בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 581 חורף 2018

v₁ / v₂ = 18 / 29

נגדיר:
x  ההספק של כל אחד מהצינורות.

נגדיר את הזמנים בם התמלאה בריכה א ואת הכמויות שהגיעו באותן הזמנים לבריכה ב.

בשלב ראשון בבריכה א
4x הוא ההספק של ארבעת הצינורות.
0.166v₁ היא העבודה.
לכן הזמן של שלב זה הוא:

שלב שני בבריכה א
3x הוא ההספק של שלושת הצינורות.
בשלב השני מלאו בבריכה א
1/3 = 1/6 – 1/2
0.33v₁ בריכה היא העבודה.

לכן הזמן של שלב ב הוא:

בשלב השלישי בבריכה א
x  הוא ההספק של הצינור היחיד.
0.5v₁  היא העבודה.

לכן הזמן הוא:

עבור בריכה ב
בשלב א הבריכה לא מולאה.

בשלב ב הבריכה מולאה עם צינור אחד.
לכן כמות המים שמולאה בה היא.

בשלב ג בריכה ב התמלאה ב 3 צינורות.
לכן כמות המים שמולאה בבריכה ב היא:

בניית משוואה
סך כל כמות המים שמולאה בבריכה ב היא v₂ לכן המשוואה היא:

2v₁ + 27v₁ = 18v₂
29v₁ = 18v₂
v₁ / v₂ = 18 / 29

אם היינו רוצים לתאר את מה שקרה בבריכה א בטבלה זה היה נראה כך:

 

	הספק
שלב א	4x		0.166v1
שלב ב	3x		0.33v1
שלב ג	x		0.5v1

סעיף א

על פיאה אחת רשום אחד

סעיף ב

0.3466

סעיף ג

0.5533

נגדיר:
x  מספר הפעמים שהספרה 1 מופיעה בקובייה של גלית.

באלו מקרים מיכל תנצח?

כאשר היא תקבל 4 היא תנצח בכול מקרה.

0.5 זו ההסתברות שמיכל תוציא 4.

כאשר מיכל תוציא 2 וגלית תוציא 1.

ההסתברות שזה יקרה היא:

סכום ההסתברויות הוא 7/12 לכן המשוואה היא:

x + 6 = 7
x = 1
תשובה: על פיאה אחת רשום אחד.

5/12 זו ההסתברות שגלית תנצח בסיבוב יחיד.

על מנת שגלית תנצח במשחק עם 5 סיבובים היא צריכה לנצח ב 3 / 4 / 5 סיבובים.

נחשב את ההסתברות בכול אחד מהמקרים בעזרת ברנולי ואז נחבר.

התשובה הסופית היא 0.3466.

מדובר בהסתברות מותנית. נגדיר אירועים:

A – גלית תנצח במשחק

B – גלית ניצחה בסיבוב הראשון

P (A / B) = P (A∩B) / P (B)

P (B) = 5/12

P (A∩B) = (5/12) * P(גלית ניצחה בלפחות 2 מתוך 4 הסיבובים הנותרים)

הסיכוי שלה לנצח בלפחות 2 מתוך 4 הסיבובים מתקבל מנוסחת ברנולי לכל אפשרות.

סה”כ נקבל

P = 0.5533

סעיף א

בניות עזר: OG – אנך מנקודה O לצלע AD. לכן גודלו הוא המרחק מ-O לצלע AD.

OE – רדיוס לנקודת ההשקה של AC את המעגל.

הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, לכן הרדיוס הוא המרחק מ-O ל-AC, לכן: AE = 3

נזכור שמקבילית אם יודעים זווית אחת יודעים את כל הזוויות.
במשולש ישר זווית OAG קל לנו לחשב את הזווית OAG.
sin OAG = OG / OA = 0.6

∠OAG = 36.87

על מנת למצוא את הזווית החסרה, זווית OAB ניצור את משולש ישר הזווית OAF על ידי העברת רדיוס אל נקודת ההשקה.

כל הרדיוסים במעגל שווים, לכן:

OE = OF = 3
sin OAF = OF / OA = 0.3

∠OAF = 17.45

∠BAD = ∠OAF + ∠OAG = 17.45 + 36.87 = 54.32°

∠BAD = ∠BCD = 36.87 + 17.45 = 54.32
∠ABC = ∠ADC = 180 – 54.32 = 125.67

דרך נוספת למציאת הזווית החסרה (ללא בניית עזר):

מכוון שמרכז המעגל הנחסם במשולש הוא נקודת המפגש של חוצי הזווית הישר AO חוצה את זווית BAC.
במשולש OEA נחשב את זווית OAE.
sin ∠OAE = OE / OA = 0.3

