פתרון 582 (807) קיץ 2017

 

תרגיל 1: גיאומטריה אנליטית

 

נחשב את אורכי אלכסוני המעוין וכך נמצא את קודקודי המעוין.
נשתמש בתכונה שהמוקדים של אליפסה קנונית נמצאים במרחקים שווים מראשית הצירים.

1. נעביר גובה EF לצלע BC.
2. במשולש EFB על פי משפט פיתגורס:
   EB² = EF² + BF²
   5² = 4.8² + BF²
   BF² = 1.96
   BF = 1.4
3. FC = BC – BF = 5-1.4=3.6
4. במשולש EFC על פי משפט פיתגורס:
   EC² = EF² + FC²
   EC² = 4.8² + 3.6² = 36
   EC=6
5. הנקודות E,C הן מוקדי הפרבולה הקנונית ולכן נמצאות במרחק שווה של 3 מראשית הצירים.
   (E (-3,0) C( 3,0

על פי משפט פיתגורס במשולש EOB (הנקודה O היא ראשית הצירים).
OB² = EB² – EO² = 5² – 3² = 16
OB = 4.
ולכן (B (0,4
אלכסוני המעוין חוצים זה את זה ולכן OD = 4
(D (0, -4
תשובה:  (E (-3,0),  C( 3,0) , D(0, -4),  B(0,4

סעיף א חלק 2:
מצאנו כי b=4.
על מנת למצוא את משוואת האליפסה עלינו למצוא את a.
כל נקודה על האליפסה נמצאת במרחק 2a ממוקדי האליפסה.
הנקודה C שעל האליפסה נמצאת במרחק 2a = 10 לכן a=5.
משוואת האליפסה היא:
x² /25 + y² / 16  =1

סעיף ב
נמצא את ערך ה x של נקודת החיתוך
x² / 25 + 15/16 = 1
x² / 25 = 1/16
x² = 25 /16
x= 5/4 = 1.25
(M (1.25, √15
נציב את ערכי נקודה M במשוואת הפרבולה:
15 = 2p*1.25
p=6
מוקד הפרבולה נמצא ב  (F(0.5P, 0
(F (3,0 וזו הנקודה C.

סעיף ג.
(E (-3,0
ולכן הישר הוא x= -3.
זה הוא גם המדריך של הפרבולה משום שהמדריך חותך את ציר ה x בנקודה שהיא מינוס ערך ה x של מוקד הפרבולה.
מבקשים מאיתנו שנמצא את היחס של מרחק נקודה על הפרבולה מהמוקד ומהמדריך של הפרבולה.
הגדרת הפרבולה אומרת שהיא אוסף הנקודות שמרחקיהן מהמוקד ומהמדריך שווה. לכן יחס זה שווה ל 1.

 

תרגיל 2: וקטורים

הערה: באתר זה לא ניתן לשרטט חץ מעל אותיות לכן הוקטורים יופיעו כאותיות בלבד  ללא חץ מעליהם.

AC  = AS + SC
SC = AC-AS

AM = AS + SM  = AS + 0.5SA + 0.5SC = AS+0.5SA + 0.5AC- 0.5AS= 0.5AC + 0.5AS – 0.5AS= 0.5AC

חלק שני:
משולש ASC הוא שווה שוקיים משום שבפירמידה ישרה המקצועות שווים AS=SC.
במשולש שווה שוקיים ASC הוכחנו כי M היא האמצע של AC.
במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה ולכן AC ⊥ SM.
הערה: ניתן להוכיח שהם מאונכים גם באמצעות כפל וקטורים SM * AC =0 אך הוכחה זו ארוכה יותר.

חלק שלישי:
בפירמידה ישרה הגובה לבסיס מגיע אל מרכז המעגל החוסם את הבסיס.
בריבוע מרכז המעגל החוסם נמצא בנקודת מפגש האלכסונים שהיא אמצע האלכסון – בגלל שאלכסוני הריבוע חוצים זה את זה.
הוכחנו כי הנקודה M היא אמצע האלכסון AC ולכן SM הוא גובה הפירמידה.

סעיף ב
(A (√3, 1,0)   C(-√3, -1, 0
הנקודה M היא אמצע הקטע AC אז נחשב את את אמצע הישר AC ונקבל (M (0,0,0

במישור ABCD ערכי ה z הם 0 (נתון).
ומכוון שהישר SM מאונך למישור בנקודה M ערכי ה X וה Y שלו שווים לערכי X,Y של הנקודה M.
(S (0,0,Z

נחשב את אורך AC על פי מרחק בין שתי נקודות ונקבל 4.
שטח ריבוע הבסיס הוא 4*4*0.5 = 8.

