סדרות
כמות המחשבים שיוצרה בכל שבוע גדלה במספר קבוע לכן כמויות הייצור הן סדרה חשבונית.
נזהה את האיברים בסדרה.
כמות המחשבים שנמכרו היא סדרה הנדסית כי נתון שבכל חודש כמות המחשבים שנמכרו הייתה גדולה פי מספר קבוע מכמות המחשבים שנמכרו בחודש שלפניו.
נזהה את איברי הסדרה.
וקטורים
רמזים:
נצטרך לחלץ משוואה מתוך הנתון
∠BAD = 60°
באמצעות הנוסחה לזווית בין וקטורים:
נחשב את שטח המעוין באמצעות שטח המשולש BAD, עבורו כבר מצאנו את כל הנתונים הדרושים.
הנוסחה לשטח משולש:
והנוסחה לנפח פירמידה:
פתרון:
נתונה פירמידה מרובעת SABCD:
הבסיס ABCD מעוין. E אמצע המקצוע SC.
מקצוע AS מאונך לבסיס.
ABCD מעוין לכן צלעות נגדיות בו מקבילות:
AB = DC = u
AD = BC = v
נמצא את EB , ED:
נתון כי E אמצע המקצוע SC-
SC = SA +AB + BC = – w + u + v
SE = 0.5 * SC = 0.5 * (- w + u + v)
EB = ES + SA + AB =
= – 0.5 * (- w + u + v) – w + u =
= – 0.5 w + 0.5 u – 0.5 v =
= 0.5 (- w + u – v)
ED = ES + SA + AD =
= – 0.5 * (- w + u + v) – w + v =
= – 0.5 w – 0.5 u + 0.5 v =
= 0.5 (- w – u + v)
לסיכום-
EB = 0.5 (- w + u – v)
ED = 0.5 (- w – u + v)
נתון כעת:
l u l = l w l
∠BAD = 60°
נראה כי EB מאונך ל-ED.
מקצוע AS מאונך לבסיס, לכן מתקיים:
AS ⊥ AD
AS ⊥ AB
w * v = w * u = 0
בנוסף מהנתון על זווית BAD נחלץ קשר בין המכפלה הסקלרית למכפלת אורכי הצלעות:
u * v = 0.5 * l u l * l v l
נבצע מכפלה סקלרית בין EB ו-ED כדי להראות שהיא מתאפסת והם מאונכים.
EB * ED = 0.5 (- w + u – v) * 0.5 (- w – u + v) =
= 0.25 ( (w * w) + (w * u) – (w * v) – (u * w) – (u * u) + (u * v) + (v * w) + (v * u) – (v * v)) =
AS מאונך לבסיס-
= 0.25 ( l w l2 – l u l2 + 2 * u * v – l v l2 ) =
נציב את השוויון שמצאנו למכפלה של u ו- v והנתון l u l = l w l:
= 0.25 ( l u l2 – l u l2 + 2 *(0.5 * l u l * l v l) – l v l2 ) =
= 0.25 ( l u l * l v l – l v l2 ) =
במעוין כל הצלעות שוות, לכן l u l = l v l:
= 0.25 ( l v l2 – l v l2 ) = 0
EB * ED = 0
לכן EB ⊥ ED .
נתון:
A (0 , 0 , 0)
B (2√3 , 2 ,0)
נמצא את האורך של AB:
הנוסחה למרחק בין שתי נקודות במרחב קרטזי תלת מימדי:
d2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2 )2 + (z1 – z2)2
l AB l2 = (2√3 – 0)2 + (2 – 0)2 + (0 – 0)2 =
= 4 * 3 + 4 = 16
l AB l = √16 = 4
שיעורי הקודקוד S:
l AB l = l u l = 4
l u l = l v l = l w l = 4
S על ציר ה-z כי AS מאונך לבסיס, לכן:
S ( 0 , 0 , 4)
כדי למצוא את נפח הפירמידה, נחשב קודם את שטח מעוין הבסיס ABCD.
מעוין מורכב משני משולשים חופפים לכן מספיק לחשב את השטח של ΔBAD:
= 0.5 * l u l * l v l * sin 60° =
= 0.5 * 4 * 4 * (0.5 * √3) = 4√3
אז שטח הבסיס ABCD:
SABCD = 2 * SBAD = 8√3
נחשב את נפח הפירמדה SABCD:
AS מאונך לבסיס לכן הוא גובה בפירמידה.
= (1/3) * 4 * 8√3 = 32 /√3
VSABCD = 32 /√3 ≈ 18.47
גדילה ודעיכה
מעריכית
f(x) לעומת f ‘ (x) היא שכאשר ל f(x) יש קיצון
הגרף של f ‘ (x) צריך לשנות סימן
(לעבור מחיוביות לשליליות ולהיפך).
התבוננו בגרף ובדקו על פי כלל זה מי היא הנגזרת.
גרף 1 מתאר את פונקציית הנגזרת.
כי כאשר לגרף 2 אנו רואים את גרף 1 חותך את ציר האיקס כלומר השיפוע משנה סימן וכך מתנהג גרף הנגזרת.
בנוסף, כאשר גרף 2 עולה, גרף 1 חיובי ולהיפך.
נשים לב שגרף הפונקציה נתון לנו ושאמרו “לקבוע את סוגן בעזרת גרף”.
