בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 481 חורף 2017

סעיף א

מהירותו של אהוד הייתה 3 קמ”ש.

סעיף ב

הם נפגשו בשעה 16:10.

כאשר אנו בונים טבלה צריך לתת שורה נפרדת לכל מהירות.
לאהוד יש 3 מהירויות.
לתמר מהירות אחת.
לכן בטבלה 4 שורות.

בעזרת הטבלה הגדירו את הזמן שאהוד ותמר היו בדרך ובנו משוואה.

	מהירות	זמן	דרך
אהוד התחלה	x	2
אהוד עצירה	0	0.5	0
אהוד סוף	1.2x
תמר	a + 3		40

אנו נפתור את התרגיל על ידי יצירת משוואה המשווה את זמני ההליכה של אהוד ותמר.

כאשר אנו בונים טבלה צריך לתת שורה נפרדת לכל מהירות.
לאהוד יש 3 מהירויות.
לתמר מהירות אחת.
לכן בטבלה 4 שורות.

נגדיר:
x המהירות ההתחלתית של אהוד בקמ”ש.

באפור בטבלה מסומנים הנתונים.
באדום מסומנים דברים שחושבו בעזרת הטבלה.

	מהירות	זמן	דרך
אהוד התחלה	x	2	2x
אהוד עצירה	0	0.5	0
אהוד סוף	1.2x		30 – 2x
תמר	a + 3	40 / (a + 3)	40

הסבר לשורה השלישית של אהוד

30 ק”מ הוא המרחק שהלך אהוד סך הכל (כי הפגישה הייתה 30 קילומטר מתל אביב).

2x הוא המרחק שהלך קודם לכן בשורות 1,2.

לכן
30 – 2x
הוא המרחק שהלך בשורה השלישית

1.2x זו המהירות של השלב השלישי.

לכן הזמן בשלב השלישי הוא:

עבור תמר:
x+3 – המהירות שבה הלכה.
תמר עברה 40 ק”מ.

בניית משוואה

אנו יודעים שהזמן שאהוד היה בדרך היה גדול ב 2.5 שעות מהזמן שבו תמר הייתה בדרך. לכן המשוואה היא:
(משמאל הזמן של תמר ועוד 2.5 – מימין הזמן של אהוד).

נחסר 2.5 משני צדדי המשוואה:

(1.2x*40 = (30-2x)(x+3
48x = 30x + 90 – 2x² – 6x  /-48x
2x² – 24x + 90 = 0 / : -2-
x² + 12x – 45 = 0
זו משוואה ריבועית וניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.

נבצע את פירוק הטרינום
x² +12x – 45 = 0
x + 15x – 3x – 45 = 0
x (x + 15) -3 (x + 15) = 0
x – 3) (x + 15) = 0)
x = -15    או x = 3.

מכוון שמהירות היא גודל חיובי התשובה x = -15 נפסלת.
תשובה: מהירותו של אהוד הייתה 3 קמ”ש.

דרך פתרון נוספת לסעיף א

נגדיר
x המהירות ההתחלתית של אהוד בקמ”ש.
t זמן ההליכה של אהוד בשלב השלישי.

תמר הלכה 2.5 שעות פחות מאהוד לכן זמן הליכתה הוא גם כן t שעות.

הטבלה נראית כך:

	מהירות	זמן	דרך
אהוד התחלה	x	2	2x
אהוד עצירה	0	0.5	0
אהוד סוף	1.2x	t	1.2xt
תמר	a + 3	t	t * (a + 3)

משוואה אחת אומרת שהמרחק שאהוד עבר הוא 30:
2x + 1.2xt = 30

משוואה שנייה היא שהמרחק שתמר עברה הוא 40:
t * (a + 3) = 40

ניתן להציב x = 3 בזמן בביטוי המתאר את הזמן שבו תמר הלכה או אהוד הלך.