נפח פירמידה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב 3.
V = (8*SM) / 3
48 = 8SM
SM  = 6
אורך SM הוא ערך ה Z של הנקודה S.
יש אפשרות ש S תהיה מעל או מתחת למישור ABCD ולכן שני הערכים האפשריים עבורה הם:
(0,0,6)  או  (-0,0,6)

סעיף ג
עלינו למצוא נקודה + שני וקטורים על מנת להגדיר מישור.
נשים לב שגם הנקודה M נמצאת על הישר S₁S₂ ולכן גם על המישור.
משוואת המישור:
(p = (0,0,0) + t₁(√3, 1,0) + t₂ (0,0,1
A = -1, B= √3, C=0
D=0  מכוון שהמישור עובר ב 0,0,0.
x + √3y = 0-  משוואת המישור.

נציב את הנקודה C במשוואת המישור ונראה אם היא מקיימת אותו.
(C(-√3, -1, 0
3√ – 3√ = 0
0=0
הנקודה C מקיימת את משוואת המישור ולכן נמצאת על המישור.

תרגיל 3: מספרים מרוכבים

z³ = -1
z³ = 1cis 180
(z = cis (60 +120k
k = 0,1,2
z₁ = 1cis 60 = 0.5 + i√3 * 0.5
z₂ = 1cis 180 = -1
z₃ = 1cis 300 = 0.5 – i √3 * 0.5

ב.
על מנת להוכיח שהסדרה הנדסית צריך להוכיח כי המנה קבועה.
z₂ / z₁ = z_{3 /} z₂
z₂ / z₁ = 1cis 180 / 1cis 60 = cis 120
z₃ / z₂  = cis 300 / cis 180 = cis 120
מצאנו כי מנת האיברים קבועה ולכן זו סדרה הנדסית.

חלק שני בסעיף ב:
על פי נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית:
z₅ = z₁ * q⁴ = cis 60 * cis⁴ 120 =  = cis 60 * cis 480 = cis 540 = cis 180.

ג.
z₁₃ = z₁ * q¹² = cis 60 * cis ¹²120 = cis 60 + cis 1440= cis 1500 = cis 60 = 0.5 + i√3 * 0.5
z₁₄ = z₁₃ * q = cis 180 = -1
z₁₅ = z₁₄ * q = cis 300 = 0.5 – i√3 * 0.5

נשרטט את הנקודות:

מכוון שלנקודות A,C יש את אותו ערך X אז הם מאונכות לציר ה X.
ולכן הגובה מנקודה B לצלע AC עובר כולו על ציר ה X.
נחשב את גודל הצלע AC ונמצא שהוא 3√.
נחשב את הגובה BD והוא 1.5.
שטח המשולש הוא:
S = 1.5 * √3 * 05 = 1.3
תשובה: שטח המשולש הוא 1.3 יחידות ריבועיות.

חלק שני:
נסתכל על איברי הסדרה:
(כל פעם הזווית עולה על 360 מעלות אני מחסר 360 מעלות).
cis 60, cis 180, cis 300, cis 60, cis 180, cis300, cis60
ניתן לראות שהסדרה מחזורית ובכול 3 איברים צמודים שנבחר תמיד נמצא את cis 60, cis 180, cis 300. כלומר הקודקודים של המשולש יהיו בדיוק כמו הקודקודים של המשולש ABC ולכן גם השטח יהיה שווה.

תרגיל 4: חקירת פונקציה מעריכית

f (x) = ((e^x² – 2x) / e^x²

א1. המכנה חיובי ושונה מ 0 לכול X לכן הפונקציה מוגדרת לכל X.

א2. נגזור את הפונקציה.
f ‘ (x) = ((e^x² * 2x -2) e^x² – e^x²*2x  * (e^x² – 2x) ) / (e^x²)²
2e^x² (xe^x²-1-xe^x²+x²) / (e^x²)² =
(x²-1)2 / (e^x²)
הנגזרת מתאפס כאשר המונה שווה ל 0.
x²-1)*2 =0)
2x² = 1
x= 0.707, x = -0.707

נמצא את סוג הקיצון על פי הנגזרת השנייה:
(f ‘ (x) = (4x²-2) / (e^x²
f ” (x) = 8xe^x² – e^x²*2x *(4x²-2) / (e^x²)²
2x (4x -4x²+2) / e^x²
כאשר נציב x= 0.707 הנגזרת השנייה חיובית ולכן זו נקודת מינימום.
כאשר נציב x = – 0.707 הנגזרת השנייה שלילית ולכן זו נקודת מקסימום.

