1.כיצד מפרקים טרינום
על מנת לפרק את הטרינום x² + bx + c נפעל על פי השלבים הבאים:
(למשל x² + 10x + 16)
1.מחפשים שני מספרים
שמכפלתם היא c.
נרשום את כל הזוגות שמצאנו.
1,16
2,8
4,4
2.מבין הזוגות נבדוק איזה זוג מספרים
גם סכומו b.
זוג המספרים שמכפלתו c וסכומו b הוא זוג המספרים שאותו אנו מחפשים.
2,8 הוא הזוג המתאים.
3.מכאן יש שתי אפשרויות, בהתאם למה שדורשים ממכם בבית לספר.
הדרך הקצרה – לרשום את המספרים 2,8 בצורה הזו.
(x² + 10x + 16 = (x + 8) (x + 2
הדרך הארוכה – לפרק את b על פי שני המספרים שמצאנו.
x² + 10x + 16 = x² + 2x + 8x +16
ומכאן נמשיך את התרגיל על פי
פירוק לפי קבוצות.
x² + 2x + 8x +16
(x(x+2) + 8 (x + 2
(x + 2) (x + 8)
הערה
אנו פתרנו טרינום שבו המקדם של x² הוא 1.
טרינום שבו המקדם שונה מ 1 נלמד כאן
טרינום עם a ≠ 1.
הערה 2
למה משמשת הפעולה שלמדנו?
טרינום זו
דרך קיצור לפתרון משוואה ריבועית, שמתאימה רק לחלק מהמשוואות הריבועיות.
טרינום משמש אותנו גם ב
פירוק לגורמים.
דוגמאות נוספות
דוגמה 1
פרקו לגורמים את הביטוי
x² – 7x +12
לחצו לצפייה בפתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם 7-.
מספרים שמכפלתם 12 יכולים להיות:
1,12
2,6
3,4
איזו זוג מתאים גם ל”סכומם הוא 7- ?”
כאשר נהפוך את הסימנים של 3,4 ל 4-, 3- נקבל זוג מספרים שעונה על שני התנאים.
בפתרון בדרך המקוצרת נוכל לרשום ישר:
(x²-7x +12 = (x – 3) (x – 4
(פתרון ארוך) שלב ב: פירוק האיבר b, במקרה שלנו 7x- לשני האיברים הללו.
x²-7x +12
x² – 3x – 4x + 12
שלב ג + ד: הוצאת גורם משותף ופירוק לקבוצות
(x (x – 3) – 4 (x – 3
(x – 3) (x – 4)
ולסיכום:
(x²-7x +12 = (x – 3) (x – 4
פרקו לגורמים את הביטוי
x² + x – 2 = 0
לחצו להסבר של תרגיל זה בוידאו
אלו מספרים מכפלתם היא 2-?
2-, 1
2, 1-
הזוג 2, 1- סכומו 1, ולכן הוא הזוג המתאים לנו.
בפתרון בדרך המקוצרת נוכל לרשום:
(x²+x-2=0 = (x – 1) (x + 2
(פתרון ארוך) שלב ב-ד: המשך פתרון התרגיל
x² + x – 2=0
x² – x + 2x – 2 = 0
(x (x – 1) +2 (x – 1
(x – 1) ( x + 2)
5 דוגמאות קצרות לפירוק הטרינום
השלב של “מציאת שני מספרים שמכפלתם c וסכומם b” הוא השלב הראשון ואולי הקשה ביותר בפירוק הטרינום.
מצורפים שני סרטונים הכוללים כל אחד מיהם פתרון של השלב הזה בלבד עבור 10 תרגילים.
- x² + 8x + 15
- x² -3x -18
- x² + x – 12
- x² + 6x + 9
- x² – 8x + 16
לחצו לצפייה בפתרונות כתובים
פתרונות כתובים:
- (x² + 8x + 15 = (x + 5) (x + 3
- (x² -3x -18 = (x – 6) (x + 3
- (x² + x – 12 = (x + 4) (x – 3
- (x² + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3
- (x² – 8x + 16 = (x – 4) (x – 4
לחצו לצפייה בפתרונות וידאו
פתרון משוואה ריבועית בעזרת טרינום
פתרו את המשוואות הבאות בעזרת טרינום
- x² +8x – 20=0
- x²-6x +9=0
- x²+10x +9=0
- x² -1=0
- x²-5x-14=0
פתרונות
תרגיל 1
x² +8x – 20=0
פתרון כתוב
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם 20- וסכומם 8.
