סדרה חשבונית שאלון 381

התוכן של הדף:

1. הקדמה ומה ההבדל בין שאלון 381 למה שנלמד שנה שעברה בשאלון 182.
2. סדרה חשבונית – 3 סוגים של שאלות נפוצות וכיצד לפתור אותם (כולל וידאו)..
3. פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות.

 

נושא כלל הנסיגה נמצא בדף נפרד.
נושא בעיות מציאותיות בסדרה חשבונית יש דוגמאות בדף נפרד.
נושא סדרה הנדסית 381 נמצא בדף נפרד.

1.הקדמה

בשאלונים 381 נשאלת באופן די קבוע שאלה על סדרות.
השאלה יכולה להיות על סדרה חשבונית או הנדסית אך לרוב השאלה היא על סדרה חשבונית.
ויש שאלה נוספת בנושא גידול ודעיכה, שאלה המאוד דומה לסדרה הנדסית.

סדרה חשבונית הופיעה כבר בשאלון 801 / 182.

בשאלון 182 הדגש היה על הנוסחה:

בשאלון 381 הדגש הוא על הנוסחה

a_n = a₁ + (n – 1)d

כמובן שגם בנוסחת הסכום נעשה שימוש, אבל שימוש קל יותר יחסית לשאלון הקודם.

בנוסף עליכם להבין את ההגדרה על פי כלל הנסיגה a_{n + 1} = a_n + d.

סך הכל יש 3 סוגים עיקריים של שאלות בנושא סדרה חשבונית בשאלון 381:

1. שאלות המבוססות על כלל הנסיגה.
2. שאלות התחלקות – שאלות בהם צריך כמה איברים מתחלקים במספר מסוים.
3. שאלות מציאותיות – שאלות שכאילו לקוחות מהחיים.

סדרה הנדסית הוא נושא שלא פגשנו בעבר.
במאגר יש 3 סוגים מרכזיים של שאלות.
הנושא של סדרה הנדסית מופיע לאחר סדרה חשבונית.

• בגרות במתמטיקה 3 יחידות – נושאים נוספים.

5 הדרכים העיקריות שאתם צריכים לדעת לבנות משוואות

שתי הנוסחאות שאתם עובדים איתן הן:

נוסחת האיבר הכללי:
a_n = a₁ + (n – 1)d

נוסחת הסכום:

אתם צריכים לדעת לעבוד אם כל אחת מהנוסחאות הללו בשתי הכיוונים:

1.פעם אחת כאשר מחפשים את a_n או את S_n.
2.פעם שנייה כאשר a_n או  S_n נתונים וצריך למצוא משהו אחר (a₁, d, n).

בנוסף עליכם לדעת לפתור “שאלות חלוקה” שבהם נעשה שימוש בנוסחת האיבר הכללי.

שלושת השימושים בנוסחת האיבר הכללי

1.שימוש בסיסי

נוסחת האיבר הכללי היא נוסחה המאפשרת לנו למצוא את ערכו של כל איבר בסדרה חשבונית אם אנו יודעים את האיבר הראשון (a₁) ואת הפרש הסדרה (d).

נוסחת האיבר הכללי היא:

a_n = a₁ + (n – 1)d

כאשר a_n הוא האיבר הנמצא במקום ה n.

דוגמה
a₁ = 3, d = 4.

1.מצאו את האיבר הנמצא במקום השביעי (a₇).
2.מצאו את האיבר במקום ה 12.

פתרון
כאשר אומרים למצוא את האיבר השביעי אנו נציב n = 7

a_n = a₁ + (n – 1)d
a₇ = 3 + (7 -1) *4
a₇ = 3 + 6 * 4
a₇ = 3 + 24 = 27

עבור האיבר במקום ה 12.
a_n = a₁ + (n – 1)d
a₁₂ = 3 + (12 – 1) * 4
a₁₂ = 47

2.כאשר נתון לנו איבר שהוא לא האיבר הראשון 

במצב זה נציב את האיבר שהוא לא האיבר הראשון בנוסחה, נציב גם את n המתאים לאיבר זה.
ונמצא את a₁ או d החסרים.

דוגמה
בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא 30 והאיבר התשיעי הוא 86.

1. מצאו את הפרש הסדרה (מצאו את d).
2. מצאו את האיבר במקום ה 20.

