תכונות הממוצע, ממוצע לעומת חציון

בדף זה נעבור על תכונות הממוצע ונסביר את היתרונות והחסרונות של הממוצע לעומת החציון.

1.תכונות הממוצע

בחלק זה נכיר את תכונות הממוצע.
תכונות 1-2 הן תכונות שימושיות.
תכונות 3-4 שימושיות פחות.

את תכונות הממוצע כדאי לנסות להבין.

1.הממוצע תמיד יהיה בין הציון הגבוה ביותר לציון הנמוך ביותר.

2.הממוצע לא חייב להיות אחד מאיברי הקבוצה.

3.כאשר מוסיפים לקבוצת מספרים ציון שווה לממוצע הממוצע לא משתנה.

4.אם נוסיף (או נחסר) מספר כלשהו (k) לכל מספר בקבוצת מספרים אז הממוצע של קבוצת המספרים יגדל ב k.

2.ממוצע לעומת חציון

אין מדד אחד שהוא תמיד טוב יותר.

המדד “הטוב יותר”  תלוי בקבוצת המספרים שהוא מודד ובשימוש שאנו רוצים לעשות.

ההבדל החשוב שבין ממוצע לחציון

ממוצע הוא מדד שמושפע מכל המספרים.
לעומת זאת חציון לא תמיד מושפע, וגם עוצמת ההשפעה לפעמים קטנה מאוד.

דוגמה לחיסרון של הממוצע
6,6,6,10,12
החציון של קבוצת המספרים הזו הוא 6.
אם נחליף את המספר הגדול בקבוצה מ 12 ל 10,000 אז נקבל את הקבוצה:
6,6,6,10,10,000
בקבוצת מספרים זו החציון לא ישתנה וישאר 6.
ולעומת זאת הממוצע ישתנה מאוד ויהפוך להיות 2005.6

במקרה זה יש שיגידו שהחציון 6 מיצג היטב 4 המספרים בקבוצה ולכן הוא מדד טוב.
לעומת זאת הממוצע 2005.6 לא קרוב לאף אחד מהמספרים בקבוצה ולכן הוא מדד לא טוב.

דוגמה לחיסרון של החציון
לעומת זאת עבור הקבוצה:
4,4,4,4,10,10,10
החציון הוא 4 והוא כלל לא מייצג את שלושת מספרי ה 10.
הממוצע לעומת זאת הוא 6.57 ונותן ייצוג לכל המספרים בקבוצה.

לסיכום
החציון לא מושפע מערכים קיצוניים וזה יתרונו כאשר יש ערכים קיצוניים השונים מאוד משאר ערכי הקבוצה.
הממוצע לעומת זאת מושפע מכל המספרים בקבוצה ולכן מייצג את כולם (וזה יתרונו).

תכונות משותפות לממוצע / חציון 

אלו תכונות הרבה פחות חשובות מהתכונה שהוזכרה למעלה.

נסביר את הדוגמאות הללו על קבוצה המספרים
2,3,3,6,11
שבה:
3 הוא החציון והשכיח
5 הוא הממוצע.

1. שניהם נמצאים בין המספר הקטן ביותר של הקבוצה למספר הגדול ביותר.
   כלומר הממוצע והחציון חייבים להיות מספרים בין 3-11.
2. גם הממוצע וגם החציון לא חייבים להיות איבר בקבוצה.
3. אם מוסיפים / מחסרים לכל אחד מערכי הקבוצה מספר קבוע אז שניהם משתנים באותו מספר קבוע.
   אם למשל נוסיף 2 לכל אחד ממספרי הקבוצה אז החציון והשכיח יהיו 5 ואילו הממצע 7.
4. אם מכפילים את כל איברי הקבוצה פי מספר מסוים אז שניהם ישתנו פי אותו מספר.
   אם למשל נכפיל את כל המספרים פי 3 אז השכיח והחציון יהיו 9 ואילו הממוצע 15.

עוד באתר:

• מתמטיקה לכיתה י 4 יחידות.
• בגרות 471.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.