פתרון בגרות 582 / 572 קיץ 2023

באליפסה מתקיים

c² = a² – b²

כאשר a החיתוך עם ציר האיקס, b החיתוך עם ציר ה-y

ו-c שיעור האיקס של המוקדים.

מרחק בין מרכז מעגל למשיק שווה לרדיוס המעגל.

מרחק בין נקודה לישר:

לכל נקודה D על אליפסה מתקיים:

DF₁ + DF₂ = 2a

סעיף א

F₁ (2k , 0)

F₂  (- 2k , 0)

סעיף ב1

x = – 2k

סעיף ב2

A (8k, 8k)

סעיף ג

k = 1

סעיף ד

היקף משולש עם A קטן מהיקף משולש עם D

נתונה אליפסה:

0 < k < 6

נביע באמצעות k את המוקדים שלה.

מהתבוננות במשוואת האליפסה, נחלץ את a,b:

a² = 144

a = 12

b² = 144 – 4k²

נשתמש בכך ששיעור מוקדי האליפסה c מקיים:

c² = a² – b²

c² = 144 – (144 – 4k² )

c² = 4k²

c = 2k

אז המוקדים הם:

F₁ (2k , 0)

F₂ (- 2k , 0)

נתונה הנקודה A שנמצאת ברביע הראשון (x>0 , y>0)
על פרבולה שמשוואתה קנונית והמוקד שלה נמצא בנקודה F₁ ,
ומתקיים AF₁ = 10k.

נמצא את משווואת מדריך הפרבולה.

פרבולה קנונית:

y² = 2px

נתון שמוקד הפרבולה הוא המוקד שמצאנו של האליפסה F₁.

אז מוקד הפרבולה:

F = 0.5 * p = 2k

p = 4k

מבקשים שנמצא את מדריך הפרבולה. מדריך פרבולה מקיים:

x = -0.5 p

x = -0.5 * 4k = -2k

x = -2k

ומשוואת הפרבולה:

y² = 8kx

נביע באמצעות K את שיעורי הנקודה A, הנמצאת על הפרבולה ומקיימת AF₁ = 10k.

נשתמש בנוסחה למרחק בין נקודות-

נסמן

A ( x₁ , y₁ )

100k² = x₁² – 4kx₁ + 4k² + y₁²

A על הפרבולה לכן מתקיים:

y₁² = 8k x₁

100k² = x₁² – 4kx₁ + 4k² + 8k x₁

0 = x₁² + 4kx₁ – 96k²

x_1,1 = – 12k

אפשרות זאת נפסלת כי עבורה A לא ברביע הראשון.

x_1,2 = 8k

מצאנו את ערך X של A, אז ערך Y:

y₁² = 8k * 8k

y₁ = 8k

אז מצאנו את A:

A (8k , 8k)

נתון כעת כי AF₁ קוטר במעגל, וישר 5x + 12y = 138 משיק למעגל זה.

נמצא את הערך של K.

נשתמש שהמרחק בין מרכז מעגל למשיק אליו שווה לרדיוס.

נמצא את שיעורי מרכז המעגל.

המרכז יהיה הנקודה שבאמצע הקטע AF₁–

AF₁ קוטר במעגל אז הרדיוס הוא 5k.

המרחק בין נקודה לישר נתון על ידי הנוסחה הבאה (בדף הנוסחאות):

במקרה שלנו:

d = 5k

A = 5 , B = 12, C = -138

x₀ = 5k , y₀ = 4k

נציב ונקבל:

נחלק למקרים

65k = 73k – 138

8k = 138

k = 17.25

נפסל כי K קטן מ-6.

65k = 138 – 73k

138k = 138

k = 1

מצאנו את K והוא שווה 1.

נתונה D נקודה על האליפסה. נקבע אם היקף המשולש F₁AF₂ גדול/קטן/שווה להיקף המשולש F₁DF₂.