∠OAE = 17.45

קטע המחבר נק’ חיתוך של שני משיקים למעגל ואת מרכז המעגל חוצה את הזווית בין שני המשיקים, לכן:

∠BAO = ∠OAE = 17.45

sin ∠OAG = OG / OA = 0.6

∠OAG = 36.87

∠BAD = ∠OAF + ∠OAG = 17.45 + 36.87 = 54.32°

∠BAD = ∠BCD = 36.87 + 17.45 = 54.32
∠ABC = ∠ADC = 180 – 54.32 = 125.67

זוויות המקבילית הן: 54.32° , 125.67°

חישוב מקדים
∠CAD = ∠OAD – ∠OAC = 36.87 – 17.45 = 19.42

לפי זוויות מתחלפות שוות בין מקבילים:

∠BCA = ∠CAD = 19.42

CO הוא חוצה זווית BCA כי ישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים אל מרכז המעגל הוא חוצה זווית.

∠ECO = 0.5 ∠BCA = 9.71

חישוב האלכסון
נחשב את CE במשולש ישר זווית OCE.
tg ∠ECO = OE / EC
EC = EO / tg∠ECO = 3 / tg 9.71 = 17.532

נחשב את AE במשולש OEA על פי משפט פיתגורס:

OE² + AE² = OA²
AE² = OA² – OE² = 10² – 3² = 91
AE = 9.539

AC = 17.532 + 9.539 = 27.07

	טענה	נימוק
1	ABCD מקבילית	נתון
2	AB = CD	צלעות נגדיות במקבילית שוות
3	BC = AD	צלעות נגדיות במקבילית שוות
4	∠ABC = ∠ADC	זוויות נגדיות במקבילית שוות
5	ΔABC ≅ ΔCDA	לפי צ.ז.צ.
6	SΔABC = SΔCDA	שטחי משולשים חופפי שווה
7	SABCD = SΔABC + SΔCDA = 2SΔCDA	חיבור שטחים
8	∠BAC = 2∠OAE = 2 * 17.45 = 34.9
9	∠BAE = 34.59°	חישבנו סעיף א
10	AB || CD	במקבילית הצלעות הנגדיות מקבילות
11	∠ACD = ∠BAE = 34.59	זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

במשולש CDA אנו יודעים את כל הזוויות ואת הצלע AC.
בעזרת משפט הסינוסים ניתן למצוא צלע נוספת ואז לחשב את שטח משולש ACD:

S_ΔCDA = 0.5 * DC * AC * sin∠ACD = 0.5 * 27.07 * 11.07 * sin34.59 = 85.72

S_ABCD = 2S_ΔCDA = 2 * 85.72 = 171.45

סעיף א1

סעיף א2

 x = π/2  ,  x = -π/2

סעיף א3

הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה

סעיף א4

סעיף ב1

סעיף ב2

הוכחה

סעיף ב3

סעיף ג

חקרו את הפונקציה

בתחום: 

תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של פונקציית השורש – הביטוי שבתוך השורש מוכרח להיות אי שלילי (כלומר או חיובי או אפס).
במקרה שלנו, השורש נמצא במכנה, ולכן כאשר הביטוי שבתוך השורש מתאפס הפונקציה אינה מוגדרת.
כלומר – הביטוי שבתוך השורש מוכרח להיות חיובי.
cos(x) > 0
הפונקציה cos חיובית בתחום :   –  זהו תחום ההגדרה של הפונקציה.

אסימפטוטות:
cos(x) = 0 עבור x = π/2  וגם  x = -π/2.
לכן, כאשר x שואף לערכים אלו, המכנה ישאף ל – 0, ואילו המונה ישאף למספר קבוע שאינו 0.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף – כלומר, אלו אסימפטוטות אנכיות.

תשובה: הישרים   x = π/2  ,  x = -π/2  הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.

תחומי עלייה וירידה:
ראשית, נבדוק האם לפונקציה יש נקודות קיצון:
(שימו לב כי זוהי נגזרת של מנה בשילוב של פונקציה מורכבת – יש שורש במכנה).

הביטוי שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.

נכפול את המשוואה ב – 2*cosx√:
2cos²x + sin²x = 0
למשוואה זו אין פתרון, מכיוון שאנו מחברים שני ביטויים שבהכרח חיוביים (כי מועלים בריבוע),
אזי התוצאה אינה יכולה להיות אפס.

לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.