נציב את ערכי ה x בפונקציה ונקבל את ערכי ה y.
f (0.707) = 0.14
f (-0.707) = 1.858
תשובה: (0.14, 0.707) מינימום.
(1.858, 0.707-) מקסימום.

3. מכוון שהפונקציה רציפה לכול אורכה קל לקבוע את תחומי העליה והירידה בעזרת נקודות הקיצון:
עלייה: x< – 0.707 או x> 0.707
ירידה: x<0.707 וגם x> -0.707

4. מכוון שהפונקציה מוגדרת לכול X אין לפונקציה אסימפטוטת מאונכות לציר ה X.

אסימפטוטות אופקיות:  כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף ערך ה Y של הפונקציה שואף ל 1.
לכן y=1 היא אסימפטוטה אופקית.

5. סקיצה

סעיף ב.
1. תחום הגדרה.
ניתן לראות בגרף ש (f(x חיובית תמיד ושונה מ 0 לכל X . לכן עבור (g(x המכנה שלה שונה מ 0 לכול X והיא מוגדרת לכול X.

2. נקודות קיצון
(g (x) = 1 / f(x
(g ‘ (x) = (0*f(x) – f ‘(x) ) / f²(x
נשארנו במונה עם הביטוי ( f ‘ (x – שהוא מתאפס כאשר הנגזרת מתאפסת – כלומר נקודות הקיצון הן זהות. רק שתחומי העליה והירידה הם הפוכים (בגלל סימן המינוס לפני הנגזרת).
נציב בפונקציה (g (x על מנת למצוא את ערכי ה y של הקיצון ונקבל:
(7.04, 0.707) מקסימום.
(0.54, 0.707-) מינימום.

3. תחומי עליה והירידה.
מצאנו בחלק 2 כי סימן הנגזרת של (g (x  הפוך מסימן הנגזרת של (f (x לכן תחומי העליה והירידה הם:
ירידה: : x< – 0.707 או x> 0.707
עליה:  x<0.707 וגם x> -0.707

4. אין אסימפטוטה אנכית כי הפונקציה מוגדרת לכול X.

אסימפטוטות אופקיות:  כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף ערך ה Y של הפונקציה שואף ל 1.
לכן y=1 היא אסימפטוטה אופקית.

תרגיל 5

h (x) = (x+3) / x

א. תחום ההגדרה הוא כל x כך ש x≠0.

ב.x+3) / x >0 / x²)
x(x+3) >0
זו פרבולה מחייכת שנקודות החיתוך שלה הם 0, 3-. נשרטט סקיצה:

אנו יכולים לראות שהתחום החיובי הוא x< -3 או x>0.

ב. נמצא את הפונקציה ( f(x בעזרת האינטגרל של (f ‘ (x.
עושים זאת בעזרת שיטת ההצבה, נציב:
h (x) =t
h’ (x) dx = dt
הערה: הרישום הטכני של האינטגרל באתר בעייתי לכן אעבור לתשובת האינטגרל והיא:
ln (h (x))+c
על מנת למצוא את c נציב את הנקודה בפונקציה שקיבלנו ונקבל:
ln 2 = ln ((3+3) /3) +c
ln 2 = ln 2 + c
c=0
(f(x) = ln ((x+3)/x

ד. אסימפטוטות
אסימפטוטת אנכיות יכולות להתקבל בנקודות אי ההגדרה שהן x=0, x=-3.
כאשר נציב נקודה סמוכה להן בפונקציה (f(x) = ln ((x+3)/x נקבל שערך הפונקציה שואף לאינסוף סמוך ל x=0 ולמינוס אינסוף סמוך ל x= -3.

אסימפטוטת אופקיות – כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף הערכים שלה שואפים ל 0.
תשובה: האסימפטוטות הן x=0, x=-3, y=0.

ה. תחומי עליה וירידה.
f ‘ (x) = (x/ (x+3) * (1*x – 1(x-3)) / x²
x / (x+3) * -3 / x²
הביטוי הראשון ( x /(x+3 חיובי תמיד כי הפונקציה מוגדרת כאשר ביטוי זה חיובי.
הביטוי השני שלילי תמיד כי הוא מספר שלילי (-3) לחלק בחיובי(x²)
לכן הנגזרת שלילית תמיד והפונקציה יורדת לכול X בתחום ההגדרה.

ו. סקיצה

 

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.