הוכחת טרפז שווה שוקיים

1. הסבר וידאו.
2. הסבר כתוב.
3. תרגילים.

1.הסבר וידאו

בסרטון הראשון נסביר כיצד זוכרים את משפטי טרפז שווה שוקיים.

בסרטון השני נסביר כיצד מוכיחים טרפז וטרפז שווה שוקיים.

2.הסבר כתוב

בשלב הראשון מוכיחים שהמרובע הוא טרפז על ידי מציאת שני ישרים מקבילים במרובע ושני ישרים שאינם מקבילים. הוכחת הישרים המקבילים נעשית לרוב על ידי מציאת זוויות מתאימות שוות או מתחלפות שוות או שימוש בצלעות שכבר ידוע שהן מקבילות (למשל

בשלב השני מוכיחים את אחד מהדברים הבאים:

1. שהשוקיים שוות.
2. שהזוויות ליד אחד מבסיסי הטרפז שוות.
3. שהאלכסונים שווים.

כל אחד מהדברים הללו מוכיח שטרפז הוא טרפז שווה שוקיים.

ואלו בדיוק המשפטים שאושרו לשימוש בבגרות ללא הוכחה:

1. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
2. טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
4. טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.

3.תרגילים

תרגיל 1

בטרפז ABCD מתקיים ACD = ∠BDC∠.
הוכיחו כי הטרפז הוא שווה שוקיים.

פתרון

נוכיח כי האלכסונים של הטרפז  שווים.
על ידי הוכחה כי יש כאן שני משולשים שווי שוקיים.

1. OD = OC במשולש מול זוויות שוות נמצאו צלעות שוות. (חלק יכתבו משולש שבו זוויות הבסיס שוות הוא שווה שוקיים). (משולש שווה שוקיים אחד).
2. ACD = ∠BAC, ∠BDC =∠ABD∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
3. AO=BO  במשולש מול זוויות שוות נמצאו צלעות שוות. (משולש שווה שוקיים שני).
4. CA = CO + AC
5. DB = DO + OB
6. CA=DB נובע מ 1,3,4,5.
7. ABCD טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו האלכסונים שווים הוא טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 2

(דומה לתרגיל 1).

במלבן ABCD מעבירים את הישרים DE ו CE הנפגשים מחוץ למלבן בנקודה E.
DE=CE.
הישר DE חותך את הצלע AB בנקודה F, והישר CE חותך את AB בנקודה G.
הוכיחו כי מרובע DFGC הוא טרפז שווה שוקיים.

פתרון

1. FG מקביל ל DC. צלעות נגדיות במלבן (או חלק מיהן) מקבילות אחת לשנייה.
2. DF ו CG הן צלעות לא מקבילות כי הן נפגשות בנקודה E.
3. DFGC הוא טרפז. מרובע שיש בו זוג צלעות מקבילות הוא טרפז.
4. EDC משולש שווה שוקיים (נתון).
5. EDC = ∠ECD∠ במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס שוות.
6. DFGC הוא טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו זוויות הבסיס שווה הוא טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 3

בטרפז שני האלכסונים הם חוצה זוויות של זוויות הבסיס הגדול.
הוכיחו כי הטרפז הוא טרפז שווה שוקיים.

פתרון

פתרון התרגיל נשען על העובדה שחוצה זווית בין ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים.

1. נגדיר BDC = ∠BDA = X∠
2. DBA = ∠BDA = X∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
3. AB=AD מול זוויות שוות במשולש ABD נמצאות צלעות שוות.

עכשיו נעשה את אותו הדבר במשולש CBA.

1. נגדיר ACD = ∠ACB = Y∠
2. ACD = ∠CAB = Y∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
3. BC = BA מול זוויות שוות במשולש CBA נמצאות צלעות שוות.

AD = BC נובע מכלל המעבר וסעיפי 3 שלמעלה. לכן הטרפז הוא טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים ABC (הצלעות AB=AC) מעבירים שני גבהים BD, CE.
BD⊥AC,   CE⊥AB.
הוכיחו כי המרובע DEBC הוא טרפז שווה שוקיים.

פתרון

בשלב ראשון נוכיח חפיפת משולשים DBC ≅ ECB

1. BDC = ∠CEB= 90∠ נתון.
2. B=∠C∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
3. ECB = 180-90-∠B∠  סכום הזוויות במשולש ECB שווה ל 180 מעלות.
4. DBC = 180-90-∠C∠ סכום הזוויות במשולש DBC שווה ל 180 מעלות.
5. ECB = ∠DBC∠ נובע מ 3,4.
6. BC צלע משותפת למשולשים ECB ו DBC.
7. DBC ≅ ECB חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז. (נובע מ 2,5,6).

חלק שני, נוכיח טרפז:

1. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
2. AB=AC נתון.
3. AD = AC – DC = AB- EB = AE ולכן ADE הוא משולש שווה שוקיים עם זוויות בסיס שוות.
4.  C = (180 – ∠A) / 2 = ∠ADE∠
5. CB מקביל ל DE. אם זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים (נובע מ 4).
6. CD ו BE אינם מקבילים כי הם נפגשים בנקודה A.
7. DEBC טרפז. מרובע שיש בו זוג צלעות מקבילות הוא טרפז.

חלק שלישי, נוכיח טרפז שווה שוקיים:

1. DBC ≅ ECB הוכחנו בחלק הראשון.
2. BD = CE צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
3. DEBC טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו האלכסונים שווים הוא טרפז שווה שוקיים.