פתרון בגרות במתמטיקה קיץ 2020 שאלון 581

כאשר מבקשים מאיתנו את יחס המהירויות עלינו למצוא את

כמו כן כאשר עלנו למצוא מהירות לרוב נגדיר אותה על ידי :
v = x / v.

כאשר נתון יחס 3:8 נגדיר חלק אחד כ 3x ואז החלק השני יהיה 8x.

יש שני נעלמים v₁, v₂ ועלינו לבנות שתי משוואות:

משוואה ראשונה מצאנו בסעיף הקודם.

משוואה שנייה תיבנה על סמך הנתון:

שוב הן נעות אותו פרק זמן.
והמרחק שאחת עוברת כפול או יותר מכך מהמרחק של האחרת.

לכן צריך לבטא את המרחק שכל אחת עוברת באמצעות t ולבנות אי שוויון

סעיפים א,ג עוסקים במצב שבו שני גופים נעים אותו פרק זמן.

במקרה כזה יחס המרחקים שהם עוברים שווה ליחס המהירויות שלהם.

1.עלינו לדעת שכאשר מבקשים יחס מהירויות עלינו לחשב את הביטוי הבא.

2.כאשר אנו רוצים למצוא מהירות לרוב נגדיר אותה כ x / t.

3.כאשר נתון לנו יחס 3:8 נגדיר את אחד הדברים כ 3x ואז הדבר השני יצא עגול 8x.
אם נגדיר את אחד הדברים כ x הביטוי השני לא יצא עגול.
עוד על הגדרת משתנים כאשר נתון יחס ניתן ללמוד בדף בעיות יחס.

4.כאשר אומרים “מצאו יחס” או נותנים לנו משוואה בה יש חילוק כמו:

כנראה שניתן לבחור משתנה נוסף שיצמצם במהלך הפתרון.
כלומר מספר המשתנים יכול להיות גדול ב 1 ממספר המשוואות.

הבנת המשוואה הבאה די מסכמת את החלקים החשובים בשאלה:

סעיף א

היחס בין המהירות של זיוה לשל רויטל הוא 3/8.

סעיף ב

המהירות של זיוה היא 6 קמ”ש והמהירות ההתחלתית של רויטל 16 קמ”ש.

סעיף ג

0 < k < 3.5

עלינו למצוא את

נגדיר את המהירות של רווויטל וזיווה כדרך חלקי הזמן של כל אחת מיהן.

נתון כי היחס בין המרחקים שעברו:

כלומר אם נגדיר:

AC = 3x

אז נקבל:

3x*8=3*AB
24x = 3AB / :3
AB = 8x

עכשיו יש את המרחק של כל אחת מיהן מבוטא באמצעות x.

t הזמן בשעות שכל אחת מיהן נעה (נתון כי הזמן הזה שווה).

נגדיר את המהירות של כל אחת מיהן:

המהירות של זיוה היא:    V₂=3x/t
הדרך שעברה רויטל היא:  V₁=8x/t

היחס בין המהירויות שווה ל:

תשובה: היחס בין המהירות של זיוה לשל רויטל הוא 3/8.

יש לנו שני נעלמים שהם שתי המהירויות. נבנה עבורם שתי משוואות.

1. המשוואה הראשונה תהיה הקשר בין המהירויות שמצאנו בסעיף הקודם. 8V₂ = 3V₁
2. המשוואה השנייה תגיע בעקבות הנתון

עד הפגישה מתקיים:

v₂ מהירות הליכתה של זיווה.
v₁ + 3 מהירות הרכיבה של רוויטל.

t   זמן הנסיעה של כל אחת מיהן עד הפגישה.

CD = V₂*t
מרחק הליכתה של זיווה.

DB = t * (v₁ + 3)
מרחק רכיבתה של רוויטל.

