פתרון בגרות 472 קיץ 2023

הנוסחה לזווית בין וקטורים היא-

הנוסחה לשטח משולש עם וקטורים-

כדי להראות שוקטור מאונך למישור מספיק להראות שהוא מאונך לשני ישרים שונים במישור.

נפח פירמידה משולשת הוא-

סעיף א

BA = – v + u

BC  = – v + w

סעיף ב1

BA = √5

BC = √2

סעיף ב2

∠ABC = 71.565°

סעיף ב3

S_ABC = 1.5

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד

S_ABCD = 1/3

נתונה ABCD פירמידה משולשת:

ומסומן:

DA = u

DB = v

DC = w

נתון כי AD, BD, CD מאונכים, כלומר מתקיים:

u * w = u * v = w * v = 0

נתונה גם הנקודה E על המישור ABC כך ש-

נביע את הוקטורים BA, BC, DE:

BA = BD + DA = – v + u

BC = BD + DC = – v + w

DE = DB + BE =

נתון:

l u l = 2

l v l = l w l = 1

נמצא את אורכי המקצועות BA, BC:

BA = l BA l

l BA l ² = BA  * BA =

= ( – v + u ) * (- v + u ) =

= l v l ² – 2 * u * v + l u l ² =

= l v l ² – 0  + l u l ² =

= 1² + 2² = 5

BA = √5

BC = l BC l

l BC l ² = BC  * BC =

= ( – v + w ) * (- v + w ) =

= l v l ² – 2 * w * v + l w l ² =

= l v l ² – 0  + l w l ² =

= 1² + 1² = 2

BC = √2

מבקשים את הזווית ABC, שהיא הזווית בין הצלעות BA, BC.

מנוסחת המכפלה הסקלרית-

BA * BC = (- v + u ) * (- v + w ) =

= l v l ² – v * u – w * v + u * w =

= l v l ² = 1

∠ABC = 71.565°

שטח המשולש ABC:

נשתמש בנוסחה הבאה-

= 0.5 * √2 * √5 * sin(71.565°) =

= 0.5 * 3 = 1.5

S_ABC = 1.5

כדי להראות ש-DE מאונך למישור ABC מספיק להראות שהוא מאונך לשני ישרים שונים במישור.
נראה כי הוא מאונך ל-BA ו-BC :

DE ⊥ BA

נשים לב כי בחישוב המפורט מעל, כל האיברים המעורבים התאפסו בחישוב כי הוקטורים u, v, w מאונכים.
לכן ניתן מראש כאשר פותחים את הכפל בסוגריים להותיר רק את הוקטורים שהם מכפלה עם עצמם.

DE ⊥ BC

הראנו כי DE מאונך לשני ישרים במישור ABC ולכן הוא מאונך למישור כולו-

DE ⊥ ABC

נפח הפירמידה המשולשת ABCD הוא-

בסעיף ג הראנו כי DE מאונך למישור ABC, לכן הוא גובה בפירמידה ABCD.
נמצא את האורך של DE:

l DE l ²  =

DE = 2 / 3

נחשב את נפח ABCD:

V_ABCD = 1/3

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה1

סעיף ה2

סעיף ה3

נציב x = 0 בפונקציה f (x) = e^x • (e^x – 6)² על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-y:

f (0) = e⁰ • (e⁰ – 6)²

f (0) = 1 • (1 – 6)²

f (0) = 25

נקודת החיתוך עם ציר ה-y:

(0 , 25)

נציב y = 0 בפונקציה f (x) = e^x • (e^x – 6)² על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

0 = e^x • (e^x – 6)²

נשווה את כל אחד מהגורמים ל 0:

e^x  = 0

אין פתרון

(e^x – 6)² = 0 / √

e^x – 6 = 0

e^x = 6

נפעיל ln על שני האגפים:

lne^x = ln6

x = ln6

נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

(ln6 ,0)

נפתח סוגריים בפונקציה לפי נוסחת כפל מקוצר ²(a – b):

f (x) = e^x • (e^x – 6)²

f (x) = e^x • (e^2x – 12e^x + 36)

f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x

לאחר פתיחת הסוגריים קיבלנו פונקציה קלה יותר לגזירה:

f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x

נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0 על מנת למצוא את נקודות הקיצון:

f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x

f ‘ (x) = 3e^3x – 24e^2x + 36e^x

3e^x (e^2x – 8e^x + 12) = 0

e^x = 0

אין פתרון

אפשרות שנייה

e^2x – 8e^x + 12 = 0

נפתור משוואה ריבועית בעזרת מחשבון:

e^x = 6  או  e^x = 2

ולכן:

e^x – 6 = 0

e^x = 6

נפעיל ln על שני האגפים:

lne^x = ln6

x = ln6

3e^x – 6 = 0

 3e^x = 6 / :3

e^x = 2

נפעיל ln על שני האגפים:

lne^x = ln2

x = ln2

הנקודות החשודות לקיצון הן: x = ln2, ln6

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (0) = 15

f ‘ (1) = -19.22

f ‘ (2) = 165.94

נציב את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון בפונקציה על מנת למצוא את שיעורי ה-y:

נציב x = ln2:

f (ln2) = e^ln2 • (e^ln2 – 6)²

f (ln2) = 2 • (2 – 6)²

f (ln2) = 32

max (ln2 , 32)

