מספרים מרוכבים

בדף זה תמצאו מדרך מפורט לנושא המספרים המרוכבים.
עבור כל נושא יש דף נפרד.

1. היכרות עם מספרים מרוכבים.
2. חיבור חיסור וכפל מספרים מרוכבים.
3. ערך מוחלט של מספרים מרוכבים
4. הגדרת המספר הצמוד. חילוק מספר מרוכב במספר מרוכב.
5. הצגת המספרים המרוכבים במישור גאוס (הצגה טריגונומטרית). מעבר בין שתי סוגי ההצגות
6. חיבור וחיסור מספרים בהצגה טריגונומטרית.
7. כפל וחילוק מספרים מרוכבים בהצגה טריגונמטרית.
8. שורש שני של מספר מרוכב. כולל פתרון משוואה ריבועית.
9. משפט דה-מואבר,חישב חזקה של מספר מרוכב בהצגה קוטבית.
10. הוצאת שורש מסדר גודל n של מספר מרוכב.
11. סיכום החלק הטכני של מספרים מרוכבים.
12. תכונות של הפתרונות מסדר n.
13. בעיות גיאומטריות עם מספרים מרוכבים.
14. איך למצוא ערכים של מספר מרוכב.
15. דרכים נוספות למציאת מספר מרוכב.

ההמלצה שלי היא ללמוד את החומר מהקישורים הנמצאים למעלה, תמצאו בהם הסברים ותרגילים מפורטים.
בהמשך הדף מופיע סיכום קצר יחסית של החומר.
אתם יכולים לעבור על הסיכום, אבל את הלימוד המעמיק יש לעשות מהקישורים.

בהמשך הדף פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות.

מבוא

כאשר אנו משתמשים במספרים ממשיים ("רגילים") לא לכל משוואה יש פתרון.

למשל את המשוואה:

x²+1=0

נקבל:

x= √-1

לא ניתן לפתור תוך שימוש במספרים ממשיים בלבד.

אולם יש בעיות בעולם האמיתי שדורשות שימוש במשוואות מסוג זה. ולשם כך יש את המספרים המרוכבים.
הגדרת המספר המרוכב i היא:

i²= -1.

כלומר:

i = √-1

חזקות נוספות של מספרים מרוכבים שכדאי לדעת ולהבין:

i³ = i² * i = -1 * i = -i

i³ = -i

i⁴ = i² * i² = -1 * -1 = 1

i⁴ =1

i⁵ = i⁴ * i = i

i⁵ = i

כמו כן:

i⁴ⁿ = (i⁴)ⁿ = 1ⁿ = 1

i^{4n + 1} = i⁴ⁿ * i = 1 * i = i

כיצד מוצאים שורש למספר שלילי?

על מנת להוציא שורש למספר שלילי נשתמש בחוק השורשים:

√(ab) = √a * √b

לדוגמה:

√-9 = √(-1 * 9) = √-1 * √9 = i * 3 = 3i

ערך מוחלט של מספר מרוכב

אם המספר המרוכב הוא z = a + bi אז הערך המוחלט הוא:

|zΙ = √(a² +b²)

(כלומר: ערך מוחלט שווה לשורש של סכום הריבועים של המקדמים).

חיבור וחיסור מספרים מרוכבים

חיבור וחיסור מספרים מרוכבים נעשה על ידי חיבור / חיסור המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים בנפרד.

למשל:

5 + 6i + 2 – 4i = (5 + 2) + (6i – 4i)= 7 + 2i

כפל מספרים מרוכבים

כפל מספרים מרוכבים נעשה כמו כפל מספרים ממשיים.

