מצב הדדי בין שני ישרים

הקדמה
בדף זה נתחיל ללמוד על מצב הדדי בין ישרים ומישורים.
יהיה לנו קל יותר לזכור את דרך הפתרון עם נזכור ונבין שני דברים:

1.כאשר אומרים “מצב הדדי” בעצם מתכוונים לכך שצריך לדעת את מספר נקודות החיתוך.
ואת נקודות החיתוך מוצאים לרוב כמו שמצאנו אותם בכיתה ח – על ידי הצבה.

2.דבר נוסף שיעזור הוא לשים לב לב לווקטור הכיוון – כאשר וקטור הכיוון זהה שתי האפשרויות הן הכלה או הקבלה.
במשוואת מישור אלגברית אין וקטור כיוון אבל יש נורמל.
ובמקרה זה כאשר הנורמל מאונך לוקטור הכיוון אז יש הכלה או הקבלה.

נעבור עכשיו לתוכן הדף: מציאת מצב הדדי בין ישרים.

יש 4 מצבים הדדיים בין ישרים:

1. ישרים מתלכדים  – כל נקודה שעל ישר אחד נמצאת גם בשני, ולהפך.
2. ישרים נחתכים – ישרים עם נקודת מפגש אחת.
3. ישרים מקבילים – ישרים שלעולם לא נפגשים, אך יש מישור יחיד המכיל את שניהם.
4. ישרים מצטלבים – ישרים שלעולם לא נפגשים. אין מישור יחיד המכיל את שניהם.

חשוב
לישרים מקבילים וישרים מתלכדים יש את אותו וקטור כיוון (כשוקטור הכיוון מצומצם או שווה בלפחות רכיב אחד).
לישרים נחתכים וישרים מצטלבים וקטור כיוון שונה.

כיצד קובעים את המצב ההדדי בין ישרים?

קביעת המצב ההדדי נעשית בשני שלבים:

שלב ראשון
אם וקטורי הכיוון של הישרים תלויים לינארית אז הישרים מתלכדים או מקבילים.
הוקטורים תלויים לינארית עם מתקיימת המשוואה u₂ = tu_1.
אם וקטורי הכיוון לא תלויים לינארית אז הישרים נחתכים או מצטלבים.

שלב שני
הבחנה בין ישרים מתלכדים למקבילים
בישרים מתלכדים כל הנקודות משותפות.
לכן נבחר נקודה כלשהיא מישר אחד, נציב בישר השני ונראה אם היא גם על הישר השני.

אם זו נקודה משותפת לשני הישרים – הישרים מתלכדים.
אם זו לא נקודה משותפת – הישרים מקבילים.

הבחנה בין ישרים נחתכים ומצטלבים
עלינו לבדוק אם יש לישרים נקודת חיתוך.
לכן נמצא את הנקודה הכללית של כל אחד מהישרים ונשווה בניהן.
נקבל 3 משוואות עם שני נעלמים.
אם נמצא פתרון למשוואות (הפתרון הוא נקודת חיתוך) אז הישרים נחתכים.
אם אין פתרון הישרים מצטלבים.

תרשים זרימה לזיהוי מצב הדדי

דוגמאות

תרגיל 1
קבעו את המצב ההדדי בין הישרים
(L : (2,1,4.5) + t(1,-2,5
(L : (1.5,2,2) + t(4,-8,20

פתרון
שלב א: נבדוק האם יש תלות בין וקטורי הכיוון.
על מנת שתהיה תלות צריך להיות סקלר k המקיים את המשוואה:
(k(1,-2,5) = (4,-8,20

k= 4 הוא הפתרון.
לכן קיימת תלות בין וקטורי הכיוון והישרים מקבילים או מוכלים.

שלב ב: הצבת נקודה מישר אחד בישר שני
על מנת להבחין בין מקבילים או מוכלים נבדוק אם הנקודה (1.5,2,2) מהישר השני נמצאת בישר הראשון.
(t(1,-2,5) + (2,1,4.5) = (1.5,2,2

שלושת המשוואות הן:
t + 2 = 1.5
2t + 1 = 2-
5t + 4.5 = 2

t = -0.5 פותר את שלושת המשוואות.
לכן הנקודה (1,2,2) נמצאת על הישר הראשון וגם על הישר השני.

תשובה: הישרים הללו מוכלים אחד בשני.

תרגיל 2
קבעו את המצב ההדדי בין הישרים
(L :  t(5,1,0
(L : (3,1,0) + k(2,4,1

פתרון
שלב א: נבדוק אם קיימת תלות בוקטורי הכיוון.
האם קיים k המקיים:
(k(5,1,0) = (2,4,1

עבור x צריך k = 0.4
עבור y צריך k = 4.
לכן אין k המקיים את המשוואה.
וקטורי הכיוון אינם תלויים זה בזה.
הישרים הם נחתכים או מצטלבים.

שלב ב: בדיקה האם יש נקודת חיתוך בין הישרים.
נמצא את הנקודות הכלליות של הישרים ונבדוק אם יש חיתוך בין הנקודות.
(L :  t(5,1,0
הנקודה הכללית היא:
5t, t, 0
עבור הישר
(L : (3,1,0) + k(2,4,1
הנקודה הכללית היא:
2k + 3, 4k + 1, k

שלושת המשוואות שלנו הם:
5t = 2k + 3
t = 4k + 1
k = 0

נציב את המשוואה השלישית k = 0 במשוואה השנייה ונקבל:
t = 1
נציב k=0, t= 1 במשוואה הראשונה ונקבל:
3 + 0 = 5
זו משוואה לא נכונה.
לכן לישרים אין נקודות חיתוך.

תשובה: הישרים הללו מצטלבים.

תרגיל 3
קבעו את המצב ההדדי בין הישרים
(L : (6,0,5) + t(1,2,1
(L : (0,1,4) + t(3,6,3

פתרון
שלב א: נבדוק האם יש תלות בין וקטורי הכיוון.
האם קיים k המקיים:
(k(1,2,1) = (3,6,3

k = 3 מקיים את המשוואה, לכן אלו וקטורים תלויים לינארית.
ולכן הישרים מתלכדים או מקבילים.

שלב ב: בדיקה האם נקודה מישר אחד נמצאת בישר השני
נבדוק האם הנקודה (0,1,4) נמצאת בישר הראשון
(L : (6,0,5) + t(1,2,1) = (0,1,4

שלושת המשוואות שלנו הם:
t + 6 = 0
2t + 0 = 1
t + 5 = 4

עבור ערך ה x צריך t = -6.
עבור ערך ה y צריך t = 0.5
לכן אין t המקיים את המשוואות הללו ואין נקודה משותפת לישרים.

תשובה: אלו ישרים מקבילים.

עוד באתר:

• וקטורים.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.