פתרון
נתון לנו
a₉ = 86
ולכן נשתמש בנוסחת האיבר הכללי.
יחד עם הנתונים:

a₁ = 30
n = 9
d = ?

נציב בנוסחה

a_n= a₁+ (n – 1)d
₈₆ = 30 + (9 – 1)* d
₈₆ = 30 + 8d
₅₆ = 8d
₇  = d

סעיף ב
את האיבר במקום ה 20 נקבל על ידי המשוואה

a₂₀ = 30 + (20 – 1)*7
a₂₀ = 30 + 19*7 = 163
a₂₀  = 163

3.שאלות חלוקה

דוגמה
כמה מספרים מתחלקים ב 7 בין המספר 10 ל 73?

על מנת לענות עלינו לדעת כי המספרים המתחלקים ב 7 הם תמיד סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 7.
לדוגמה:

7,14,21,28

עלינו לזהות “בעזרת מחשבה” את המספר הראשון והאחרון המתחלקים  ב 7 בתחום 10-73
המספר הראשון הוא 14.
המספר האחרון הוא 70.

ועכשיו יש לנו סדרה חשבונית שבה:
a₁ = 14
a_n = 70
d = 7
n = ?

על מנת למצוא את n נציב את הנתונים הללו בנוסחת האיבר הכללי:

a_n= a₁ + (n – 1)d
70 = 7 + (n – 1)7
70 = 14 + 7n – 7
63 = 7n
9 = n

תשובה: בין 10 ל 73 יש 9 מספרים המתחלקים ב 7.

שני השימושים בנוסחת הסכום

1.חישוב סכום סדרה חשבונית

זה הכי בסיסי.
כאשר מבקשים סכום של סדרה חשבונית נציב את הנתונים בנוסחת הסכום.

דוגמה
חשבו את הסכום של הסדרה החשבונית שבה האיבר הראשון הוא 8, הפרש הסדרה 6 ומספר האיברים הוא 10.

הנוסחה הכללית של סכום סדרה חשבונית היא:

נציב את הנתונים בנוסחת הסכום ונקבל:

כאשר נפתור את המשוואה נקבל:
S₁₀ = 350

2.כאשר נתון סכום של סדרה חשבונית

כאשר נתון סכום של של סדרה חשבונית נציב את הסכום והנתונים הנוספים בנוסחת הסכום:

דוגמה
סכום סדרה חשבונית של 10 איברים הוא 355.
האיבר הראשון הוא 4.
מצאו את הפרש הסדרה

הנוסחה הכללית של סכום סדרה חשבונית היא:

נציב את הנתונים בנוסחת הסכום ונקבל:

זו משוואה שבה הנעלם היחיד הוא d, הפרש הסדרה.
כאשר נפתור את המשוואה נקבל:
d = 7.

3.דוגמאות לשלושת סוגי השאלות העיקריות בסדרה חשבונית

סוג 1: שאלת כלל נסיגה ברמת בגרות

נתון :
a₁ = 25
a_{n + 1} = a_n – 3

1. מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה.
2. מדוע סדרה זו היא סדרה חשבונית?
3. חשבו את סכום 7 האיברים הראשונים בסדרה.

פתרון
סעיף 1: 3 האיברים הראשונים בסדרה
על פי כלל הנסיגה a_{n + 1} = a_n – 3
כל איבר בסדרה קטן ב 3 מהאיבר הקודם לו.
לכן:
a_{n + 1} = a_n – 3

a₂ = a₁ – 3
a₂ = 25 – 3 = 22
a₂ = 22

a₃ = a₂ – 3
a₃ = 22 – 3 = 19
a₃ = 19

תשובה: שלושת האיברים הראשונים בסדרה הם
25,22,19.

סעיף 2: מדוע הסדרה היא סדרה חשבונית.
זו סדרה חשבונית כי ההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע.
כל איבר קטן מהאיבר הקודם לו ב 3.

סעיף 3: מציאת סכום 7 האיברים הראשונים
הנתונים שלנו הם:
a₁ = 25
d = -3
n = 7
נציב בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:

S₇ = 112
תשובה: סכום שבעת האיברים הראשונים בסדרה הוא 112.