נגזור את הפונקציה על מנת למצוא את נקודות הקיצון:
f(x) = (x – 4)2•ex – 3:
f ‘ (x) = 2(x – 4)•ex – 3 + (x – 4)2•ex – 3
נשווה את הנגזרת ל-0:
0 = 2(x-4)•ex-3 + (x-4)2•ex-3
נוציא גורם משותף:
ex-3(x-4)(2+x-4) = 0
ex-3(x-4)(x-2) = 0
נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:
ex-3 = 0
אין פתרון
x-4 = 0
x = 4
x-2 = 0
x = 2
מצאנו שתי נקודות חשודות כקיצון ובגרף יש שתי נקודות קיצון.
לכן שתי הנקודות החשודות הן קיצון.
בגרף נראה כי x = 2 היא מקסימום ואילו x = 4 היא מינימום.
נציב בפונקציה המקורית את שיעורי ה-x על מנת למצוא את שיעורי ה-y:
f(2) = (2-4)2 • e2-3
1-f (2) = 4e
(2,4e-1)
f (4) = 0 – מצאנו בסעיף הקודם
(4,0)
נקודות הקיצון הן:
(2,4e-1) max
(4,0) min
השטח המבוקש הוא השטח שנוצא על ידי שתי נקודות החיתוך שהם גם נקודות הקיצון של הפונקציה f(x).
נחשב את השטח המוגבל על ידי הנגזרת וציר ה-x באמצעות אינטגרל:
השטח המוגבל הוא 4e-1.
כאשר אנחנו מכפילים פונקציה במינוס אנחנו הופכים אותה.
ולכן g(x) = – f ‘ (x) תראה כמו f ‘ (x) רק הפוכה.
והשטח המבוקש הוא השטח המסומן.
סעיף א
התכונה העיקרית שבעזרתה מבדילים בין גרפים של f(x) לעומת f ‘ (x) היא שכאשר ל f(x) יש קיצון הגרף של f ‘ (x) צריך לשנות סימן (לעבור מחיוביות לשליליות ולהיפך).
ולכן הגרף השחור הוא הנגזרת של הגרף האדום.
סעיף ב
f(x) = (x – 4)2•ex – 3:
הפונקציה הזו מוגדרת לכל x.
כדי למצוא חיתוך עם הצירים.
נציב y = 0
0 = (x-4)2•ex-3
ונקבל שני גורמים שצריך להשוות ל 0.
נציב x = 0
f(0) = (0-4)2 • e0-3
3-f(0) = 16e
כדי למצוא קיצון
f(x) = (x – 4)2•ex – 3
נגזור על פי נגזרת מכפלה.
הערה זו אומנם פונקציה מורכבת אבל הנגזרת הפנימית שווה ל 1 ולכן זו נגזרת מכפלה רגילה.
f ‘ (x) = 2(x-4)•ex-3 + (x-4)2•ex-3
נשווה את הנגזרת ל-0:
0 = 2(x-4)•ex-3 + (x-4)2•ex-3
בפונקציה מעריכית מכוון שהנגזרת היא גם הפונקציה בנגזרת מכפלה וגם בנגזרת מנה נוצר מכנה משותף.
ex-3(x-4)(2+x-4) = 0
ועל מנת לפתור נשווה את כל אחד מהגורמים ל 0.
סעיף ג
מבקשים מאיתנו:
ועלינו לזכור שכאשר זה אינטגרל מסוים (בטווח מסוים) הפתרון הוא:
סעיף ד
g(x) = – f(x)
אלו שתי פונקציות סימטריות ביחס לציר ה x ולכן אם השטח המוגבל של אחת הפונקציות הוא t.
אז השטח בין שתי הפונקציות הוא 2t.
לוגריתמית
הפונקציה היא שבר.
שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0.
המונה הוא:
3x² = 0
x = 0
אבל x = 0 לא נמצא בתחום ההגדרה לכן הפונקציה לא חותכת את ציר האיקס.
x = e-0.5
מאפס את המכנה.
אבל הוא לא מאפס את המונה.
לכן x = e-0.5 הוא אסימפטוטה אנכית.
x = 0
עבור ערך זה המונה שואף ל 0
ואילו המכנה ל מינוס אינסוף.
לכן הפונקציה כולה שואפת למספר 0 וזו לא אסימפטוטה.
(זו נקודת חור, (0,0) אבל אין חובה שתכתבו זאת בבחינה)
הערה
בניסוח השאלה הקלו קצת וכתבו לנו “מצאו את משוואת האסימפטוטה” בלשון יחיד.
נגזור את הפונקציה:
נשווה את הנגזרת ל-0:
שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0.
0 = 12xln(x)
נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:
12x = 0
x = 0
לא בתחום הגדרה.
ln(x) = 0
x = e0
x = 1
הנקודה החשודה לקיצון היא x = 1:
כמו כן נקודת אי ההגדרה היא x = e-0.5
| 2 | x = 1 | 0.8 | x = e-0.5 | 0.5 | x = 0 | x |
| ↑ | min | ↓ | — | ↓ | — | f (x) |
| + | 0 | – | — | – | — | f ‘ (x) |
נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:
f ‘ (0.5) = -27.87
f ‘ (0.8) = -6.987
f ‘ (2) = 2.92
נציב x = 1 בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y:
נקודת הקיצון היא:
(1,3) min