היקף המשולש F₁AF₂

נמצא את אורכי הצלעות:

F₁F₂ = 2 – (2) = 4

AF₁ = 10

נשתמש בנוסחה לחישוב מרחק למציאת AF₁:

אז ההיקף:

P_F1AF2 = 4 + 10 + 12.8 = 26.8

היקף המשולש F₁DF₂

D נמצאת על האליפסה, נשתמש בכך שסכום המרחקים בין כל נקודה באליפסה למוקדים שלה הוא 2a:

DF₁ + DF₂ = 2a = 2* 12 = 24

אז ההיקף:

P_F1DF2 = 4 + 24  = 28

28 > 26.8

מצאנו בחישוב ישיר שהיקף המשולש של A קטן מהיקף המשולש של D.

כדי להוכיח שוקטור מאונך למישור, צריך להראות שהוא מאונך לשני וקטורים במישור הזה.

מפגש התיכונים במשולש מחלק כל תיכון ביחס 1:2.

וקטורים שהם מכפלה בסקלר אחד של השני נקראים תלויים לינארית, והם מקבילים.

אם לישרים מקבילים יש נקודה משותפת, הם על אותו הישר.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב1

CE = 0.33 (w – v – u)

סעיף ב2

הוכחה

סעיף ג1

A(4 , -3, 0)

סעיף ג2

C’ ( 3 , 4, 5)

סעיף ד

L = ( 3 , 4, 5) + t ( 4 , -3 , -5)

סעיף ה

( 3 , 4, 5) + m ( 4 , -3 , -5) + s ( 1 , 0 , 0)

* בפתרון זה כאשר נתייחס לאורך צלע נרשום אותה בערך מוחלט, בכל מקרה אחר מדובר בוקטור.

נתונה הקובייה ‘ABCDA’B’C’D:

בקובייה מתקיים כי כל הצלעות שוות, פאות צמוכות מאונכות, ופאות נגדיות מקבילות.

AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = w

AD = BC = A’D’ = B’C’ = v

AB = DC = A’B’ = D’C’ = u

w * v = w * u = v * u = 0

l w l = l v l = l u l

נראה כי ‘CA מאונכת למישור BC’D:

נמצא את ‘CA ונראה שמאונכת לשני וקטורים בלתי תלויים על המישור BC’D.

CA’ = CC’ + C’D’ + D’A’

CA’ =  w – u – v

BD = BA + AD = – u + v

DC’ = DD’ + D’C’ = w + u

נראה שמאונכים ע”י מכפלה סקלרית אפס:

CA’ * BD =  (w – u – v)*(- u + v) =

= – w* u + u * u + v * u + w * v – u * v – v * v =

= l u l ² – l v l ² = 0

CA’ * DC’ =  (w – u – v)*(w + u) =

=  w* w – u * w – v * w + w * u – u * u – v * u =

= l w l ² – l u l ² = 0

הוכחנו :

CA’ ⊥ BC’D

נתונה E נקודת מפגש בין התיכונים במשולש BC’D.

נמצא את CE.

נקודת מפגש התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון ביחס 1:2, אז אם נוריד תיכון C’F לצלע BD:

יתקיים

C’E = 0.66 C’F

CE = CC’ + C’E

נמצא את את C’F:

C’F = C’C + CB + BF

BF = 0.5 * BD = 0.5 * (- u + v)

C’F = – w – v + 0.5 (- u + v) =

= – w – 0.5v – 0.5u

C’E = 0.66 C’F = 0.66 (- w – 0.5v – 0.5u)

= – 0.66w – 0.33v – 0.33u

CE = CC’ + C’E =

= w + (- 0.66w – 0.33v – 0.33u) =

= 0.33w – 0.33v – 0.33u =

= 0.33 (w – v – u)

CE = 0.33 (w – v – u)

מצאנו בסעיף א’:

CA’ =  w – u – v

אז מתקיים

CE = 0.33 CA’

לכן הם תלויים לינארית, ומקבילים.

כיוון ויש להם נקודה משותפת C, הם על אותו הישר.

הנקודות E,A’, C על אותו הישר, כנדרש.

נתונות לנו כעת גם נקודות במרחב:

ושכיוון z של C’ חיובי.

נמצא את שיעורי הנקודה A.