מספרים שמכפלתם 20 הם:
20 ,1
10, 2
5, 4
על מנת שהסכום יהיה 8, נשנה את סימן של המספרים 10, 2 ל 10, 2-.
10, 2- הם המספרים שחיפשנו.
שלב ב: המשך פירוק הטרינום
x² +8x -20=0
x² – 2x + 10x – 20=0
x(x-2) + 10(x-2)=0
x+10) (x-2)=0)
שלב ג: פתרון המשוואה שקיבלנו
יש לנו שני איברים שמכפלתם 0.
במקרה הזה אחד מיהם לפחות צריך להיות שווה 0.
x-2=0 או x+10=0
x=2 או x=-10
פתרונות המשוואה הם: x= -10, x=2
x² – 6x + 9 = 0
לחצו לצפייה בפתרון
שלב א: נחפש שני מספרים שמכפלתם היא 9 וסכומם 6-.
מספרים שמכפלתם היא 9 הם:
9 ,1
3 ,3
על מנת שהמספרים יתאימו גם לסכום 6- נשנה את הסימנים של הזוג השני ונקבל:
3- , 3-
שלב ב: פירוק הטרינום
x²-6x +9=0
x²-3x-3x+9=0
x(x-3) -3(x-3) =0
x-3)(x-3)=0)
x-3)²=0)
שלב ג: פתרון המשוואה
x-3)²=0)
נוציא
שורש ריבועי לשני צדדי המשוואה ונקבל:
x-3=0
x=3
x²+10x +9=0
לחצו לצפייה בפתרון
שלב א: נחפש שני מספרים שמכפלתם 9 וסכומם 10
מספרים שמכפלתם 9 הם:
9, 1
3, 3
הזוג שגם סכומו 10 הוא 9, 1.
שלב ב: המשך פירוק הטרינום
x²+10x +9=0
x² + x+9x+9=0
x(x+1)+9(x+1)=0
x+9) (x+1)=0)
שלב ג: נפתור את המשוואה
x+9) (x+1)=0)
x+1=0 או x+9=0
x= -1 או x= -9
הפתרונות הם: x= -9, x=-1.
x² -1=0
לחצו לצפייה בפתרון
חלקכם רואים שהביטוי מתאים לנוסחאות הכפל המקוצר ושניתן לכתוב:
(x² – 1 = (x + 1) (x – 1
אבל מי שלא ראה יכול לפתור את התרגיל בעזרת פירוק הטרינום.
שלב א: נמצא שני מספרים שמכפלתם 1- וסכומם 0
1, 1-
זו האפשרות היחידה
שלב ב: נפרק את הטרינום
x² -1=0
x²+x-x-1=0
x(x+1) -1(x+1)=0
x-1)(x+1)=0)
שלב ג: נפתור את המשוואה
שני מספרים שמכפלתם היא 1- וסכומם 0 הם 1 ו 1-.
x-1) (x+1)=0)
x+1=0 או x-1=0
x=-1 או x=1
הפתרונות הם: x=1, x=-1.
x²-5x-14=0
לחצו לצפייה בפתרון
שלב א: נמצא שני מספרים שמכפלתם היא 14- וסכומם 5-.
שני מספרים שמכפלתם 14 יכולים להיות:
14, 1
7, 2
על מנת שסכומם יהיה 5- נשנה את הסימנים ונקבל
7, 2-
שלב ב: נפרק את הטרינום
x²-5x-14=0
x²+2x-7x-14=0
x(x+2) -7(x+2)=0
x-7)(x+2)=0)
שלב ג: נפתור את המשוואה
x-7) (x+2) =0)
x+2=0 או x-7=0
x=-2 או x=7
הפתרונות הם: x=7, x= -2.
הדרך המלאה:
x²-5x-14=0
x²+2x-7x-14=0
x(x+2) -7(x+2)=0
x-7)(x+2)=0)