בעיות תנועה שוויון דרכים

בדף זה נלמד כיצד פותרים בעיות תנועה בהם עוברים שני גופים או גוף אחד את אותו מרחק. בעיות אלו נקראות גם “שוויון דרכים” כי הדרך שעוברים שני הגופים שווה. החלקים של דף זה הם:

1. באלו מקרים הבעיה היא שוויון דרכים?
2. תרגילים (11 תרגילים מסוגים שונים).

חלק 1 פתוח לכולם. חלק 2 מיועד למנויים.

1.באלו מקרים המשוואה היא “שוויון דרכים”?

משוואות מסוג שוויון דרכים הם משוואות בהם עוברים את אותו מרחק פעמיים. ויש שני מקרים נפוצים בהם שני כלי רכב עוברים את אותו מרחק. מקרה ראשון: פעמיים אותה דרך כאשר שני כלי רכב יוצאים מאותה נקודה ומגיעים לאותה נקודה. למשל שני כלי רכב הנושאים מתל אביב לחיפה. אלו יכולים להיות שני כלי רכב שונים. או אותו כלי רכב שעושה את אותו מרחק פעמיים. בדרך כלל יכתבו יום אחד כיום “רגיל” ואילו יום אחר יהיה יום “מיוחד”. מקרה שני: הלוך ושוב כאשר כלי רכב נוסע הלוך ושוב. הדרך הלוך שווה לדרך חזור. או כאשר אלו שני כלי רכב שונים. בכל המקרים הללו הדרך שעובר כלי רכב אחד שווה לדרך שעובר כלי הרכב השני. כללים חשובים לבניית טבלאות ושאלות מסוג זה: 1.מספר השורות בטבלה הוא כמספר המהירויות המופיעות בתרגיל (ועצירה / מנוחה היא מהירות 0). 2.אנו נגדיר משתנה ובאמצעותו נדע שני טורים בטבלה. את הטור שלישי נמצא בעזרת הנוסחה. דרך = זמן * מהירות 3.מכוון שהדרכים שעברו כלי הרכב שוות המשוואה תהיה:   דרך = דרך.

כאשר כלי רכב אחד “משיג” כלי רכב אחר

בחלק זה נציג ניסוח קצת שונה של בעיה. בתרגילים שהוסברו למעלה הייתה נקודת התחלה ונקודת סיום. לעומת בתרגיל שנציג כאן, הסיום הוא “בנקודת פגישה”. וגם זה ניסוח שכדאי להכיר: דוגמה הולך רגל יצא לדרך במהירות 6 קמ”ש. שעתיים אחריו יצא חמור שמהירותו גדולה ב 3 קמ”ש מאותה נקודה ובאותו כיוון.

1. כעבור כמה זמן ישיג החמור את האדם?
2. מה המרחק בניהם יהיה 10 שעות לאחר יציאת הולך הרגל?

פתרון התרגיל עם טבלה בניית הטבלה הולך הרגל נע במהירות אחת ולכן צריך שורה אחת. החמור נע במהירות אחת ולכן נע במהירות אחת. סך הכל שתי שורות בטבלה. נוסיף לטבלה את הנתונים שאנו יודעים (מהירויות)

	מהירות	זמן	דרך
הולך רגל	6	x	6x
חמור	9	x – 2	9(x – 2)

הגדרת משתנה והשלמת הטבלה על מנת לבצע חישובים אנו צריכים לדעת שני דברים בשורה. את הזמנים אנו יודעים. לכן נגדיר את הזמנים כמשתנה. x  זמן הליכת הולך הרגל בשעות. x – 2 זמן הליכת החמור בשעות (מכוון שהוא יצא שעתיים אחרי). נחשב את הטור של הדרך בעזרת פעולת הכפל.

	מהירות	זמן	דרך
הולך רגל	6	x	6x
חמור	9	x – 2	9(x – 2)

המשוואה שניהם יצאו מאותה נקודה ועברו את אותה דרך עד הפגישה. לכן המשוואה היא: (6x = 9 (x – 2 6x = 9x – 18  / -9x 3x = – 18  / : -3- x = 6 תשובה: 6 שעות לאחר צאת הולך הרגל החמור השיג אותו. סעיף ב מכוון ששניהם נעים במהירות קבועה שידועה לנו אז ניתן לחשב את המרחק ששניהם עבור 10 שעות לאחר יציאת הולך הרגל. הולך הרגל עבר: 60 = 6 * 10 באותה נקודת זמן החמור הלך 8 שעות. 72 = 9 * 8 תשובה: המרחק בניהם יהיה 12 ק”מ.