נשתמש בכך שצלעות הקובייה שוות ומאונכות:

AB = DC = (3, 4, 0) = u

AD = – (4, n , p) = v

l v l ² = 4² + n² + p² = 16 + n² + p²

l u l ² = 3² + 4² + 0² = 25

l v l ²  = l u l ²

16 + n² + p²  = 25

u * v = 0

(3, 4, 0) * – (4, n , p) = 0

-12 – 4n = 0

4n = -12

n = -3

16 + (- 3)² + p²  = 25

p² = 0

p = 0

אז שיעורי הנקודה A:

A(4 , -3, 0)

וכיוון והנקודות A,C,D בעלות שיעור z של 0, ובנוסף הוקטור AB הוא u שמצאנו שגם כן בעל שיעור z של 0,

ניתן לומר שהריבוע ABCD נמצא על מישור z = 0.

מצאנו שאורך הוקטורים של הצלעות הוא

l u l = √25 = 5

לכן הוקטור w מזיז את הפאה התחתונה ABCD למעלה ב-5 יחידות על ציר ה-z לקבלת הפאה ‘A’B’C’D.

w = (0, 0, 5)

כלומר הנקודה ‘C היא הזזה למעלה של הנקודה (0, 4, 3)C, מכאן:

C’ ( 3 , 4, 5)

L ישר החיתוך בין BC’D ובין ‘BCC’B – מהסתכלות בשרטוט מדובר בישר C’B:

כבר מצאנו את הנקודה ‘C בסעיף הקודם (ג2):

C’ ( 3 , 4, 5)

נרצה למצוא וקטור כיוון של C’B:

C’B = C’C + CB = – w – v =

= – (0, 0 ,5) + (4 , -3 , 0) =

= ( 4 , -3 , -5)

אז הצגה פרמטרית אפשרית של הישר:

L = ( 3 , 4, 5) + t ( 4 , -3 , -5)

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר , ואינו חותך את ציר ה־ x .

מישור המכיל את L ואינו חותך את ציר האיקס יעבור באותה הנקודה ‘C וגם וקטור כיוון אחד שלו יהיה של הישר L.

וקטור הכיוון השני יביע את זה שהוא לא חותך את ציר האיקס – כלומר מקביל לציר האיקס:

( 1 , 0 , 0)

נחבר הכל ביחד, ונמצא הצגה פרמטרית אפשרית למישור:

( 3 , 4, 5) + m ( 4 , -3 , -5) + s ( 1 , 0 , 0)

נסו לסווג את סוג המשולש ABC.

מרחק הנקודות מראשית הצירים קבוע, כלומר הן כולן ברדיוס קבוע מהמרכז.

בנוסף, שימו לב להפרש הזוויות בין הנקודות.

ABC שווה שוקיים. מצאו את אורך הגובה והבסיס כדי למצוא את השטח ולחלץ את d.

מצאנו את רדיוס המעגל החוסם – d.

l wⁿ l > 6

ומספר מדומה טהור מקיים:

Re(wⁿ) = 0

סעיף א

סעיף ב

d = 6

סעיף ג

l w l = √6

θ = – 45°

סעיף ד

n = 6

נתונה המשוואה:

ונתון גם כי המספר Z₀ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכנקודה הואברביע הרביעי במישור גאוס.

נסדר את המשוואה:

z⁶ = 1

כאשר 1 בהצגה פולרית הוא-

z⁶ = cis(0)

R = 1 , θ = 0°

נציג את ששת הפתרונות למשוואה לפי הנוסחה בדף הנוסחאות:

כאשר

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

נרצה את הפתרון שמיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי, כלומר שהערך הממשי שלו חיובי והערך המדומה שלו שלילי.

הרביע הרביעי מייצג את הזוויות בין 210° לבין 360°, לכן:

210° < 60° k < 360°

4.5 < k < 6

לכן k =5  ייתן לנו פתרון שמיוצג ברביע הרביעי כנדרש. נציב ונקבל:

הנקודות A,B,C מיוצגות באופן הבא:

A = d* z₀

B = d* i * z₀

C = d * (z₀ )⁴ 

d > 0

ונתון ששטח המשולש ABC הוא 5d + 6.

