בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 482 מועד קיץ 2018

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

d = 6

b₁ = 3

סעיף ב1

m = 20

סעיף ב2

סכום הסדרה המבוקשת הוא 3600.

נתון:
a₁ = 0
a_{n + 1} = a_n  + 3  (משוואה 1)
b_n = a_n + a_{n +1}   (משוואה 2)
צריך להוכיח: b_n = 2a_n + 3

המטרה שלנו היא לבטא את b_n באמצעות a_n בלבד.
לכן נציב את משוואה 1 במשוואה 2 ונקבל:
b_n = a_n + a_n + 3  =  2a_n + 3
b_n = 2a_n + 3

עלינו להוכיח שהפרש איברים סמוכים בסדרה b הוא מספר קבוע.
לכן נמצא את b_{n +1} ונחסר ממנו את b_n.

b_n = 2a_n + 3
ולכן
b_n+1 = 2a_n+1 + 3
על מנת ליצור קשר בין המשוואות נבטא את שתיהן באמצעות a_n.
לכן נציב a_{n + 1} = a_n  + 3 במשוואה השנייה ונקבל:
b_n+1 = 2(a_n  + 3) +3= 2a_n + 6 + 3
b_n+1 = 2a_n + 9

b_n+1  – b_n = 2a_n + 9 – (2a_n + 3) = 9-3 = 6
b_n+1  – b_n  = 6
מכוון שההפרש של שני איברים סמוכים הוא מספר קבוע (6) הסדרה b היא סגרה חשבונית.
הפרש הסדרה הוא 6.

נשתמש במשוואה b_n = 2a_n + 3 על מנת למצוא את האיבר הראשון.
b₁ = 2a₁ + 3
a₁ = 0
b₁ = 2*0 + 3 = 3
b₁  = 3
האיבר הראשון בסדרה b הוא 3.

נתון:
b₁ + b_m = 120
b_m + 3 = 120  / -3
b_m = 117

הנתונים שלנו למציאת m הם:
b_m = 117,  b₁  = 3,  d = 6
נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית היא:
b_n = b₁ + (n-1)d
נציב את הנתונים במשוואה ונקבל:
(הדבר היחיד שחסר לנו הוא m)
117=3+m-1)6)
6m -6 + 3 = 117 / +3
6m = 120  / :6
m = 20.
תשובה: m = 20 (כלומר b₂₀ = 117)

מכוון ש m = 20 עלינו לחשב את סכום האיברים החל באיבר ה 21 ועד האיבר ה 40.
נחשב את האיבר ה 21.
b₂₁ = b₂₀ + d = 117 + 6 = 123

עכשיו נחשב את סכום 20 האיברים של הסדרה המקיימת את התנאים הבאים:
c₁ = 123, d = 6, n = 20
זו הסדרה החשבונית שאנו צריכים לחשב את הסכום שלה.
הנוסחה לסכום סדרה חשבונית היא:
s_n = (2a₁ + (n-1)d) * n/2
(s₂₀ = (2*123 + (20-1)6)*(20:2
s₂₀ = (246 + 19*6) * 10
s₂₀ = 360 * 10 = 3600

תשובה: סכום הסדרה המבוקשת הוא 3600.

סעיף א

63.435º

סעיף ב

∠EKO = 70.47º

סעיף ג

a = 3.5

 

EO הוא גובה הפירמידה.
הזווית שבן מקצוע הפירמידה EA לבין בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית ECA.

1. OC = 0.5AC  גובה בפירמידה ריבועית מגיע אל נקודת מפגש אלכסוני הריבוע. ואלכסוני הריבוע חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.
2. EO = AC נתון שגובה הפירמידה שווה לאלכסון הבסיס.
3. tan ∠ECA  = EO : OC = AC : 0.5AC = 2
   ∠ECA = 63.435º

עלינו לחשב את הזווית EKO.
כי KO הוא ההיטל של הישר EK על הבסיס ABCD והישר EO הוא הגובה.

נחשב את האורך של OK.

1. EK הוא גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים BEC. (במשולש שווה שוקיים הגובה והתיכון מתלכדים).
2. AO = OC אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה והגובה בפירמידה ריבועית מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים.
3. OK קטע אמצעים במשולש ACB – ישר היוצא מאמצע צלע אחת במשולש ומגיע אל אמצע הצלע השנייה הוא קטע אמצעים.
4. OK = 0.5a  קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

נחשב את האורך של EO = AC.
במשולש ABC על פי משפט פיתגורס.
AC² = AB² + BC²
AC² = a² + a² = 2a²
AC = √2 a
EO = AC = √2 a

במשולש EKO
tg ∠EKO = EO : OK = √2 a : 0.5a
tg ∠EKO  = √2 a : 0.5a = 2.82

∠EKO = 70.47º

שטח המעטפת הוא 36.75 סמ”ר.
פירמידה ישרה מורכבת מ 4 משולשים חופפים ושווה שטח.
נחשב את השטח של אחד מהמשולשים הללו.

על מנת לחשב את השטח באמצעות a עלינו למצוא את הגובה EK.
EO = √2 a
∠EKO = 70.47º

במשולש EKO
sin ∠EKO = EO : EK
EK = EO : sin ∠ EKO
EK = √2 a : sin 70.47 = 1.5a

שטח משולש EBC הוא:
S_EBC = 0.5EK * BC = 0.5 * 1.5a * a= 0.75a²
השטח של ארבעת המשולשים המרכיבים את המעטפת:
0.75a²*4 = 3a² = 36.75
a² = 12.25
a = 3.5
תשובה: a = 3.5 סנטימטר.

סעיף א

מקסימום:   x = π/2
מינימום:   x = 0 , x = π.

סעיף ב

f (x) = – cos(2x) – 1

סעיף ג

(0 , π/2)

סעיף ד

סעיף ה

השטח המוגבל שווה ל – π יחידות ריבועיות.

(f ‘ (x) = 2sin(2x

(בתחום : )

נקודות הקיצון של (f(x:
נפתור את המשוואה f ‘ (x) = 0
2sin(2x) = 0
sin(2x) = 0
פתרון כללי למשוואה:
2x = π*k , כאשר  …,k = 0,1,2

הפתרונות שבתחום שלנו:
– עבור k = 0:
x₁ = 0
– עבור k = 1:
x₂ = π/2
-עבור k = 2:
x₃ = π

אלו הנקודות החשודות לקיצון.
נבדוק האם הן נקודות קיצון (ומה סוגן) בעזרת טבלה:

הערה: עבור נקודות הקצה, יש לבדוק רק את הצד שנמצא בתחום, ולפיו לקבוע את סוג הנקודה.
(אם, למשל, משמאל לנקודה הפונקציה יורדת – אזי היא נקודת מינימום).

תשובה (שיעורי ה -x של נקודות הקיצון):
מקסימום:   x = π/2
מינימום:   x = 0 , x = π.

מציאת הפונקציה (f(x:

על מנת למצוא פונקציה קדומה, נשתמש באינטגרל לא מסוים.
כלומר:
f(x) = ∫ f ‘ (x) dx 
 f ‘ (x) dx = ∫ 2sin(2x) dx = -cos(2x) + c ∫

על מנת למצוא את הקבוע , נשתמש בנתון: גרף הפונקציה (f(x עובר בנקודה (2- , 0).
כלומר , f(0) = -2
נציב:
cos(2*0) + c = -2-
c – 1 = -2
c = -1

לכן, תשובה:
f (x) = – cos(2x) – 1

נקודות חיתוך עם ציר x:
נפתור את המשוואה f(x) = 0:
cos(2x)-1 = 0-
cos(2x) = -1
פתרון המשוואה:
2x = π + 2πk
בתחום שלנו, הפתרון: (עבור k = 0)
x = π/2

תשובה: נקודת החיתוך עם ציר x היא: (0 , π/2).

סקיצה של הפונקציה:

השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

נשים לב כי השטח הדרוש נמצא מתחת לציר x, ולכן קיבלנו מספר שלילי.
שטח הוא תמיד מספר חיובי, ולכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח המוגבל שווה ל – π יחידות ריבועיות.

סעיף א

כל x

סעיף ב

a = 1

סעיף ג1

ציר x :
(ln3 , 0)
ציר y:
(8- , 0)

סעיף ג2

הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה, כלומר לכל x

סעיף ג3

סעיף ד

השטח המוגבל שווה ל – 4  יחידות ריבועיות.