במספרים הממשיים אנו פותחים סוגריים כך:

a+b) * (c+d) = ac+ad+bc+bd)

במספרים מרוכבים נקבל את הביטוי הבא:

a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci – bd)

= ac – bd + (ad+bc)i)

דוגמה 1

(2 – 3i) * 5i = 10i -15i² = 10i+15

דוגמה 2

(2i – 4) * (1 – i) = 2i – 2i² – 4 + 4i

= 6i + 4 – 2* – 1 = 6i – 2

חילוק מספרים מרוכבים

חילוק של מספר מרוכב במספר ממשי

כאשר אנו מחלקים מספר מרוכב במספר ממשי נחלק כל חלק של המספר המרוכב בנפרד.

למשל:

(2 + 5i ) : 2 = 1 + 2.5i

(6 – 3i) : 3 = 2 – i

חילוק מספר מרוכב במספר מרוכב

לחלק מספר מרוכב במספר מרוכב זו פעולה שאנו לא יודעים לעשות.

לכן המטרה שלנו תהיה לבצע פעולה שתהפוך את החילוק לחילוק של מספר מרוכב במספר ממשי – שזו פעולה שלמדנו למעלה.

הפעולה תהיה כפל במספר הצמוד של המכנה.

מה הוא המספר הצמוד? המספר הצמוד ל a+bi הוא a-bi.

כלומר המספר הצמוד הוא זה שמבטל את ה i על ידי פעולות חיבור.

על מנת לבצע את החילוק של z₁ / z₂ נבצע את השלבים הבאים:

1. נכפיל את המונה והמכנה של הביטוי במספר הצמוד של z₂.
2. ומכוון שהמכפלה של מספר מרוכב במספר הצמוד לו היא מספר ממשי נקבל תרגיל של חילוק מספר מרוכב במספר ממשי. ואת התרגיל הזה ניתן לפתור בפשטות.

דוגמה

תרגיל

פתרון

נכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה.

(מכפלת מספר מרוכב בצמוד שלו שווה ל – a² + b². )

(תזכורת:  i² = -1 )

נבצע חילוק בין המונה למכנה (בדומה למספרים ממשיים):

z = 1.5 – 0.5i

הוצאת שורש ריבועי למספר מרוכב

הוצאת שורש ריבועי למספר מרוכב נעשית בשלבים הבאים:

1. הגדרת הפתרון כ  x+yi. כאשר x,y הם מספרים ממשיים.
2. לאחר העלאה בריבוע נקבל שתי משוואות עם שני נעלמים, נפתור אותן ונגיע לפתרון.

הערה, בחלק מהמקרים המשוואה תוצג כמשוואה עם שורש, למשל:

(z =√(3 + 3i

ובחלק מהמקרים כמשוואה ריבועית. למשל:

z² = 3 + 3i.

זו בדיוק אותה משוואה, רק שבמקרה שיש שורש במשוואה עלינו להעלות בריבוע את שתי אגפי המשוואה על מנת להגיע אל המשוואה הריבועית.

דוגמה

פתרו את המשוואה (z =√(3 + 3i

פתרון

על מנת להיפטר מהשורש נעלה את את שני צדדי המשוואה בריבוע ונקבל:

z² = 3 + 3i.

נגדיר את הפתרון כ:

z = x + yi

x + yi)² = x² + 2xyi – y²)

כלומר קיבלנו:

x² + 2xyi – y² = 3 + 3i

נשווה את המספרים הממשיים בשני צדדי המשוואה ונקבל:

x² – y² = 3

נשווה את המספרים המרוכבים בשני צידי המשוואה ונקבל:

2xy = 3.

ממשוואה זו נובע x ≠ 0, y ≠ 0.

לכן ניתן לכתוב:

x = 1.5/y

נציב זאת במשוואה הראשונה ונקבל:

x² – y² = 3

2.25/y² – y² = 3

y⁴ – 3y² + 2.25 = 0-

y⁴ + 3y² – 2.25 = 0

זו משוואה דו ריבועית שניתן לפתור.

הערה חשובה:
אם לאחר פתרון המשוואה הדו ריבועית הייתם מקבלים משהוא כמו y²= -1.5 לא הייתם ממשיכים לפתור משוואה זו בעזרת מספרים מרוכבים – משום ש x,y  הוגדרו כמספרים ממשיים.