נציב במשוואה:

19V₂ = 6*(V₁+3)
19V₂ = 6V₁ + 18

התקבלה משוואה עם 2 נעלמים.
נשתמש בקשר בין המהירויות שמצאנו בסעיף הקודם.
קיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים:

8V₂ = 3V₁
19V₂ = 6V₁ + 18

נפתור בשיטת השוואה מקדמים:
נכפיל את משוואה 1 פי 2-

16*V₂ = 6*V₁
19V₂ = 6V₁ + 18

נחסר את משוואה 1 ממשוואה 2-

3*V₂ = 18  / :3
V₂ = 6

נציב במשוואה הראשונה-

8*V₂ = 3*V₁
8*6 = 3*V₁
48 = 3*V₁  /:3
V₁ = 16

תשובה: המהירות של זיוה היא 6 קמ”ש והמהירות ההתחלתית של רויטל 16 קמ”ש.

נתאר את תנועתן מD לA באמצעות טבלה:
ידוע שמהירותה של זיוה בחלק זה גבוהה ב k ממהירותה ההתחלתית לכן 6+k קמ”ש.

בנוסף, ידוע שמהירותה של רויטל זהה למהירותה בסעיף ב’, כלומר 19=16+3 קמ”ש.

הדרך של זיווה קטנה מ 1/2 הדרך שעברה רוויטל ולכן מתקיים:

0.5*19*t > (6+k)*t  / :t
9.5 > 6 + k
3.5 > k

מכיוון ש k מייצג מהירות, הוא מספר חיובי ולכן תחום הערכים האפשריים עבורו הם:

0 < k < 3.5

יש את הנתונים, צריך להציב אותם בנוסחת הסכום ולקבל שני סכומים שונים

על מנת להוכיח שסדרה מסויימת היא סדרה הנדסית, עלינו להראות שהחילוק בין 2 איברים סמוכים הוא קבוע.

b_{k+1 /} b_k  הוא קבוע.

נציב את q = 2 בנוסחת b_k ונראה שהוא מורכב מ 7 כפול משהוא.

נסיק את q מהנתונים ונציב בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית.

סעיף א1

סעיף א2

q=2

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

a₁ = 26

נוסחת סכום סדרה הנדסית:

נוסחת סכום הסדרה החל מהאיבר החמישי:
האיבר הראשון שנסכום הוא a₅
מספר האיברים בסכימה זה כל האיברים פחות ארבעת הראשונים כלומר n-4
לכן:

על מנת לבנות משוואה, נשתמש בנתון:
“סכום n-4 האיברים הראשונים של הסדרה קטן פי 16 מסכום איברי הסדרה החל באיבר החמישי (כולל)”.

בסעיף הקודם מצאנו את סכום איברי הסדרה החל באיבר החמישי.
כעת נמצא את סכום n-4 האיברים הראשונים:

סכום זה קטן פי 16 מהסכום שמצאנו בסעיף הקודם ולכן:

a₅ = 16*a₁

לפי נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית:
a₅ = a₁*q⁴

a₁*q⁴=16*a₁  / :a₁

q⁴ = 16
q=2

תשובה: מנת הסדרה היא 2.

סעיף ב’ 1

על מנת להוכיח שסדרה מסויימת היא סדרה הנדסית, עלינו להראות שהחילוק בין 2 איברים סמוכים הוא קבוע.
כלומר ש  b_{k+1 /} b_k  הוא קבוע.

b_k = a_k + a_k+1 + a_k+2
b_k+1 = a_k+1 + a_k+2 + a_k+3

q=2
כלומר קיבלנו מספר קבוע ולכן הסדרה היא סדרה הנדסית.

b_k = a_k + a_k+1 + a_k+2
b_k = a_k + a_k*q + a_k*q²

נציב q=2:
b_k = a_k + 2a_k + 4a_k = 7a_k

מכאן נובע שb_k הוא כפולה של 7 ולכן איברי הסדרה מתחלקים ב7 ללא שארית.