נמצא את המיקום של כל נקודה במישור גאוס.

רואים מיידית שהרדיוס של כל נקודה ממרכז הצירים הוא d.

בשביל C נשתמש במשפט דה-מואבר:

C = d * (z₀ )⁴ = d * (cis 300)⁴ =

= d * cis (300 * 4) = d * cis (1200) =

= d * cis ( 120 )

נשרטט את המשולש על מישור גאוס:

OA = OC = OB = d

נשים לב כי בהצגה פולרית,

A = d * cis 300

B = d * cis 30

C = d * cis 120

ההפרש בין הזוויות של A,B שווה להפרש בין B,C, והוא 90°:

קיבלנו משולש בו הגובה (B לצלע AC) מתלכד עם התיכון, לכן ABC משולש שווה שוקיים.

נחשב את השטח שלו:

S_ABC = 0.5 * OB * (OC + OA) =

= 0.5 * d * (d + d) = d² 

נחלץ את d מהביטוי שנתון לנו לשטח:

S_ABC = 5d + 6 = d²

0 = d² – 5d – 6

d = -1

 נתון d חיובי אז נפסל.

d = 6

מצאנו את הערך d והוא שווה 6.

* היה אפשר לטעון את הטענות שלנו בשאלה זו גם אם נשארים בהצגה פולרית לאורכה, אבל זה היה מקשה לשרטט ולדמיין את המשולש בראש.

מגדירים כעת מספר מרוכב w:

נפשט כל ביטוי בנפרד.

(z₀)² = 1² * cis (2 * 300) = cis (240)

(z₀)^-2 = 1^-2 * cis (-2 * 300) = cis (-240)

(1 + i ) = √2 * cis (45)

נציב הכל חזרה ב-w:

w = ( cis (240) – cis (-240) ) * (√2 * cis (45) ) =

= ( cos(240) + isin(240) – cos(-240) – isin(-240) )*(√2 * cis (45) )=

= (2i sin(240)) * (√2 * cis (45) ) =

= 2√2 * i * (sin(240) * cis(45) ) =

w = √3 – √3 i

l w l ²  = 3 + 3 = 6

l w l = √6

נתון כי wⁿ מספר מדומה טהור ונמצא מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC. מבקשים את הערך המינימלי האפשרי של n.

את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC מצאנו בסעיף ב, d = 6.

נדרוש:

l wⁿ l > 6

מנוסחת דה מואבר:

(√6)ⁿ > 6

6 ^0.5n > 6

0.5 n > 1

n > 2

הדרישה השנייה היא ש- wⁿ מדומה טהור, כלומר:

Re(wⁿ) = 0

(√6)ⁿ * cos( – 45° * n) = 0

cos( – 45° * n) = 0

– 45° * n = 90° + 180° k

n = – 2 – 4k

n מספר טבעי לכן נציב k עד שנמצא n חיובי וגדול מ-2 מהדרישה הקודמת.

k = -1 :  n = 2

נפסל כי לא גדול מ-2.

k = -2 : n = 6

מצאנו n מינימלי המקיים את הדרישות.

w⁶ הוא החזקה הראשונה של w שמדומה טהור ונמצא מחוץ למעגל החוסם את ABC, כנדרש.

סעיף א1

n זוגי:

במינוס אינסוף-

y = – 3

n אי- זוגי:

במינוס אינסוף-

y = – 5

סעיף א2

n זוגי:

min (0 , – 4)

n אי- זוגי: אין נקודות קיצון

סעיף א3

n זוגי:

n אי- זוגי:

סעיף ב1

( ln4 , 5)

(0 , – 4)

סעיף ב2

∼ 1.95

סעיף ג1

2 נקודות:

min ( ln3 , 0)

max ( 0, 4)

סעיף ג2

3 < k < 4

לאחר ביצוע הנגזרת ל-g(x) ניתן לשים לב לקשר בינה לבין הפונקציה f(x):

g ‘ (x) = – f (x)

באותו האופן כמו בסעיף ב2, ניתן לגזור את הקשר ולקבל תלות בין הנגזרת השנייה של g לנגזרת הראשונה של f:

g ” (x) = – f ‘ (x)

מתאר את השטח המבוקש. נשתמש בקשר מסעיף ב2-

g ‘ (x) = – f (x)

ונשים לב כי-

סעיף א1

x > 0

סעיף א2

min ( 1, 1)

סעיף א3

סעיף ב1

( e , 0 )

סעיף ב2

אין תחומי עלייה של g (x),  ותחומי הירידה הם כל התחום , x > 0.