הביטוי המתאר את הזמן של תמר פשוט יותר ולכן נציב בו:

הצבה x = 3

 

2/3 שעות הם 40 דקות. לכן תמר הלכה 6 שעות וארבעים דקות.
תמר יצאה ב 9:30 לכן הם נפגשו בשעה 16:10.

סעיף א

כן, AB הוא קוטר

סעיף ב

x+4)²+(y+2)²=20)

סעיף ג1

x = – 8

סעיף ג2

y = – 4

סעיף ד

8 יחידות שטח.

א. כן AB הוא קוטר משום שהזווית ההיקפית שנשענת עליו AOB שווה ל 90 מעלות (זו זווית הנוצרת על ידי הצירים). אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתן אז מיתר זה הוא קוטר.

ב. מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר הוא אמצע AB. את הרדיוס ניתן למצוא על ידי מציאת מרחק הנקודה A או B ממרכז המעגל.

ג. שיעור ה x של הנקודה C הוא בעצם אורך הגובה אל הצלע OB.
את האורך של OB אנו יודעים וגם את שטח המשולש, נותר לנו למצוא את הגובה.
ערך ה y של הנקודה C: מציבים את ערך ה x שמצאנו במשוואת המעגל ומוצאים את ערך ה y.

ד. הישר BC מקביל לציר ה y. לכן קל לחשב את אורך BC וגם את אורך הגובה מהנקודה M אל BC.

כן AB הוא קוטר משום שהזווית ההיקפית שנשענת עליו AOB שווה ל 90 מעלות (זו זווית הנוצרת על ידי הצירים). אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתן אז מיתר זה הוא קוטר.

על מנת למצוא את משוואת המעגל עלינו למצוא את מרכז המעגל ואת הרדיוס.
מציאת מרכז המעגל
נמצא את מרכז המעגל על ידי מציאת אמצע הקטע AB.

מרכז המעגל הוא (M( -4,-2

מציאת הרדיוס
הנקודה 0,0 נמצאת על המעגל.
לכן המרחק שלה מהנקודה (M( -4,-2 שווה לרדיוס.
נמצא את המרחק באמצעות הצבה 0,0 במשוואת המעגל.
R²=(-4-0)² + (-2-0)²=16+4=20
R² = 20
משוואה המעגל היא:
x+4)²+(y+2)²=20)

אורך הישר BO הוא 4 (בגלל ששתי הנקודות נמצאות על ציר ה Y והפרש ערכי ה Y שלהם הוא 4).
אם h הוא אורך הגובה לצלע BO אז צריך להתקיים:

אורך הגובה h=8 הוא המרחק על ציר ה X של הנקודה מהישר BO. מכוון שהנקודה C נמצאת ברביע השלישי ערך ה X הוא xc=-8.

על מנת למצוא את ערך ה Y של הנקודה C נציב את ערך ה X במשוואת המעגל:

מכוון שידוע שהנקודה C לא נמצאת על הצירים Y=-4.
(C(-8,-4

8 יחידות שטח.

סעיף א

ההסתברות שתלמיד הוא תושב עיר היא 0.8.

סעיף ב

ההסתברות שבדיוק 3 הם תושבי העיר היא 0.4096.

סעיף ג

אם ידוע שלתלמיד אין טלפון נייד אז ההסתברות שהוא תושב עיר היא 0.18.

p – ההסתברות שתלמיד הוא תושב עיר.
pᶟ=0.512
P=0.8
תשובה: ההסתברות שתלמיד הוא תושב עיר היא 0.8.

עלינו לבחור 3 מתוך 4 ללא חשיבות לסדר וזה מתאים לנוסחת ברנולי.
מספר האפשרויות לקבל 3 מתוך 4 הוא:

נציב זאת בנוסחת ברנולי:
4*0.8ᶟ*0.2
0.4096 = 4*0.512*0.2
תשובה: ההסתברות שבדיוק 3 הם תושבי העיר היא 0.4096.

נגדיר:
A – אין טלפון נייד.
B – תושב עיר.
מבקשים מאתנו למצוא את: (P(B/A
P(A)=0.18 – נתון.
נשאר לנו למצוא את (P(A∩B על מנת להציב בנוסחת ההסתברות המותנית.

P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.8 * 1/8=0.1
P(B/A) = 0.1 : 0.18 = 0.555

תשובה: אם ידוע שלתלמיד אין טלפון נייד אז ההסתברות שהוא תושב עיר היא 0.18.

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

BC=√75 = 3√5

סעיף ד

הראנו

 

סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל הוא 180°, לכן:

∠BAD + ∠BCD = 180°

∠BAD = 180 – ∠BCD = 180 – 60 = 120

נתון ש-ABCD דלתון.

האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש, לכן:

∠BCA = ∠DCA = 0.5 ∠BCD = 0.5 * 60 = 30°

∠BAC = ∠CAD = 0.5∠BAD = 0.5 * 120 = 60°

נסתכל על המשולש ΔABC:

סכום זוויות במשולש 180, לכן:

∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°

∠ABC = 180 – ∠BAC – ∠BCA = 180 – 60 – 30 = 90°

נתסכל על המשולש ΔADC:

∠ADC + ∠ACD + ∠DAC = 180°

∠ADC = 180 – ∠ACD – ∠DAC = 180 – 30 – 60 = 90°

	טענה	נימוק
1	∠BCA = 30°	הוכחתי בסעיף א
2	∠BOA = 2∠BCA = 2 * 30 = 60°	זווית מרכזית היא כפולה בגודלה מזווית היקפית הנשענת על אותו המיתר
3	∠BAO = 60°	הוכחתי בסעיף א

לפי סכום זוויות במשולש 180°:

∠ABO + ∠AOB + ∠BAO = 180°

∠ABO = 180 – ∠AOB – ∠BAO = 180 – 60 – 60 = 60°

∠ABO = ∠AOB = ∠BAO = 60°

ΔABO הוא שווה צלעות כי משולש בו כל הזוויות שוות ל-60° הוא שווה צלעות

	טענה	נימוק
4	∠BCA = ∠DCA	הוכחתי בסעיף א
5	AB = AD	זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים
6	BO = OD	כל הרדיוסים במעגל שווים
7	AB = BO	הוכחתי בסעיף א 2 ΔABO שווה צלעות
8	AD = AB = BO = OD	כלל המעבר
9	ABCD מעוין	מרובע בו כל הצלעות שוות הוא מעוין

דרך א:

נוכיח בעזרת טריגונומטריה:

∠ABC = 90°

כי היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר/

בנוסף, הוכחתי בסעיף א:

∠BCA = 30°

tan∠BCA = BA / BC

BC = BA / tan∠BCA = 5 / tan30 = 5√3

דרך ב:

נשתמש במשפט פיתגורס:

נסמן: R – רדיוס המעגל

	טענה	נימוק
10	AB = OB = OA = R	הוכחתי משולש שווה צלעות בסעיף א 2
11	∠ABC = 90°	הוכחתי בסעיף א 1
12	AC קוטר במעגל	אם זווית היקפית היא ישרה, היא נשענת על הקוטר
13	AC = 2AO = 2R	הקוטר שווה לשני רדיוסים

נשתמש במשפט פיתגורס בΔABC:

BC² + AB² = AC²

BC² + 5²=10²
BC²+ 25 =100
BC²=75
BC=√75 = 3√5

נתון:

∠BCD = 60°

BC = CD

לכן:

∠BDC = ∠DBC = x

לפי סכום זוויות במשולש 180°:

∠BCD + ∠CBD +∠BDC = 180°

2x = 180 – 60 = 120  / : 2

x = 60

∠BCD = ∠CBD = ∠BDC = 60°

הוכחתי בסעיף א 2:

∠BCD = ∠CBD = ∠BDC = 60°

לכן לפי כלל המעבר:

∠BCD = ∠CBD = ∠BDC = ∠BCD = ∠CBD = ∠BDC = 60°

משולשים בהם שלושת הזוויות שוות בהתאמה הם דומים, לכן:

ΔABO ∼ ΔBCD

סעיף א1

EF = 0.281a

סעיף א2

BE = 1.15a

סעיף ב1

∠EBF=12.71

סעיף ב2

שטח המשולש 12.035 יחידות ריבועיות.