נציב נקודה כלשהי בנגזרת על מנת לבדוק האם הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה.
(אין נקודות אי הגדרה בתוך התחום, ולכן הפונקציה בהכרח רציפה , ולא יהיו שינויים בסימן הנגזרת).
f ‘ (0) = 1 > 0

תשובה: הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

סקיצה:

בתחום:  

תחום הגדרה:
בדומה לתחום ההגדרה בסעיף א’, גם כאן נדרוש שהביטוי בתוך השורש יהיה חיובי.
sinx > 0  בתחום :    –  זהו תחום ההגדרה.

על מנת להוכיח זאת, נפתח את הביטוי : (f(x – π/2-  , ונראה כי הוא שווה ל – (g(x.

– (sin(x היא פונקציה אי זוגית, ולכן sin(-x) = -sinx
– (cos(x היא פונקציה זוגית, ולכן cos(-x) = cosx

מש”ל.
– השתמשנו בזהויות:
(cos(π/2 -x) = sin(π/2
(sin(π/2 -x) = cos(π/2

סקיצה:

מהמשוואה שהוכחנו בסעיף הקודם נוכל להסיק כי (g(x תהיה מוזזת ימינה ב – π/2 ביחס ל – (f(x.
בנוסף, מכיוון שסימנן הפוך (אחת היא מינוס של השניה) , (g(x תהיה הפוכה ביחס לציר x.

 

מתקיים:  (f(-x) = -f(x.
לכן, הפונקציה (f(x היא פונקציה אי – זוגית.

גבולות האינטגרל הנתון הם סימטריים ביחס לציר y (כלומר במרחק שווה מציר y).
מכיוון שהפונקציה אי – זוגית, שני השטחים משני צידי ציר y יהיו שווים לחלוטין.
ההבדל ביניהם הוא שאחד מעל ציר x (חיובי) והשני מתחתיו (שלילי).
לכן הם יבטלו אחד את השני, וערך הביטוי יהיה 0.

הדגמה בעזרת הסקיצה:
ניתן לזהות מהגרף כי שני השטחים זהים פרט להיותם בצדדים שונים של ציר x.

סעיף א

x = √3

סעיף ב

x = 5.

f(x) = 1/x³

ראשית, נשרטט סקיצה המכילה את כל נתוני השאלה, כך השאלה תהיה יותר ברורה.

זוהי בעיית קיצון. שואלים אותנו לגבי אורכי הניצבים במשולש AOB.
מטרתנו היא להביע את סכום אורכי הניצבים במשולש כפונקציה של t.
לכן ראשית נמצא את שיעורי הנקודות A ו-B (כתלות ב- t).

נמצא את משוואת הישר המשיק:
השיפוע בנקודה x = t הוא ערך הנגזרת בנקודה זו.
f ‘ (x) = -3/x⁴
f ‘ (t) = -3/t⁴
לכן:   m = -3/t⁴.
יש לנו גם נקודה שנמצאת על הישר – נקודת ההשקה: (t, 1/t³).
נציב בנוסחה למשוואת ישר:
(y – 1/t³ = -3/t⁴(x – t
y = -3x/t⁴ + 3/t³ + 1/t³
y = -3x/t⁴ + 4/t³

נקודה A היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר x. לכן על מנת למצוא את נקודה A, נציב y = 0:
3x/t⁴ + 4/t³ = 0-
3x/t⁴ = 4/t³
(x = (4/t³)/(3/t⁴
x = 4t / 3
לכן שיעורי נקודה A הם: (0, 4t/3)

נקודה B היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר y, לכן על מנת למצוא אותה נציב x = 0.
y = 4/t³.
לכן : (B : (0 , 4/t³

כעת נגדיר את הפונקציה המייצגת את אורכי הניצבים:
f(t) = OA + OB
f(t) = 4t/3 + 4/t³

נגזור על מנת למצוא נקודות קיצון:
f ‘ (t) = 4/3 – 12/t⁴ = 0
נכפול ב – 3t⁴ :
4t⁴ = 36
t⁴ = 9
t = √3
(נתון כי t הוא בין 1 ל-5, לכן אינו יכול להיות שלילי).

נבדוק האם זוהי אכן נקודת מינימום בעזרת טבלה:

זוהי אכן נקודת מינימום.

לכן, שיעור ה- x של נקודת ההשקה, עבורו סכום ניצבי המשולש מינימלי, הוא: x = √3.

לא מצאנו עוד נקודות קיצון לפונקציה שהגדרנו.
נסיק מכך כי נקודת המקסימום נמצאת באחת מקצוות התחום.
נבדוק זאת בעזרת טבלה:

שתי הקצוות הן נקודות מקסימום.
אך נשים לב כי עבור t = 5 ערך הפונקציה גדול יותר, ולכן זוהי נקודת המקסימום שאנו מחפשים.

לכן, שיעור ה – x של נקודת ההשקה, עבורו סכום ניצבי המשולש מקסימלי, הוא x = 5.