המישור של גאוס

z = x+ yi זו הצגה אלגברית של מספר מרוכב.

כל מספר מרוכב ניתן להציג בעזרת שני מספרים ממשיים (x,y).

למשל הנקודה (3,1) תייצג את המספר המרוכב  z = 3 + 1i.

ההצגה הזו נקראת ההצגה הקרטזית של מספר מרוכב.

בנוסף למספרים מרוכבים קיימת הצגה טריגונומטרית.

המישור של גאוס

המישור של גאוס הוא מישור הדומה למערכת הצירים.

רק שבמקום "ציר ה x" יש ציר הנקרא "ציר ממשי".

ובמקום "ציר ה y" יש ציר הנקרא "ציר מדומה".

כל נקודה במישור של גאוס בהצגה טריגונומטרית מתוארת על ידי מרחקה מראשית הצירים (r) והזווית שהיא יוצרת עם ציר ה x (זווית θ).

(r, θ) הוא התיאור של נקודה בהצגה טריגונומטרית.

לכול נקודה יש תיאור טריגונומטרי יחיד בצורה זו.

נזכיר כי המרחק r של נקודה מראשית הצירים שווה לערך המוחלט של המספר המרוכב.

הערך המוחלט מחושב בדרך הבאה:

עבור המספר המרוכב z = x + yi  הערך המוחלט הוא:

(r= ΙzΙ = √(x² + y²

ערך הזווית θ ניתן על ידי:
tan θ = y/x

כך נראית נקודה בהצגה אלגברית על המישור של גאוס:

וכך נראית נקודה בהצגה טריגונומטרית על המישור של גאוס:

הקשר שבין ההצגה הקרטזית להצגה טריגונומטרית

בעזרת הפונקציות הטריגונומטריות ניתן לראות כי:

x = r cos θ

y = r sin θ

כלומר, ההצגה הטריגונומטרית של המספר z = x+yi היא:

(z = r(cos θ + sin θ

נהוג לסמן בקיצור:

cos θ + isin θ = cisθ

z = r cisθ

ואם נותנים לנו את ההצגה הטריגונומטרית, כיצד נעבור להצגה הקרטזית?

נשתמש בשתי המשוואות הללו על מנת למצוא את r, θ.

tan θ = y/x
(r = √(x² + y²

הערה
המשוואה הטריגונומטרית יכולה לתת לנו יותר מפתרון אחד, מבין הפתרונות נבחר את הפתרון שמתאים לרביע שבו נמצאת הנקודה על פי ההצגה האלגברית.

באופן כללי אני ממליץ לזכור את השרטוט שלמעלה המציג כיצד נראית נקודה בהצגה טריגונומרית על המישור של גאוס. ומשרטוט זה ניתן בצורה קצרה למשוואות המקשרות בין ההצגה האלגברית להצגה הטריגונומטרית.

לתשומת לבכם:

1. בהצגה הטריגונומטרית כאשר לשני מספרים אותו r והפער בין ערכי ה θ שלהם הוא כפולות של 360 מעלות אז אלו אותם מספרים.
2. לראשית הצירים (0,0) אין זווית או רדיוס ולכן אין לה הצגה טריגונומטרית.
3. לזווית θ ניתן לקרוא גם "הארגומנט".

פעולות חשבון במישור של גאוס

חיבור וחיסור בהצגה אלגברית

על מנת לחבר ולחסר מספרים נחבר את ערכי ה x שלהם בנפרד ואת ערכי ה y בנפרד.
(z₁(x₁, y₁
(z₂ (x₁, y₁
(z₁ + z₂ = (x₁+x₂, y₁+y₂

כפל וחילוק של מספרים בהצגה קוטבית (טריגונומטרית)

אם נגדיר שני מספרים מרוכבים כך:

z₁ = r₁ (cos θ₁ + isin θ₁ ) = rcisθ₁
z₂ = r₂ (cos θ₂ + isinθ₂) = rcisθ₂

אז המכפלה תהיה:

(z₁ * z₂ = r₁r₂ cis (θ₁ + θ₂

במילים: המכפלה של שני מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית היא מספר שהערך המוחלט שלו הוא מכפלת הערכים המוחלטים של שני המספרים, והזווית שלו הוא סכום הזווית של שני המספרים המרוכבים.