סעיף ב3

תחום הקעירות מעלה של g (x):

0 < x < 1

ותחום הקעירות כלפי מטה:

x > 1

סעיף ב4

סעיף ג

נתונה הפונקציה:

נמצא את תחום ההגדרה שלה.

תחום ההגדרה של פונקציית לאן הוא שהארגומנט שלה חיובי:

x > 0

ותחום ההגדרה של שבר הוא מכנה שונה מאפס:

x ≠ 0

התחום של איקס חיובי מכיל בתוכו גם איקס שונה מאפס, לכן תחום ההגדרה:
x > 0

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה.

נגזור את הפונקציה:

נמצא את הקיצון:

x – 1 = 0

x =  1

מצאנו נקודה חשודה לקיצון. נעשה טבלת ערכים למצוא את סוגה:

f ‘ (0.5) = – 2 = ( – )

f ‘ (1.5) = 0.22 = ( + )

f ( 1 ) = 1

מצאנו את נקודת הקיצון של הפונקציה:

min ( 1, 1)

נצייר את גרף הפונקציה.

ת.ה : x > 0

min ( 1, 1)

בנוסף יש לה אסימפטוטה אנכית ב- x = 1 , ואין לה אסימפטוטות אופקיות (לוגריתם שואף לאינסוף).

נשרטט:

נתונה כעת הפונקציה:

g (x) = (x + 1) * (1 – lnx)

גם בתחום x > 0.

נמצא את נקודות החיתוך שלה עם ציר x:

g (x) = 0

(x + 1) * (1 – lnx) = 0

x + 1 = 0

x = – 1

.מחוץ לתחום ההגדרה

1 – lnx = 0

ln x = 1

x = e

מצאנו נקודת חיתוך:

( e , 0 )

נמצא את תחומי העלייה והירידה של g(x).

הנגזרת:

g ‘ (x) = – f (x)

f (x) חיובית בכל תחום ההגדרה, לכן g ‘ (x) שלילית בכל תחום ההגדרה.

לכן – אין תחומי עלייה של g (x),  ותחומי הירידה הם כל התחום , x > 0.

נמצא את תחומי הקעירות למעלה ולמטה של g (x), באמצעות נגזרת שנייה.

g ‘ (x) = – f (x)

g ” (x) = – f ‘ (x)

תחומי החיוביות והשליליות של הנגזרת, כפי שמצאנו בסעיף א2:

חיובית- x > 1

שלילית-

0 < x < 1

הנגזרת השנייה g ” (x) הפוכה בסימן מ – f ‘ (x)

לכן תחום הקעירות מעלה של g (x):

0 < x < 1

ותחום הקעירות כלפי מטה:

x > 1

סיכום של מה שמצאנו עבור g(x):

תחום – x > 0

חיתוך – ( e , 0 )

יורדת בכל התחום.

מחליפה קעירות מכלפי מעלה ללמטה בנקודה x = 1.

נשרטט:

נתונה כעת:

נשתמש בקשר שמצאנו בסעיף ב2-

g ‘ (x) = – f (x)

נשים לב שכיוון ש f(x) חיוביות בכל התחום, h(x) שלילית בכל התחום.

לכן השטח הכלוא בינה ובין ציר האיקס, בין הערכים 1 ו-e , מיוצג על ידי האינטגרל:

נפתור אותו.

נשים לב:

אז נשתמש בפתרון אינטגרל למכפלה של פונקציה ונגזרתה:

פתרנו את האינטגרל וקיבלנו שהשטח המבוקש הוא: