פתרון בגרות 472 חורף 2023

כל הפאות של תיבה הן מלבניות, ובמלבן אלכסונים חוצים זה את זה.

נפח תיבה הוא מכפלת צלעות התיבה. במקרה הזה:

V_{ABCDA’B’C’D’} = l u l * l v l * l w l

זווית בין וקטורים בעלי אותה נקודת מוצא נתונה על ידי הנוסחה-

סעיף א1

BD’ = – u + v + w

AE = 0.5 v + 0.5 w

סעיף א2, ב1, ב2

הוכחה

סעיף ג1

l w l = 4

סעיף ג2

l BF l = √6

סעיף ד1

∠ABF = 65.905°

סעיף ד2

∠EAB = ∠FEA = 90°

∠ABF = 65.905°

∠BFE = 114.095°

נתונה תיבה ‘ABCDA’B’C’D :

כיוון שזו תיבה, בכל פאה מלבנית יש זוג צלעות נגדיות מקבילות וסמוכות מאונכות:

AB = A’B’ = DC = D’C’ = u

AD = A’D’ = BC = B’C’ = v

AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = w

u * w = u * v = w * v = 0

נבטא את ‘AE , BD :

BD’ = BA + AD + DD‘ = – u + v + w

הפאה AA’D’D היא מלבן, ו-E מפגש האלכסונים. אלכסונים במלבן חוצים זה את זה.
לכן מתקיים-

AE = 0.5 AD‘ = 0.5 (AD + DD‘) =

= 0.5 ( v + w ) = 0.5 v + 0.5 w

נתון גם –

EF = 0.5 u

BF = BA + AE + EF =

= – u + (0.5 v + 0.5 w) + 0.5 u =

= – 0.5 u + 0.5 v + 0.5 w =

= 0.5 (- u + v + w) =

= 0.5 BD’

כנדרש.

נתון- EF = 0.5 u

לכן EF תלוי לינארית בוקטור u , כלומר הוא וקטור באותו כיוון כמו u .

AB  = u

לכן-

EF ll AB

דרך 1 – הסבר מילולי

פאות סמוכות בתיבה מאונכות. לכן המישור  ABCD מאונך למישור AA’D’D .

AE שייך למישור AA’D’D ו- AB שייך למישור ABCD , לכן:

AE ⊥ AB

דרך 2- חישוב

נחשב ישירות-

AE * AB = (0.5 v + 0.5 w) * u = 0.5v * u + 0.5w * u = 0

נתון כי בסיס ABCD הוא ריבוע עם צלע באורך 2, והתיבה כולה בנפח 16.

מכך שABCD ריבוע-

l u l = l v l = 2

נפח תיבה הוא מכפלת המקצועות שלה (הצלעות).

V_{ABCDA’B’C’D’} = l u l * l v l * l w l = 16

2 * 2 * l w l = 16

l w l = 4

אורך המקצוע הצדדי של התיבה הוא 4.

מבקשים כעת את אורך הוקטור BF.

l BF l = 0.5 * l BD’ l

l BD’ l² = (- u + v + w) * (- u + v + w) =

כיוון ששלושת הוקטורים מאונכים, איברים מעורבים יתאפסו.
המכפלה ביניהם תשאיר רק את המכפלה בעצמם-

= (- u) * ( – u) + v * v + w * w =

= l u l ² + l v l ² + l w l ² =

= 2² + 2² + 4² = 24

l BD’ l = √24

l BF l = 0.5 * l BD’ l =

= 0.5 * √24 = √6 ≈ 2.45

l BF l = √6

זווית בין וקטורים בעלי אותה נקודת מוצא נתונה על ידי הנוסחה-

את אורכי הוקטורים כבר מצאנו בסעיף ג1,2

נחשב את המונה-

BA * BF = u * – 0.5 ( – u + v + w) =

= 0.5 * l u l ²  = 0.5 * 4 = 2

∠ABF = 65.905°

* ציפינו לזווית חדה, כיוון והזווית ABF היא חלק מהזווית הישרה B’BD על המישור BB’D’D.

** אם לא היינו משנים את כיוון הוקטור AB כדי להתאים לנוסחה, שהיא עבור וקטורים היוצאים מאותה נקודת המוצא, היינו מקבלים סימן שלילי במכפלה הסקלרית. בזווית היינו מקבלים זווית קהה, ואז צריך לזכור שלקוסינוס יש שני פתרונות, ולקחת את השני:  180º פחות הזווית. לבסוף היינו מקבלים את אותה התשובה.

