בעיות קיצון, מינימום מקסימום 581 5 יחידות

סעיף א

DE = 150 / x

סעיף ב1

סעיף ב2

x = √150

עלינו להביע את AE.

אם נדע את S_DAE נדע את AE.

אנו יכולים לדעת את S_ADE ובאמצעותו את S_DAE.

 

 

שטח המשולש ΔABC:

= S_ΔABC = 0.5 * AB * AC * sinα

= 0.5 * 30 * 20 * sinα = 300 * sinα

שטח המשולש ΔADE:

נתון כי שטח המשולש ΔADE הוא רבע משטח המשולש ΔABC, לכן:

S_ΔADE = 0.25 * 300 * sinα

S_ΔADE  = 75 * sinα

נביע את AE

S_ΔADE = 0.5 * AD * AE * sinα

75 * sinα = 0.5 * x * AE * sinα

75 = 0.5x * AE

AE = 150 / x

מבקשים:

“הבע באמצעות a את האורך המינימלי של הקטע DE “

לסעיף זה נשתמש במשפט הקוסינוסים על המשולש ΔADE:

DE² = AD² + AE² – 2AD * AE * cos∠ADE

מכיוון שדורשים מאיתנו להביע באמצעות α את אורך DE המינימלי, נגדיר פונקציה שהיא אורך DE כאשר α הוא פרמטר.

להוצאת שורש יש שתי תשובות, אך התשובה הבאה נפסלת כי DE > 0.

למציאת האורך המינימלי, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס:

כמו כן נשים לב ש α קבוע ולא משתנה שעל פיו אנו גוזרים.

לכן הנגזרת של”

300cos α

היא 0.

 

x⁴ – 150² = 0

(x² – 150)(x² + 150) = 0

(x – √150)(x + √150)(x² + 150) = 0

מכיוון ש-x הוא אורך של צלע, הוא לא יכול להיות שלילי, לכן הפתרון הרלוונטי למשוואה(חשוד למינימום) הוא:

x = √150

נוודא שאכן מדובר בנקודת מינימום:

x > √150	x = √150	x < √150	תחום
	0		f ‘ (x)
			f(x)

12.24 ≈ 150√

לכן נציב בנגזרת x עבור כל תחום לבדיקת חיוביות/שליליות:

שימו לב שמכנה הנגזרת חיובי בכל תחום ההגדרה ולכן ניתן להציב במונה בלבד.

עבור x > √150 :

f ‘ (13) > 0

עבור x < √150 :

f ‘ (10) < 0

x > √150	x = √150	x < √150	תחום
חיובית	0	שלילית	f ‘ (x)
עולה	מינימום	יורדת	f(x)

לכן עבור x = √150 אורך DE הוא מינימלי.

נמצא את האורך ע”י הצבת x = √150 בפונקציה:

לכן האורך המינימלי של DE הוא:

מבקשים מאיתנו:

הסק מתת סעיף ב1 את הערך של x שבעבורו היחס

הוא מינימלי.

פתרון

מצאנו בסעיף הקודם מתי המונה מינמלי.

מה לגבי המכנה?

AB = 20

AC = 30

וגם גודל הזווית BAC∠ קבוע,

לכן BC קבוע.

לכן היחס DE / BC מינימלי כאשר DE מינימלי.

מצאנו כי DE מינימלי כאשר x = √150.

לכן ערך x עבורו DE הוא מינימלי הוא x = √150.

1.

לאורך התרגיל מדברים איתנו על שני דברים x, DE.

כל פעם במרכז החישוב שלנו יש משהו אחד שהוא לא בהכרח מה ששואלים עליו.

לכן שימו לב שמה שבמרכז החישוב ומה ששואלים עליו יכולים להיות שני דברים שונים.

2.

לדעת שאם מבקשים את DE למשוואה הזו יש שני פתרונות:

שהם:

אבל מכוון ש DE הוא גודל של צלע (חיובי) הביטוי השני נפסל.