חקרו את הפונקציה
f (x) =ae^x – 9e^-x

תחום הגדרה:
הפונקציה מוגדרת לכל x.

נתון – שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (x = ln(3 הוא 6.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה. לכן:
f ‘ (ln(3)) = 6

כעת נמצא את הנגזרת של הפונקציה, ונציב בה את הנתון על מנת למצוא את a.
f ‘ (x) = a*e^x + 9e^-x
נציב:
a*e^ln(3) + 9e^-ln(3) = 6
חוקי לוגריתמים :
1. e^lnx = x
2. (lnx = ln(1/x-
לכן:
3a + 3 = 6
3a = 3
a = 1

נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x : נפתור את המשוואה f(x) = 0.
e^x – 9e^-x = 0
e^x = 9e^-x
נכפול ב – e^x:
e^2x = 9
(2x = ln(9
(x = 0.5*ln(9
לפי חוקי לוגריתמים, מתקיים:
(x = ln(3

ציר y:
נציב x = 0 בפונקציה:
f(0) = e⁰ – 9e⁰ = 1 – 9 = -8

תשובה:
ציר x :
(ln3 , 0)
ציר y:
(8- , 0)

תחומי עלייה וירידה:
ראשית נבדוק האם יש לפונקציה נקודות קיצון:
f ‘ (x) = e^x + 9e^-x = 0
e^x = -9e^-x
נכפול ב- e^x:
e^2x = -9    –   אין למשוואה פתרון – פונקציית e לעולם אינה שלילית.

לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

נשים לב כי נגזרת הפונקציה תמיד חיובית, ולכן הפונקציה עולה לכל x.

סקיצה:

השטח המוגבל נתון ע”י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

נשים לב כי השטח הדרוש נמצא מתחת לציר x, ולכן קיבלנו מספר שלילי.
שטח הוא תמיד מספר חיובי, ולכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח המוגבל שווה ל – 4  יחידות ריבועיות.

סעיף א

x > 0 , x ≠ e²

סעיף ב1

לפונקציה אין נקודות חיתוך עם הצירים

סעיף ב2

x = e²

סעיף ב3

נקודת מינימום: (40.171 , e³).

סעיף ב4

עלייה: x > e³.
ירידה:        או   

סעיף ב5

f (0.1) = -0.046

סעיף ג

x > e²

חקרו את הפונקציה

 תחום הגדרה:
– המכנה מתאפס כאשר ln(x) = 2.
נפעיל e בשני אגפי המשוואה:
e^ln(x) = e²
לפי חוקי לוגריתמים, e^ln(x) = x. לכן:
עבור x = e² הפונקציה אינה מוגדרת.

– תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
מכיוון שהפונקציה שלנו מורכבת מהפונקציה הלוגריתמית, תחום ההגדרה גם יהיה x > 0.

תחום ההגדרה הוא x > 0 , x ≠ e².

נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x:  נפתור את המשוואה f(x) = 0
הפונקציה שונה מ – 0 לכל x בתחום הגדרתה.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר x.

ציר y: תחום ההגדרה של הפונקציה אינו כולל את הישר x = 0, כלומר את ציר y.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

תשובה: אין לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים.

אסימפטוטה אנכית:
המכנה מתאפס עבור x = e².
לכן, כאשר x שואף ל – e² , הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן, הישר x = e² הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

נקודות קיצון:

הביטוי שווה ל – 0 רק אם המונה שווה ל – 0. לכן:
2lnx – 6 = 0
2lnx = 6
lnx = 3
x = e³

נבדוק האם הנקודה אכן נקודת קיצון בעזרת טבלה.
(הערה: יש לשים לב שמתחשבים בנקודות אי ההגדרה כאשר מפצלים לתחומים!)

תשובה: נקודת מינימום: (40.171 , e³).

תחומי עלייה וירידה:
מצאנו בטבלה שבסעיף הקודם את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.
עלייה: x > e³.
ירידה:        או   

 (g ‘ (x) = f (x.

תחום העלייה של (g(x הוא בעצם התחום בו (g ‘ (x חיובית.
ניתן לראות מהגרף כי (f(x חיובית עבור x > e² , ולכן גם (g ‘ (x חיובית עבור x > e².

לכן תחום העלייה של (g(x הוא x > e².