ראשית, נמצא את מנת הסדרה:

נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית:

כאשר האיבר הראשון הוא c_1, מנת הסדרה 0.5 וסכום הסדרה הוא 1/91.

b₁ = 182

בסעיף הקודם מצאנו שהקשר בין איבר בסדרה a לאיבר בסדרה b הוא:

b_k = 7*a_k
b₁ = 7*a₁
182 = 7*a₁  /:7
a₁ = 26

1. כפל מספר זוגי במספר זוגי הוא מספר זוגי.
2. כפל מספר זוגי באי זוגי הוא זוגי.
3. כפל מספר אי זוגי באי זוגי הוא אי זוגי.

הדרך הקלה היא לחשב את ההסתברות המשלימה (מספר 3).

כך מחושבת ההסתברות:

את ההסתברות במכנה חישבנו בסעיף הקודם.

ההסתברות במונה היא:

ההסתברות לראשון אי זוגי * שני אי זוגי

נחשב בעזרת ההסתברות המשלימה:

1. מה ההסתברות להוציא בהוצאה יחידה אי זוגי?
2. מה ההסתברות להוציא ב k הוצאות כל פעם אי זוגי?

סעיף א

85/121

סעיף ב

6/17

סעיף ג1

p  = 0.75

סעיף ג2

מכפלה זוגית מתקבלת כאשר:

1. מכפילים שני מספרים זוגיים.
2. מכפילים מספר זוגי באי זוגי.

כלומר המקרה היחיד בו מתקבלת מכפלה אי זוגית הוא כאשר מכפילים מספר אי זוגי באי זוגי.

נחשב את ההסברות המשלימה של שני אי זוגיים.

6/11 זו ההסתברות לקבל אי זוגי בהוצאה הראשונה ובשנייה.

לכן ההסתברות להוציא שני אי זוגיים היא:

וההסתברות לקבל מכפלה זוגית היא:

דרך פתרון נוספת

אם היינו בוחרים לחשב את כל הדרכים (ללא הסתברות משלימה) שבהם מתקבלת מכפלה זוגית זה היה נראה כך:

נשתמש בנוסחת הסתברות מותנית:

אם ידוע שהמכפלה של שני המספרים היא זוגית.
אז ההסתברות שהמספר שעל הכדור הראשון הוא אי-זוגי היא:

זו ההסתברות המבוקשת.

נחשב את ההסתברות שבמונה:

ההסתברות לראשון אי זוגי * שני אי זוגי

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

תשובה:   6/17.

בכד יש מספר זוגי של כדורים ממוספרים בסדר עולה.

כלומר מחצית מהכדורים זוגיים ומחציתם השנייה אי זוגיים.

0.5 הסתברות לזוגי.

0.5 הסתברות לאי זוגי.

נחשב את ההסתברות המשלימה – מכפלה אי זוגית.

המתקבלת כאשר שני הכדורים אי זוגיים.

ההסתברות לשני אי זוגיים:

0.5 * 0.5 = 0.25

ההסתברות לקבל מכפלה זוגית היא:

p = 1 – 0.25 = 0.75

ההסתברות שבכול המקרים נקבל מכפלה אי זוגית:

לכן ההסתברות שבכל הפעמים נקבל מכפלה זוגית:

סעיף א1 נפתר על ידי בניית שתי שוויונות בעזרת המשפט:
אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

סעיף א2 נפתר בעזרת הוכחת דמיון משולשים ושימוש בזוויות שוות בין המשולשים הדומים.

המשולש האדום והמשולש הירוק הגדול הם המשולשים הדומים.

על מנת להוכיח שמרובע הוא בר חסימה, עלינו להראות שסכום זוג זוויות נגדיות במרובע הוא 180 מעלות.

המשוואה המבוקשת היא בעצם יחס הדמיון.

נשתמש ביחס השטחים על מנת למצוא את יחס הדמיון.

נתון במרובע ABCD:
AD הוא קוטר והאלכסונים מאונכים זה לזה.

הערות

1.בסעיף זה הוספנו את שרטוט המעגל החוסם כי הפתרון מבוסס על זוויות.
כאשר יש שרטוט נוח יותר למצוא את התכונות של זוויות היקפיות ומרכזיות.
2.פתרון סעיף זה מבוסס על כך שזוויות ABC = ∠ADC נשענות על אותו מיתר ולכן שוות.