נמצא את זוויות המרובע AEFB:

בסעיף ב2 הוכחנו AE ⊥ AB  לכן-

∠EAB = 90°

בנוסף EF ll AB לכן AE ⊥ EF –

∠FEA = 90°

בסעיף ד1 מצאנו-

∠ABF = 65.905°

אז הזווית הנותרת:

∠BFE = 360° – 90° – 90° – 65.905° =

= 114.095°

לסיכום, הזוויות במרובע (טרפז) AEFB:

∠EAB = ∠FEA = 90°

∠ABF = 65.905°

∠BFE = 114.095°

סעיף א

X = 23

Y = 20

סעיף ב

סעיף ג

r = 0.949

סעיף ד

y = 0.85x + 0.45

סעיף ה

18.3

לפי דיאגרמת הפיזור הגרף נמצא במגמת עלייה ולכן r צריך להיות חיובי, r גם לא יכול להיות 1 כי לא מדובר בקו ישר

אבל בגלל שניתן לראות בגרף שאם נחבר את הנקודות הן יוצרות כמעט קו ישר לכן r יהיה קרוב יחסית ל-1 ולכן:

r = 0.949

נתון:

S_y = 8.26 , S_x = 9.226, r = 0.949

נחשב את השיפוע לפי נוסחת שיפוע ישר הריגרסיה ולאחר מכן נציב בנוסחת משוואת ישר הריגרסיה:

נתון שאלעד מעשן 21 סיגריות ביום לפני הקורס לכן נציב במשוואת ישר הריגרסיה x = 21

ונמצא את y, כלומר את ניבוי צריכת הסיגריות היומית שבוע לאחר תחילת הקורס:

18.3 = y = 0.85 • 21 + 0.45

סעיף א 1

תחום ההגדרה:

x ≠ – √2 , √2

סעיף א 2

x = – √2 , √2

סעיף ב

(0 , -0.5)

סעיף ג

min (2 , 0.5e⁴) ,  max (-1 , -e^-2)

סעיף ד

סעיף ה

c = 3 + e^-2

c = 3 – 0.5e⁴

הפונקציה לא מוגדרת כאשר המכנה שווה 0.

x² – 2 ≠ 0

x² ≠ 2 / √

תחום ההגדרה:

x ≠ – √2 , √2

x = – √2 , √2 הן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה f (x)

משום שהן מאפסות את המכנה אך לא מאפסות את המונה.

נציב x = 0 על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה-y:

נקודת החיתוך עם ציר ה-y:

 (0 , -0.5)

נציב y = 0 על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

ולכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה-x.

נגזור את הפונקציה ולאחר מכן נשווה את הנגזרת ל-0 (שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0 ולכן נשווה רק את מונה הנגזרת ל-0)

על מנת למצוא את ה-x החשודים לקיצון:

ה-x החשודים לקיצון הם: x = -1 , 2

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-2) = 0.15

f ‘ (-1.2) = 0.12

f ‘ (0) = -4

f ‘ (1.5) = -50.21

f ‘ (3) = 3227.43

נמצא את ערכי ה-y של נקודות הקיצון ע”י הצבת ערכי ה-x בפונקציה:

 max (-1 , -e^-2)

min (2 , 0.5e⁴)

נקודות הקיצון הן:

min (2 , 0.5e⁴) ,  max (-1 , -e^-2)

על מנת שלפונקציה g (x) = f (x) + c תהיה נקודת קיצון על הישר y = 3 נצטרך להוסיף לערכי ה-y של נקודות הקיצון עד שיגיעו ל y = 3:

אם נסתכל על ערך ה-y שלה של נקודת המקסימום שהוא ^2-e- נחשב כמה צריך להוסיף על מנת להגיע לy =3:

3 – (-e^-2) = 3 + e^-2

ולכן:

c = 3 + e^-2

כעת אם נסתכל על ערך ה-y שלה של נקודת המינימום שהוא 0.5e⁴ נחשב כמה צריך להוסיף על מנת להגיע ל y =3:

3 – 0.5e⁴

ולכן במקרה זה:

c = 3 – 0.5e⁴

סעיף א

a = 4

סעיף ב

x > 0

סעיף ג

(e , 0)

סעיף ד

(e² , -1) min

סעיף ה

סעיף ו

x = e מינימום

x = e³ מקסימום

נזכור כי:

ln e³  = 3

על פי הכלל:

ln e^x  = x

(ln e³)² – a • lne³ + 3 = 0

9 – 3a + 3 = 0

12 = 3a

4 = a

לא נכון

f (x) = (lnx)² – a • lnx + 3

על מנת למצוא את הפרמטר a נציב את הנקודה (e³ , 0) במשוואת הפונקציה.