דוגמה:
מצאו את המכפלה של שני המספרים המרוכבים הבאים:
5cis40, 7cis 120

פתרון
5cis40 * 7cis 120 = 35cis160

חילוק מספרים מרוכבים

אם נגדיר שני מספרים מרוכבים כך:

(z₁ = r₁ (cos θ₁ + isin θ₂
(z₂ = r₂ (cos θ₂ + isinθ₂

אז החילוק של המספרים המרוכבים יהיה:

(z₁ / z₂ = (r₁ / r₂ ) * cis (θ₁ – θ₂

ובמילים: תוצאת פעולת החילוק של שני מספרים מרוכבים היא מספר מרוכב שהערך המוחלט שלו הוא מנת הערכים המרוכבים של שני המספרים, והזווית שלו הוא הפרש שתי הזוויות של המספרים המרוכבים.

כפל של מספר מרוכב ב i

המספר i נמצא במישור של גאוס על הציר המדומה ובמרחק (r) 1.

לכן ההצגה הטריגונומטרית של i היא:

i = cis 90

נכפיל את i במספר המרוכב z.
z = r cisθ

אז תוצאת הכפל תהיה:

(z * i = cis90 * r cisθ = r cis (θ +90

מצאנו כי הכפלת מספר ב i במספר מרוכב שומרת על המרחק מראשית הצירים (r) ומגדילה את הזווית (θ) ב 90 מעלות.
באותה מידה עם נכפיל ב i² הזווית תגדל ב 180 מעלות, ב i³ ב 270 מעלות. וכן הלאה.

משפט דה מואבר

משפט דה מואבר מספק לנו דרך קלה לחשב חזקה של מספר מרוכב בהצגה הטריגונומטרית שלו.
וכתוצאה מכך אנו גם יכולים לחשב של שורשים של מספר מרוכב בצורה קלה יותר.

הנוסחה של משפט דה מואבר היא:

(zⁿ = rⁿ cis (nθ

(z = r cisθ)

 

מציאת שורשים

מה הוא השורש ה n של מספר מרוכב z?

ⁿ√z  = ?

יש הבדל משמעותי בין שורש של מספרים ממשיים לשורש מספרים מרוכבים.

עבור מספרים ממשיים היו לנו לכל היותר 2 שורשים למספר.

למשל עבור 25 השורשים הם 5 או 5-.

עבור מספר מרוכב עבור השורש ה n של מספר z יש לנו n שורשים שונים.

(ⁿ√z =z_k = ⁿ√r cis ((θ + 2₶k) / n

אנו מקבלים שורש שונה עבור כל k כאשר k מקיים:

0 ≤ k ≤ n – 1

• שאלון 582, נושאי לימוד נוספים.

פתרונות ממבחני בגרות

קיץ 2018 מועד א שאלה 3

א.
נסמן: arg(z₁) = α.
לכן, לפי הנתון: arg(z₂) = 90 – α.
הגודל (כלומר הרדיוס) של המספרים המרוכבים הנ"ל הוא r. (נתון).
נרשום את המספרים בהצגה טריגונומטרית:
(z₁ = r*cis(α
(z₂ = r*cis(90 – α

מכפלה בין מספרים מרוכבים בהצגה טריגונומטרית:

לכן:
((z₁ * z₂ = r * r * cis(α + (90 – α
(z₁ * z₂ = r² * cis(90
כלומר, המכפלה נמצאת על הציר המדומה, ולכן תוצאת המכפלה היא מספר מדומה טהור.
cis(90) = i , ולכן:
z₁ * z₂ = r² * i

ב.