במשולש FEA יש לנו מספיק נתונים.

EF= AF * COS∠AFE = 0.6a * COS 62 = 0.281a

נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש EFB.

∠EFB=180-62=118° .1
לפי זוויות צמודות משלימות ל 180 מעלות

2. על פי משפט הקוסינוסים במשולש EFB:

BE² = FB² + FE² - 2 * FB * FE * cos∠EFB
BE² = a² + (0.281a)² - 2a * 0.281a * cos118
BE² = a² + 0.0789a² + 0.264a² = 1.3429a²
BE = 1.15a

נציב את גודל a הנתון לנו בצלעות הבאות:
1. EF = 0.281 * 5 = 1.45
2. FB = 0.6 * 5 = 3
3. BE = 1.15 * 5 = 5.75
4. על פי משפט הסינוסים במשולש EFB:

∠EBF=12.71

(התשובה יכולה להיות מעט שונה בהתאם “לעיגולים” שעשיתם בדרך).

הרעיון הוא למצוא את BG ו EG ואז לחשב שטח משולש על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שבניהן

לפי סכום זווית 180° במשולש ΔEAF:

∠EAF = 180 – ∠AEF – ∠EFA

∠EAF = 180 – 90 – 62 = 28

נציב את גודל a הידוע לנו:

AB = 0.6a + a = 5 + 3 = 8

tan∠EAF = BG / AB
tan 28 = BG / AB
BG=tan 28 * AB = 4.254

על פי משפט פיתגורס במשולש GBA.
AG² = AB² + BG² = 8² + 4.254² = 64 + 18.1 = 82.1
AG = 9.06

על פי משפט פיתגורס במשולש AEF.
AE² = AF² – EF² = 3² – 1.45² = 6.9
AE = 2.63
EG = AG – AE = 9.06 – 2.63 = 6.41
נחשב את שטח משולש EGB:

תשובה: שטח המשולש 12.035 יחידות ריבועיות.

סעיף א1

X ≠ – 2

סעיף א2

(2,0) , (0 , -0.5)

סעיף א3

X=-2 היא אסימפטוטה אנכית.

Y= 0.5 היא אסימפטוטה אופקית.

סעיף א4

לפונקציה נקודות קיצון והיא עולה לכל X.

סעיף א5

סעיף ב

( P ( – 6 , 1

סעיף ג

C = – 0.5

תחום ההגדרה – המכנה צריך להיות שונה מ 0.
2x+4=0 / -4
2x=-4 / :2
x=-2
הפונקציה מוגדרת לכל X כך ש X≠-2

חיתוך עם הצירים.
על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה X נציב Y=0.

נכפיל במכנה 2x + 4 ונקבל:
x-2=0   /+2
x=2
תשובה: נקודת החיתוך עם ציר ה X היא (2,0).

על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה Y נציב X=0.

y = -2 : 4 = -0.5
נקודת החיתוך עם ציר ה Y היא (0.5-, 0).

כאשר X שואף ל 2 המונה שואף ל 4 והמכנה ל 0. לכן X=-2 היא אסימפטוטה אנכית.

כאשר X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף המכנה גדול פי 2 מהמונה ולכן Y= 0.5 היא אסימפטוטה אופקית.

נגזור את הפונקציה על פי נגזרת של פונקציית מנה.

מונה הנגזרת שווה ל 8, לכן הנגזרת לא מתאפסת ואין לפונקציה נקודות קיצון.

תחומי עליה ירידה

המונה והמכנה של הנגזרת תמיד חיוביים ולכן הנגזרת תמיד חיובית והפונקציה עולה לכול X.