סוג 2: שאלת חלוקה בסדרה חשבונית ברמת בגרות

נתונה הסדרה החשבונית 249…50,51,52,53

1. כמה איברים בסדרה החשבונית?
2. כמה מספרים בסדרה מתחלקים ב 10.
3. כמה מספרים בסדרה אינם מתחלקים ב 10.

פתרון
סעיף 1: מספר האיברים בסדרה.
הנתונים שלנו הם:
a₁ = 50
d = 1
a_n = 249

זכרו: כאשר נתון איבר שהוא לא האיבר הראשון נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי.

a_n = a₁ + (n – 1) d

במקרה זה הנעלם שלנו הוא n.

נקבל
249 = 50 + (n – 1) *1
249 = 50 + n – 1
249 = 49 + n
200 = n

תשובה: מספר האיברים בסדרה הוא 200.

סעיף 2: מספר המספרים המתחלקים ב 10

כאשר נסדר את המספרים המתחלקים ב 10 נראה שהם סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 10.
d = 10

50,60,70,80,90 וכן הלאה…

כמו כן האיבר הראשון בסדרה הוא 50 ולא 49.

והאיבר האחרון הוא 240 ולא 249.

לכן נתוני הסדרה שלנו הם:

a₁ = 50
d = 10
a_n = 240
n = ?

נציב את הנתונים הללו בנוסחת האיבר הכללי ונמצא את n.
a_n = a₁ + (n – 1) d

נקבל:

240 = 50 + (n – 1) * 10
240 = 50 + 10n – 10
240 = 40 + 10n
200 = 10n
20 = n

תשובה: מספר איברי הסדרה המתחלקים ב 10 הוא 20.

סעיף 3: מספר איברי הסדרה שאינם מתחלקים ב 10
בסדרה יש 200 איברים. 20 מתוכם מתחלקים ב 10.
לכן מספר האיברים שאינם מתחלקים ב 10 הוא:

200 – 20 = 180

תשובה: 180 מאיברי הסדרה אינם מתחלקים ב 10.

דוגמה לבעיית חלוקה נוספת בסדרה חשבונית

בסדרה חשבונית הפרש הסדרה הוא 4.
האיבר הראשון הוא 36 והאיבר האחרון  הוא 252.
מצאו את מספר איברי הסדרה.

פתרון
נרשום את הנתונים:

a₁ = 36
d = 4
a_n = 252
n = ?

נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי ונקבל:

a_n = a₁ + (n – 1) d

252 = 36 + (n – 1)* 4
252 = 36 + 4n – 4
252 = 32 + 4n
220 = 4n
55 = n

תשובה: מספר האיברים בסדרה המתחלקים ב 4 הוא 55.

סוג 3: דוגמה לשאלה “מציאותית” בסדרה חשבונית

שלומי המתכונן למירוץ ובנה תוכנית אימונים.
ביום הראשון ירוץ 2,000 מטרים ולאחר מיכן ירוץ 50 מטרים פחות בכול יום.

1. כמה מטרים ירוץ ביום השביעי לאימונים.
2. כמה מטרים רץ בסך הכל ב 12 ימי האימונים הראשונים.

פתרון
סעיף 1: אורך הריצה ביום השביעי

שלומי ירוץ בכל יום:

2000,  1950,   1900,   1850…

נשים לב שמרחקי הריצה בכל יום הם סדרה חשבונית.

נרשום את הנתונים.
a₁ = 2000 (אורך הריצה ביום הראשון).
d = – 50 (כל יום הוא רץ 50 מטרים פחות).
n = 7  (מחשבים את היום השביעי)

נציב את הנתונים בנוסחה:
a_n = a₁ + (n-1)d
ונקבל:
(a₇ = 2000 + (7 – 1) * (-50
a₇ = 2000 + 6 * -50 = 2000 – 300
a₇ = 2000 – 300
a₇ = 1700
תשובה: ביום השביעי הוא רץ 1700 מטרים.

סעיף 2: סכום המרחקים ב 12 ימים
הנתונים הם:

a₁ = 2000
d = -50
n = 12
S₁₂ = ?

נציב את הנתונים בנוסחת הסכום:

נקבל:

S₁₂ = 20,700
תשובה: ב 12 יום הוא רץ 20,700 מטרים.