נציב x = ln6:

f (ln6) = e^ln6 • (e^ln6 – 6)²

f (ln6) = 6 • (6 – 6)²

f (ln6) = 0

min (ln6 , 0)

נקודות הקיצון הן:

max (ln2 , 32) , min (ln6 , 0)

הערה:

אם היינו גוזרים את הפונקציה המקורית זה היה נראה כך:

f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x

f ‘ (x) = e^x • (e^x – 6)² + e^x • 2 • (e^x – 6) • e^x

0 = e^x • (e^x – 6)² + e^x • 2 • (e^x – 6) • e^x

0 = e^x • (e^x – 6)² + 2e^2x • (e^x – 6)

נוציא גורמים משותפים:

  0 = e^x • (e^x – 6) (e^x – 6 + 2e^x)

  0 = e^x • (e^x – 6) (3e^x – 6)

נקודות הקיצון הם:

max (ln2 , 32) , min (ln6 , 0)

חיתוך עם הצירים:

(ln6 ,0)

(0 , 25)

נשווה בין הפונקציה g (x) = e^3x לבין הפונקציה f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x על מנת למצוא את נקודת החיתוך ביניהן:

e^3x – 12e^2x + 36e^x = e^3x

נשווה בין הפונקציה g (x) = e^3x לבין הפונקציה f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x על מנת למצוא את נקודת החיתוך ביניהן:

e^3x – 12e^2x + 36e^x = e^3x

12e^2x + 36e^x  = 0-

נוציא גורמים משותפים:

12e^x • (-e^x + 3) = 0

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

12e^x = 0

אין פתרון

e^x + 3 = 0-

-e^x = -3 / :-1

e^x = 3

נפעיל ln על שני האגפים:

lne^x = ln3

x = ln3

נציב x = ln3 באחת מהפונקציות על מנת למצוא את ערך ה-y:

g (ln3) = e^{3 • ln3}

g (ln3) = 27

נקודת החיתוך בין הפונקציות היא:

(ln3 , 27)

נשתמש בידע שנו על הגרף של:

e^x

ובנקודת החיתוך בין הפונקציות כדי לשרטט את הגרף.

על מנת למצוא את השטח הכלוא בין הפונקציות ובין ציר ה-y נחשב אינטגרל לפי פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה:

השטח המוגבל על ידי הפונקציות וציר ה-x הוא 24.

הערה

אלו שרוצים יכולים להוציא מספרים גורם משותף לפני חישוב האינטגרל

(כמובן שאסור להוציא משתנה כגורם משותף).

h (x) = -2x³ + 6x²

נציב y=0 בפונקציה על מנת למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה-x:

0 = 2x³ + 6x²–

נוציא גורמים משותפים:

2x² (-x + 3) = 0

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

2x² = 0 / :2

x² = 0 / √

x = 0

(0 , 0)

-x + 3 = 0

x = 3

(0 , 3)

נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן:

(0 , 0) , (0 , 3)

תחומי חיוביות:

x ≠ 0 -ו x < 3

תחומי שליליות:

x > 3

f (x) = ln(-2x³ + 6x²)

תחום ההגדרה של הפונקציה זה תוכן הln גדול מ-0:

 -2x³ + 6x²  > 0

בסעיף הקודם מצאנו את תחום החיוביות של הפונקציה h(x) = -2x³ + 6x²  וזה הפתרון לאי השוויון ולכן תחום ההגדרה יהיה:

x ≠ 0 -ו x < 3

האסימפטוטות המאונכות לציר ה-x הן:

x = 0 , x = 3

אשר תוכן הln שואף ל-0 אז הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ולכן אלה איסמפטוטות אנכיות.

f (x) = ln(-2x³ + 6x²)

נגזור את הפונקציה על פי הנוסחה של נגזרת מורכבת:

f (x) = ln(-2x³ + 6x²)

נגזור את הפונקציה על פי הנוסחה של נגזרת מורכבת:

שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0 ולכן נשווה רק את מונה הנגזרת ל-0:

-6x² + 12x = 0

נוציא גורם משותף:

6x (-x + 2) = 0

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

6x = 0 / :6

x = 0

נפסל בגלל תחום ההגדרה

-x + 2 = 0

x = 2

ה-x החשוד לקיצון הוא: x = 2:

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (1) = 1.5

f ‘ (2.5) = -1.2

נציב x = 2 בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y של נקודת הקיצון:

f (2) = ln(-2 • 2³ + 6 • 2²)

f (2) = ln8

נקודת הקיצון היא:

max (2 , ln8)

ההזזה הזו :

h(x) = – f(x)

גורמת לכך שהפונקציה h(x) תקבל ערכי y הפוכים בסימן עבור אותו ערך x.

למשל כך:

ואילו ההזזה הזו:

h(x) = – f(x) + 4

גם מעלה את הפונקציה h(x) 4 יחידות למעלה.

נתונה הפונקציה g (x) = -f(x) + 4

המשמעות של ההזזה הזו היא שהופכים את סימן ערך ה y של f(x) ואז מוסיפים (מעלים) 4 יחידות לערך ה y.

לכן נקודת הקיצון תהיה מינימום ונכפיל את שיעור ה y שלה במינוס ולאחר מכן נוסיף 4:

y = -ln8 + 4

ולכן שיעור נקודת הקיצון של הפונקציה g (x):

 min (2 , – ln8 + 4)