0 = (ln•e³)² – a • lne³ + 3

 a • lne³ = 3 + (ln•e³)² / :lne³

a = 4

f (x) = (lnx)² – 4 • lnx + 3

תחום ההגדרה:

x > 0

נשווה את הפונקציה ל-0:

 (lnx)² – 4 • lnx + 3 = 0

נפתור בעזרת משתנה t:

t = lnx

 t² – 4t + 3 = 0

( t – 1) (t – 3) = 0

t = 3

t = 1

lnx = 3

x = e³

lnx = 1

x = e

ולכן נקודת החיתוך הנוספת עם ציר ה-x היא:

(e , 0)

נגזור את הפונקציה ולאחר מכן נשווה את הנגזרת ל-0 (שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0 ולכן נשווה רק את מונה הנגזרת ל-0)

על מנת למצוא את ה-x החשודים לקיצון:

ה-x החשוד לקיצון הוא: x = e

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (2) = -2.61

f ‘ (8) = 0.16

נציב את ה-x בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y של נקודת הקיצון:

f (e²) =  (lne²)² – 4 • lne² + 3

f (e²) = -1

(e² , -1) min

נתון g ‘ (x) = – f (x)

כלומר הפכו את הפונקציה f (x)

ידוע ששיעורי ה-x של נקודות החיתוך של הנגזרת עם ציר ה-x הן שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה.

ולכן שיעורי ה-x של נקודות החיתוך עם ציר ה-x של f (x) הן שיעורי נקודות הקיצון של g (x)

כלומר: x = e , e³ 

את סוג הקיצון אנו נקבע לפי תחומי החיוביות ושליליות של f (x) אך נהפוך מכיוון שמדובר ב f (x)-

f (x) חיובית כאשר x < e , x > e³ ולכן לאחר שנהפוך את f (x) אז g (x) תרד בתחום הזה .

f (x) שלילית כאשר e < x < e³  ולכן לאחר שנהפוך את f (x) אז g (x) תעלה בתחום הזה .

ולכן:

x = e מינימום

x = e³ מקסימום

סעיף א

גרף 1 מתאים לגרף הנגזרת וגרף 2 מתאים לגרף הפונקציה.

סעיף ב

כל x

סעיף ג

(3 , 0)  (0 , -3)

סעיף ד

תחום עלייה: x > 2

תחום ירידה: x < 2

סעיף ה

סעיף ו

2e² – 6

ניתן לקראות שכאשר לגרף 1 יש נקודת חיתוך עם ציר ה-x לגרף 2 יש נקודת קיצון

וכאשר לפונקציה יש קיצון לנגזרת יש נקודת חיתוך עם ציר ה-x ולכן גרף 1 מתאים לגרף הנגזרת וגרף 2 מתאים לגרף הפונקציה.

f (x) = (x – 3) • e^x

תחום ההגדרה הוא כל x.

נציב x = 0 על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-y:

f (0) = (0 – 3) • e⁰ 

f (0) = – 3

 (0 , -3)

נציב y = 0 על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

0 = (x – 3) • e^x

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

e^x = 0

אין פתרון

x – 3 = 0

x = 3

(0 , 3)

f ‘ (x) = e^x • (x – 3) + 1 • e^x

0 = e^x • (x – 3) + 1 • e^x

0 = e^x • (x – 3 + 1)

0 = e^x • (x – 2)

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

e^x = 0

אין פתרון

x – 2 = 0

x = 2

הנקודה החשודה לקיצון היא x = 2

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (1) = e

f ‘ (3) = -e

תחום עלייה: x > 2

תחום ירידה: x < 2

נתון:

g (x) = – f ‘(x) ולכן הסרטוט של g (x) יהיה בדיוק כמו הסרטוט של f ‘ (x) רק הפוך.