היכרות עם פונקציה מעריכית f(x) = e^x והגרף

בדף זה נעשה היכרות עם הפונקציה המעריכית  f(x) = e^x.

היכרות זו היא לא חובה; בגלל שחלק מהחומר שבדף נלמד גם בדפים אחרים וחלק אחר הוא הרחבה.

אבל ההיכרות יכולה להועיל ולשפר את ההבנה.

החלקים של הדף הם:

1. היכרות בוידאו.
2. תקציר.
3. מה זה e?
4. תחום הגדרה של הפונקציה.
5. משוואות שצריך לדעת לפתור.
6. נקודות חיתוך עם הצירים.
7. הפונקציה חיובית לכל x.
8. הנגזרת של הפונקציה.
9. תחומי עלייה וירידה.
10. התנהגות הפונקציה בקצוות (אסימפטוטות).
11. גרף הפונקציה וההזזות שלו

1.היכרות בוידאו

2.תקציר

בדף זה נעשה היכרות עם פונקציה מעריכית.

בקצרה נכתוב את הדברים הבאים:

 הוא מספר קבוע שערכו e
e = 2.2718 …

1. הפונקציה מוגדרת לכל x.
2. הפונקציה חיובית לכל x.
3. הנגזרת היא f ‘ (x) = e^x
4. הפונקציה עולה לכל x.
5. y = 0 אסימפטוטה אופקית.

4 משוואות שצריך לדעת לפתור

1.
e^x = e⁴
x = 4

2.
e^x = 1
e^x = e⁰
x = 0

3.
e^x = 0
אין פתרון.

4.
e^x = -2
אין פתרון.

נקודות החיתוך
עם ציר ה x אין נקודות חיתוך.
(0,1) היא נקודת החיתוך עם ציר ה y.

אסימפטוטה
כאשר x שואף לאינסוף y שואף לאינסוף.
אין אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

כאשר x שואף למינוס אינסוף y שואף ל 0.
y = 0 היא אסימפטוטה אופקית במינוס אינסוף.

3.מה זה e?

הוא מספר קבוע שערכו e
e = 2.2718 …

ל e אינסוף ספרות לאחר הנקודה העשרונית.
e הוא לא מספר סתמי אלא יש לו משמעות מתמטית.

המשמעות שלו והדרך שבה הגיעו אליו קשה יחסית להבנה אך מי שרוצה יכול ללמוד עליו בערך ויקיפדיה של e.

לכן את הפונקציה

f(x) = e^x

ניתן לכתוב בקירוב:

f(x) = 2.718^x

4.תחום הגדרה של הפונקציה

f(x) = e^x

זו פונקציה המוגדרת לכל x.

גם כאשר x הוא שלילי או שבר או שווה 0 זה בסדר מבחינת תחום ההגדרה.

5.משוואות שצריך לדעת לפתור

אלו 4 משוואות שחיוני שתכירו על מנת להתקדם בנושא פונקציה מעריכית.
אתם תתקלו גם במשוואות נוספות, אבל אלו 4 משוואות בסיסיות שצריך להכיר.

משוואה 1 
e^x = e⁴

פתרון
כאשר בסיסי חזקה שווים גם מעריכי החזקה שווים.
לכן:
e^x = e⁴
x = 4

משוואה 2
e^x = 1

פתרון
כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1 (חוץ מ 0 בחזקת 0 שהוא לא מוגדר).
לכן נוכל לכתוב:
e^x = e⁰
x = 0

הערה: ממשוואה זו ניתן ללמוד שנקודת החיתוך של הפונקציה f(x) = e^x עם ציר ה y היא (0,1).

משוואה 3
e^x = 0

צריך לדעת שלמשוואה זו אין פתרון.
כי אף חזקה לא תגרום ל 2.718 להיות 0.

צריך לדעת שלמשוואה זו אין פתרון.

משוואה 4
e^x = -3

פתרון
צריך לדעת שלמשוואה זו אין פתרון.
כי אף חזקה לא תגרום ל 2.718 להפוך למספר שלילי.
רק מספר שלילי יכול להיות

צריך לדעת שלמשוואה זו אין פתרון.

6.נקודות חיתוך עם הצירים

f(x) = e^x

x = 0 זו ההצבה למציאת חיתוך עם ציר ה y.

f (0) = e⁰ = 1

0,1
זו נקודת החיתוך עם ציר ה y.

y = 0  זו ההצבה למציאת נקודת החיתוך עם ציר ה x

f(x) = e^x
e^x = 0
2.718^x = 0

כפי שלמדנו במשוואה 3 שלמעלה למשוואה זו אין פתרון.

לכן לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר ה x.

7.הפונקציה חיובית לכל x

כל x שנציב בפונקציה נקבל ערך y חיובי.

f(x) = e^x

f(x) = 2.718^x

ערכי ה x שלא תמיד בטוחים שהם יצרו ערכי y חיוביים הם לרוב:
ערכי x שהם שבר.
ערכי x שליליים.

ניתן דוגמאות לשני המקרים ונראה שהם נותנים ערכי y חיוביים

דוגמה לשבר:
x = 0.25

f(0.25) = e^0.25 = 1.284

המשמעות הגרפית היא שהנקודה
(1.284  ,0.25)
נמצאת על גרף הפונקציה
f(x) = e^x

דוגמה למספר שלילי
נזכור שעל פי חוקי חזקות חזקה שלילית היא כמו חזקה חיובית במכנה.

לכן כאשר x יהיה שלילי נקבל משהו כמו הדבר הבא:
(לדוגמה x = -2).

8.הנגזרת של הפונקציה

הנגזרת של הפונקציה f(x) = e^x
היא:
f ‘ (x) = e^x

כלומר נגזרת הפונקציה במקרה של e^x שווה לפונקציה.

9.תחומי עלייה וירידה

הנגזרת של הפונקציה היא:
f ‘ (x) = e^x

מכוון שהביטוי e^x הוא חיובי תמיד.
הנגזרת חיובית תמיד.

והפונקציה עולה לכל x.

10.התנהגות הפונקציה בקצוות (אסימפטוטות)

f(x) = e^x

כאשר x שואף לאינסוף ערך ה y עולה ושואף לאינסוף.
לכן כאשר x שואף לאינסוף אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף למינוס אינסוף y שואף ל 0.
לכן כאשר x שואף למינוס אינסוף y = 0 היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

ניתן להבין זאת כאשר מכירים את חוק החזקות:

עכשיו נציב y = -10 ונראה שמתקבל מספר הקרוב מאוד ל 0.

עוד באתר:

• פונקציה מעריכית.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.