סעיף א

BC = 1.225a

סעיף ב

∠BMC = 133.4

∠MBC = ∠MCB = 23.28

סעיף ג

S_ΔABC  = 62.69

ניתן לראות שבמשולש ABD אנו יודעים 3 צלעות.

ניתן בעזרת משפט הקוסינוסים למצוא זווית במשולש זה ואז לחשב את BC.

סעיף ב’

שלבי הפתרון:

נוכיח בעזרת חפיפת משולשים ש CE = BD.

ואז במשולש BMC נדע 3 צלעות ונוכל לחשב בעזרת משפט הקוסינוסים את הזווית המבוקשת.

סעיף ג’

במשולש BMK ניתן למצוא את a.
ואז לחשב את שטח המשולש.

נסו לזהות האם זו פרבולה מינימום או מקסימום ומתי הפרבולה הזו חותכת את הצירים.

בנוסף המכנה צריך להיות שונה מ 0.

1.שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0.

2.האם x= 0 נמצא בתחום ההגדרה?

1.האם הנקודה החשודה כאסימפטוטה אנכית נמצאת בתחום ההגדרה.

2.לפונקציה שתי אסימפטוטות אופקיות שונות.

נציב את שני הביטויים במשוואה ונפתור

גזרו את הפונקציה וזהו את סימן הנגזרת על פי חלקי הנגזרת

סעיף א1

x ≥ a  או  x ≤ -1.

סעיף א2

(-1,0)  , (a,0)

סעיף א3

y=1
y= -1

סעיף ב

a = 5.

סעיף ג1

הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

סעיף ג2

סעיף ד

תחום ההגדרה של הפונקציה:
כאשר המכנה שונה מאפס וגם כאשר תוכן השורש גדול שווה לאפס.
כלומר:

x – 2 ≠ 0
x ≠ 2
וגם
(x+1)(x-a)  ≥ 0

קיבלנו אי שוויון ריבועי.
הוא מתאפס כאשר x=-1, x=a
המקדם של x² חיובי לכן מדובר בפרבולה עם נקודת מינימום.

כלומר כאשר:

x ≥ a  או  x ≤ -1

מכיוון שידוע ש a>2 , תחום זה אינו כולל את x=2

ולכן תחום ההגדרה הוא  x ≥ a  או  x ≤ -1.

מציאת נקודות חיתוך עם ציר הy:
על מנת למצוא את נקודות החיתוך עלינו להציב x=0 במשוואת הפרבולה.
לפי הסעיף הקודם, x=0 לא בתחום ההגדרה ולכן אין נקודות חיתוך עם ציר זה.

מציאת נקודות חיתוך עם ציר הx:
נציב y=0 במשוואת הפרבולה:

0 = √(x+1)(x-a)
0 = (x+1)*(x-a)
x= -1, x=a

נקודות החיתוך הן:

(-1,0)  , (a,0)

מציאת אסימפטוטות אנכיות:
x = 2 מאפס את המכנה אבל הפונקציה אינה מוגדרת בסמוך לנקודה זו.
לכן נקודה זו אינה אסימפטוטה אנכית.
(האסימפטוטה אמורה להשיק לפונקציה אבל x = 2 לא יכול להשיק כי הפונקציה אינה מוגדרת בסמוך).

מציאת אסימפטוטות אופקיות:
החזקה הגבוהה במונה היא:

√x² = |x|

החזקה הגבוהה במכנה היא  x.
נחלק את המקדמים:
y=1
y= -1

ניתן לכתוב זאת גם כך:
עבור x שואף לאינסוף

עבור x שואף למינוס אינסוף

f (a+2) = – f(2-a)

נציב בפונקציה:

נשווה בין הביטויים:

a > 2 ושונה מ 0 לכן ניתן להכפיל בו.