3.

כאשר מבקשים מאיתנו לגזור את DE.

לשים לב ש:
300cos a

הוא מספר ולכן הנגזרת שלו היא 0.

4.

לדעת לפתור את המשוואה:

x⁴ – 150² = 0

על ידי הפירוק:

(x² – 150)(x² + 150) = 0

לפסול את מה שלא צריך.

(x – √150)(x + √150) = 0

ואז שוב לפסול.

x = √150

5.

שימו לב שבשני דברים בסיכום עלה הנושא של פסילת תשובות בגלל חיוביות / שליליות.

סעיף א

x = 1.5R

סעיף ב

S_AFE + S_CDF = 0.65 R²

חלק ראשון של הרמז: הבנה מה מבקשים

מבקשים:

“הביעו באמצעות R את הערך של x שבעבורו שטח המלבן ACDE מקסימלי”

מכוון שמבקשים שטח מלבן מקסימלי – עלינו לבנות פונקציה של שטח המלבן.

מכוון שאומרים הביעו באמצעות R המשמעות היא שגם R וגם x יהיו חלק מהפונקציה.

חלק שני של הרמז: בניית הפונקציה

מה שחסר לנו כדי לתאר את שטח המלבן זה רוחב המלבן (CD).

נחשוב על בניית עזר שתאפשר לנו לתאר את CD בעזרת R,x.

נסו להבין מה הקשר בין סכום שטחי שני המשולשים לשטח המלבן שמצאנו את נקודת המקסימום שלו.

נתון:

AB = 2R קוטר במעגל.

AC = x

AC > R

עלינו לבטא את שטח המלבן ACDE.

מה שחסר לנו זו הצלע DC ומותר לנו לבטא אותה באמצעות x, R.

נוסיף בניית עזר של רדיוס המעגל ממרכזו לנקודה D ונשתמש במשפט פיתגורס.

כך ניצור משולש שבעזרתו ניתן לבטא את DC.

DC² = R² – (R – x)² =

= R² – R² +2Rx – x² =

= 2Rx – x²

אז שטח המלבן:

נמצא את ה-x עבורו השטח מקסימלי באמצעות הנגזרת-

3Rx – 2x² = 0

x(3R – 2x) = 0

x = 0

מצב זה אינו אפשרי.

3R = 2x

x = 1.5R

מקרה זה הוא מקרה שבו למרות שנקודת הקיצון מוגדרת באמצעות פרמטר ניתן למצוא את סוג הקיצון בעזרת טבלה:

2R	1.5R	R	0
	0			f ‘ (x)

מכנה הנגזרת חיובי ולכן כדי לקבוע את סימן הנגזרת מספיק להציב במונה הנגזרת

x  = R

3R* R – 2R² = R² > 0

x  = 2R

3R* R – 2(2R)² = -5R² < 0

2R	1.5R	R	0
שלילית	0	חיובית		f ‘ (x)
	מקסימום

דרך פתרון שנייה (שרטוט גרף הנגזרת)

המכנה חיובי בתחום ההגדרה.

המונה הוא פרבולת מקסימום עם נקודות חיתוך ב:

x = 0

x = 1.5R

ב x = 1.5R הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות ולכן זו נקודת מקסימום.

סכום שטחי המשולשים שווה למחצית משטח המלבן.

S_AFE + S_CDF = 0.5S_ACDE

הדבר נובע מכך ששטח משולש AFC שווה למחצית משטח המלבן

לכן הסכום המקסימלי של שטחי המשולשים מתקבל כאשר שטח המלבן מקסימלי.

נחשב את שטח המלבן המקסימלי:

= ( 1.5R) (0.866 R) = 1.3 R²

סכום שטחי המשולשים המקסימלי הוא חצי משטח המלבן:

S_AFE + S_CDF = 0.65 R²