה;
אם במרובע החסום במעגל יש שתי צלעות נגדיות שוות אז שתי צלעותיו האחרות מקבילות.
נוכיח זאת על ידי הישענות על המשפט "אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים"

תרגיל
מרובע ABCD חסום במעגל. AD = AB.
הוכיחו AD מקביל ל BC.

שרטוט התרגיל

הוכחה

  1. BCA = ∠CAD∠  מול מיתרים שווים במעגל נמצאות צלעות שוות.
  2. AD מקביל ל BC אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.

תרגיל בנושא טרפז חוסם מעגל

טרפז החוסם מעגל מקיים את התכונות של מרובע החוסם מעגל.

הגדרה:
מרובע חוסם מעגל הוא מרובע שארבע צלעותיו משיקות למעגל.

משפט:
מרובע חוסם מעגל אם ורק אם סכום אורכי צלעות נגדיות שווה לסכום הצלעות הנגדיות האחר.

תרגיל 1

טרפז ABCD חוסם מעגל.
האלכסון AC הוא חוצה זווית.
ידוע כי CD = 1.5AB
הצלע AD גדולה מהצלע AB ב 4 סנטימטר.
חשבו את אורך צלעות הטרפז.

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון: עלינו להגדיר את הגודל של ארבעת הצלעות בעזרת משתנה אחד.
לאחר מיכן נבנה משוואה בעזרת המשפט "סכום צלעות נגדיות במרובע שווה לסכום הצלעות השני במרובע".

פתרון

שלב 1: הגדרת משתנה והגדרת צלעות באמצעותו
נגדיר AB = X.
הסיבה שבחרנו את AB היא בגלל שקל להגדיר באמצעותו צלעות אחרות.
לכן CD = 1.5X
AD = AB + 4 = X + 4

שלב 2: הגדרת הצלע DC
הגדרנו שלוש צלעות בעזרת המשתנה X.
הצלע החסרה לנו היא צלע DC.
נראה כיצד הנתון ש AC הוא חוצה זווית עוזר לנו לפתור את התרגיל.
נגדיר:
BCA = ∠DCA = a∠  בגלל ש AC הוא חוצה זווית.
CAB = ∠ DCA∠   זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
BC = AB = X  במשולש ADC זוויות הבסיס שוות לכן המשולש הוא משולש שווה שוקיים.

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
נסכם את גדלי הצלעות:
AD = X + 4
BC = X
AB = X
CD = 1.5X
סכום זוג צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל שווה לסכום השני. לכן:
AD + BC = AB + DC
X+4 + X = X +1.5X
2X + 4 = 2.5X / -2X
0.5X = 4  / *2
X = 8

תשובה: גדלי הצלעות הם:
AD = X + 4 =12
BC = X = 8
AB = X  = 8
CD = 1.5X = 12

פתרון וידאו:

עוד באתר:

  1. מרובע חסום במעגל – מידע נוסף ותרגילים.
  2. מרובע חוסם מעגל – מידע נוסף ותרגילים.
  3. טרפז – מידע נוסף על הצורה.
  4. מעגל או מרובעים – תכונות נוספות של המרובעים הללו.
  5. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  6. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

נספח: חישוב רדיוס של מרובע חוסם או חוסם במעגל

רדיוס מעגל חוסם מרובע

  1. מרובע החוסם מעגל יוצר משולשים חסומים במעגל
    ABC
    ACD
    BCD
    כל אלו משולשים החסומים במעגל.
  2. רדיוס המעגל החוסם את המשולשים הללו הוא בדיוק אותו רדיוס מעגל החוסם את המרובע.
  3. עבור משולשים חסומים במעגל יש לנו כלי טוב למציאת רדיוס המעגל החוסם והוא משפט הסינוסים.
    לכן מה שנעשה בשאלות הללו הוא לחשב את רדיוס המעגל החוסם את אחד המשולשים בעזרת משפט הסינוסים.
משפט הסינוסים
משפט הסינוסים

רדיוס מעגל חסום במעגל

חלק זה שימושי בעיקר לתלמידי 5 יחידות.

יש משפט שאתם צריכים לדעת להוכיח אותו והוא משפט העוזר בשאלות מהסוג הזה.
"מרכז המעגל החסום במרובע הוא נקודת מפגש חוצה הזווית של המרובע"
משפט זה דומה מאוד למשפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה:
"במעגל החסום במשולש מרכז המעגל נמצא בנקודת המפגש של חוצה הזווית"

ההוכחה של המשפט נעשית בעזרת משפט אחר:
"ישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים המשיקים".
(וכמובן שנזכור שארבעת צלעות המרובע AB,BC,CD,DA הם משיקים למעגל).

לכן: OA, OB, OC, OD הם חוצה זווית.
ומכוון שהם חוצה זווית יהיה לנו לרוב מידע על זוויות באחד המשולשים.
באותו משולש נעביר רדיוס כמו OE אל נקודת ההשקה היוצר זווית של 90 מעלות.

ואז נוכל לחשב את הרדיוס באחד מהמשולשים OBE, OCE.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “טרפז חסום במעגל או טרפז חוסם מעגל”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מעבירים אלכסון ואז נוצר משולש החסום באותו מעגל שחוסם את המרובע.
      ואז ניתן למצוא את מרכז המעגל החוסם את המשולש שהוא גם מרכז המעגל החוסם את המרובע על ידי המשפט:
      במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

      כמובן שיכולה להיות גם דרך אחרת בהתאם לנתונים

  1. תודה רבה על ההסבר.
    האם כאשר צ"ל טרפז, ומוכיחים שזוג אחד של צלעות הוא מקביל, יש צורך גם להוכיח שהזוג השני אינו מקביל?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום עומר.
      זה תלוי במי שמעביר לך את הבחינה.
      יש כאלו הדורשים להוכיח שגם הזוג השני אינו מקביל ויש המסתפקים בכך שזוג אחד מקביל.
      זו שאלה שצריך לברר עם המורה.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.