(a+3)*2 = (3-a)*(2-2a)

2a + 6 = 6 – 6a – 2a + 2a²
2a² – 10a = 0
2a ( a-5 ) = 0
a = 0    a = 5

0 לא בתחום ההגדרה ולכן a = 5.

מציאת תחומי עלייה וירידה-
נגזור את הפונקציה

18 הוא המונה והוא חיובי תמיד.

המכנה מורכב מ 2, שורש, חזקת 2. כולם ביטויים חיוביים תמיד.

לכן הנגזרת חיובית תמיד והפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

הפונקציה (f(x+2 נראית אותו דבר עם הזזה של 2 יחידות שמאלה בציר הx.

1. סעיף א1: צריך לדעת לזהות תחומי חיוביות ושליליות של פרבולה.
2. סעיף א2: לדעת שאם פונקציה לא מוגדרת ב x = 0 אין לה חיתוך עם ציר ה y.
3. סעיף א3: לדעת שאם הפונקציה לא מוגדרת בסמוך ל x = 2 אז x = 2 לא יכול להיות אסימפטוטה אנכית גם אם המכנה לא מוגדר בנקודה זו.
4. סעיף ב: לדעת לזהות שבר חיובי או שלילי תמיד.

וגם לדעת לעשות את המעברים הבאים (נלמד בדף הבא)

5.סעיף ד.
g(x) = f(x +2)
זו הזזה שמאלה. כאשר רשום + זזים שמאלה.
רשום – זזים ימינה.

איזו מבין הפונקציות sin, cos עוברת ב 0,0?

איך נגרום לגרף להיות שלילי מיד לאחר ראשית הצירים?

צריך לבנות אינטגרל מסוים ולחשב אותו

סעיף א1

פונקציה מספר 2.

סעיף א2

a<0

סעיף א3

x = π/2,   x = 0

סעיף ב

∫_π/2^π a*sin(2x) dx = -a

סעיף ג

גרף 1.

הגרף עובר דרך 0,0 ולכן זו פונקציית ההסינוס ולא פונקציית הקוסינוס שלא עוברת בראשית הצירים.

בנוסף לאחר ראשית הצירים פונקציית הסינוס חיובית, על מנת שתהפוך לשלילית היא צריכה להיות מוכפלת במספר שלילי.
a² חיובי תמיד ולכן האפשרות היחידה היא להכפיל ב a.

מתוך ארבעת הפונקציות הנתונות, היחידה שעונה על תנאים אלו היא פונקציה מספר 2.

לפי ההסבר מהסעיף הקודם, a צריך להיות שלילי הוא בתחום a<0

x₀ , x₁ הן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר הx.
ניתן למצוא את נקודות אלו על ידי הצבה של y=0 במשוואת הפונקציה

0 = a*sin2x  / :a
sin2x = 0
x = π/2,   x = 0

(אלו הם שני הפתרונות הראשונים של המשוואה).

∫_π/2^π a*sin(2x) dx = [ -a*cos(2x)/2 ]_π/2^π

[ -a*cos(2π)/2 ] – [ -a*cos(π)/2 ]  = -a/2 – a/2 = -a

הפונקציה מחשבת את סכום השטח.

סכום השטח גדל בכל התחום ולכן הפונקציה צריכה לעלות בכל התחום. (גרף 3 נפסל).

כמו כן סכום השטח גדל בהתחלה מהר, ולאחר מיכן לאט וזה אומר ששיפוע הפונקציה בהתחלה תלול ולאחר מיכן מתון יותר.
וזה מתאים רק לגרף 1.

סעיף א
להסתכל על תכונות פונקציות ה sin, cos ועל פיהם לפסול גרפים.

סעיף ג
להבין שבמקרה זה הסכום גדל בכל בתחום ולכן הפונקציה עולה בכל התחום.

הסכום עולה בקצב קטן – ולכן השיפוע קטן.

אסימפטוטה אנכית יש בנקודה המאפסת את המכנה אבל לא מאפסת את המונה.