סקיצה של גרף הפונקציה

מכוון ששני המשיקים מקבילים אז השיפועים של שני המשיקים שווים (וגם שני ערכי נגזרת הפונקציה בנקודות הללו).
נקודת החיתוך עם ציר ה X היא: (2,0).

נציב את ערך נגזרת זה על מנת לראות באיזו עוד נקודה (P) השיפוע הוא 1/8.

2x+4)²=4x²+16x+16 = 8²)
4x²+16x-48=0 /:4
x²+4x-12=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת פירוק טרינום.
x² – 2x + 6x – 12 = 0
x (x – 2) + 6(x – 2) = 0
(x+6)(x-2)=0)
x=2 או x=-6.
x = -6 בנקודה P.

נמצא את ערך ה Y על ידי הצבה x = -6.

האסימפטוטה של (F(X היא y=0.5 לכן צריך להוריד את ערך הפונקציה ב 0.5 על מנת שהאסימפטוטה תתלכד עם ציר ה X.
לכן C=-0.5.

סעיף א1

X=3

סעיף א2

b=6

סעיף ב

סעיף ג

(3,5) – קיצון פנימי מקסימום.
(2,0-) – מינימום בקצה.
(8,0) – מינימום בקצה.

סעיף ד

סעיף ה

 

לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר ערך הנגזרת הוא 0, ועל פי הגרף זה קורה כאשר X=3.

(f(x)=√(-x²+bx+16
נגזור את הפונקציה

הנגזרת מתאפסת כאשר מונה הנגזרת מתאפס וכאשר X=3.
2x – b = 0-
נציב x = 3 במונה הנגזרת ונקבל:
b – 2*3 = 0-
b – 6 = 0-
b = -6-
b = 6
תשובה: b=6.

(f(x)=√(-x²+6x+16
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש חיובי או שווה ל 0.
x²+6x+16≥0 / *-1-
x²-6x-16≤0
זה אי שוויון ריבועי שנפתור בעזרת פירוק הטרינום.
x-8)(x+2)≤0)
זו פרבולה מחייכת עם שני נקודות חיתוך כאשר X=8, X=-2
האי שוויון מתקיים כאשר

וזה גם תחום ההגדרה של הפונקציה.

נקודות קיצון
נקודת הקיצון הפנימית מתקבלת כאשר X=3.
f(3)=√(-3 ²+6*3+16)=√25=5
(3,5) – קיצון פנימי מקסימום.
קיצון בקצוות יכול להתקבל כאשר:
x=-2
f(-2)=√(-(-2) ²+6*-2+16)=√0
(-2,0) – מינימום בקצה.
x=8
f(8)=√(-8²+6*8+16)=√0
(8,0) – מינימום בקצה.

שרטוט גרף

סעיף א

KF = √(10²-X²)

סעיף ב

BC=2√80

על פי משפט פיתגורס במשולש ישר זווית KFC.
KF²= 10²-X²

KF = √(10²-X²)

נבנה פונקציה המבטאת את היקף המלבן.
f(x)=2(√(10²-X²)+10) + 4x
נגזור את הפונקציה ונשווה ל 0 על מנת למצוא נקודת מקסימום.

(x²=4(100-x²
5x²=400
x²=80
x=√80 או x=-√80
המספר השלילי אינו מתאים לנתוני השאלה.

מכוון שהעלינו בריבוע עלינו להציב במשוואה שלפני העלאה על מנת לראות אם התשובה נכונה.

עכשיו עלינו לבדוק אם זו נקודת מקסימום.
8.944 = 80√
נציב 9 ו 8 על בנגזרת מנת לבדוק את ערכי הנגזרת בסביבה של הנקודה החשודה כקיצון.

הפונקציה עולה ולאחר מיכן יורדת לכן x=√80 זו נקודת מקסימום.

בשאלה נדרשנו לחשב את BC.
BC=2X=2√80