הפונקציה לאחר הצמצום זהה לפונקציה לפני הצמצום בכל דבר מלבד תחום ההגדרה.

לכן נשתמש בפונקציה המצומצמת למציאת קיצון.

אנחנו יכולים לחשב את האינטגרל ולקבל פונקציה המייצגת את האינטגרל.

אנו נקבל ערך מינימלי לאינטגרל כאשר ערך הפונקציה שקיבלנו הוא מינימלי (נקודת מינימום של הפונקציה).

סעיף א1

x ≠ -2

סעיף א2

בנקודה זו אין אסימפטוטה אלא חור

סעיף ב1

הפונקציות (f(x), g(x שוות לכל x בתחום ההגדרה (פרט לx=2).

סעיף ב2

נקודת מינימום

   (√7, -17.04)

נקודת מקסימום
(-√7, 57.04)

סעיף ג

סעיף ד

t = 4

תחום הגדרה-
הפונקציה לא מוגדרת כאשר המכנה מתאפס.
x + 2 ≠ 0

x ≠ -2

x=-2 מאפס את המכנה.
נבדוק האם הוא מאפס גם את המונה-

(-2)⁴ + 2*(-2)³ – 21*(-2)² – 22*(-2) + 40 = 16 – 16 – 84 + 44 + 40 = 0

קיבלנו 0/0 ולכן בנקודה זו אין אסימפטוטה אלא חור.

על מנת לפשט את הפונקציה נבצע חלוקת פולינומים:

קיבלנו הפונקציות (f(x), g(x שוות לכל x בתחום ההגדרה (פרט לx=2).

מציאת נקודות קיצון של הפונקציה:
נגזור ונשווה לאפס.
נשתמש בפונקציה לאחר הצמצום:

f(x) = x³ – 21x + 20
f ‘ (x) = 3x² – 21 = 0
3x² = 21
x² = 7
x = ±√7

נבדוק תחומי עלייה וירידה באמצעות טבלה:

f'(x=3) = 3*3² – 21 > 0
f'(x=0) = 3*0 – 21 < 0
f'(x=-3) = 3*(-3)² – 21 > 0

נציב בפונקציה המקורית:

f(x=√7) = (√7)³ – 21*√7 + 20 = -17.04
f(x=-√7) = (-√7)³ – 21*(-√7) + 20 = 57.04

הנקודות הן:
נקודת מינימום

   (√7,-17.04)

נקודת מקסימום
(-√7,57.04)

שרטוט סקיצה של הפונקציה-

נפתור את האינטגרל-

∫₀^t f(x) dx = ∫₀^t (x³-21x+20) dx = [x⁴/4 – 21x²/2 + 20x ] ₀^t

[t⁴/4 – 21t²/2 + 20t ] – 0 = t⁴/4 – 21t²/2 + 20t

קיבלנו פונקציה המתארת את האינטגרל.
לאינטגרל יש ערך מינימלי כאשר יש לפונקציה יש ערך מינימלי.

נגזור ונשווה ל-0:

y ‘ = 4t³/4 – 42t/2 + 20 = t³ – 21t + 20 = 0
קיבלנו את הפונקציה מהסעיפים הקודמת.
היא שווה לאפס בנקודות החיתוך עם ציר ה X כלומר כאשר X=1, X=4.

נבדוק באיזה מהנקודות מתקבל ערך מינימלי:
נגזור את הפונקציה פעם נוספת-

y” = 3t² – 21
y ” (t=1) = -21 < 0
y ” (t=4) = 3*12 – 21 > 0

כשהנגזרת השנייה חיובית, נקודת הקיצון היא נקודת מינימום

לכן כאשר t=4 ערך האינטגרל הוא מינימלי.

סעיף ב
לדעת שפונקציה מצומצמת מתנהגת בדיוק כמו פונקציה שאינה מצומצמת (למעט תחום הגדרה).

סעיף ד
לדעת להפוך אינטגרל לפונקציה ולחשב לו קיצון.
נלמד בדף זה: אינטגרלים 5 יחידות.