נקודה C נמצאת על הישר y = x , ולכן שיעור ה- x וה -y שלה זהים.
נסמן : (C(a,a. כאשר a פרמטר כלשהו.
A מסמנת את z₁. נסמן: (A(x,y.
ואז מתקיים: (לפי מעבר מהצגה קוטבית לאלגברית)
(x = r*cos(α
(y = r*sin(α

B מסמנת את z₂. ראינו כי (z₂ = r*cis(90 – α.  ואז מתקיים:
(X_B = r*cos(90-α
(Y_B = r*sin(90-α
נשתמש בזהויות הטריגונומטריות:
(cos(90 – α) = sin(α
(sin(90-α) = cos(α
לכן מתקיים:
X_B = r*sin(α) = y
Y_B = r*cos(α) = x

כלומר, שיעורי נקודה B הם : (y , x)

אורך הצלע AC:
[ AC = √[ (a – x)² + (a – y)² 

אורך הצלע BC:
[ BC = √[ (a – y)² + (a – x)²

ניתן לראות כי מתקיים: AC = BC.
לכן המשולש ABC הוא שווה שוקיים. 

 

ג.
1. נקודה C: נתון: z₃)² = 2i)
נעביר להצגה טריגונומטרית: (2i = 2cis(90
נפתור את המשוואה עפ"י הנוסחה:

כאשר n = 2, k = 0,1
r = 2, θ = 90º

לכן פתרונות המשוואה:
(z₀ = √2 * cis(45
(z₁ = √2 * cis(225

נעביר להצגה אלגברית:
z₀ = 1 + i
z₁ = -1 – i

לכן 2 האפשרויות לשיעורי נקודה C הן:
1. (1,1)
2. (1- , 1-)

נקודה D:
נתון: D מתאימה למספר המרוכב: z₃ * (z₁*z₂)².
לכן נמצא קודם את המספרים z₁ ו – z₂.
ראינו כי : (A(x,y) , B(y,x.
לכן:
z₁ = x + y*i
z₂ = y + x*i

נציב בנתון : z₁ + z₂ = 7 + 7i
x + yi + y + xi = 7 + 7i
נפריד לחלק ממשי וחלק מדומה, נקבל:
x + y = 7

כעת נציב בנתון: z₁ – z₂ = 1 – i
x + yi – y – xi = 1 – i
נפריד לחלק ממשי ומדומה, נקבל:
x – y = 1

אלו 2 משוואות פשוטות, הפתרון:
y = 3, x = 4

לכן:
r = 5 (מרחק המספרים מהראשית)

ומסעיף א' – תוצאת המכפלה:
z₁ * z₂ = r² * i = 25i

לכן, נמצא את שיעורי נקודה D:
אפשרות 1 :
z₃ * (z₁ * z₂)² = (1 + i ) *(25i)² = -625*(1 + i) = -625 – 625i
שיעורי הנקודה D הם (625- , 625-)

אפשרות 2:
z₃ * (z₁ * z₂)² = (-1 – i ) *(25i)² = -625*(-1 – i) = 625 + 625i
שיעורי הנקודה D הם (625 , 625)

 

2. שטח המרובע BDAC:

המרובע BDAC הוא "דלתון קעור".
(מורכב מ-2 משולשים שווי שוקיים).

שטח הדלתון הוא מחצית מכפלת האלכסונים.

ולכן שטח הדלתון BDAC הוא:

 

 

חורף 2018 שאלה 3

א. נפתור את המשוואה בעזרת הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית:

כאשר:
a = 1
b = -5 + 2i
c = 7 + i

נזכור כי:   i² = -1

כעת נרצה לפתור את השורש הנ"ל – על מנת למצוא את פתרונות המשוואה.
לכן נפתור את המשוואה:
w² = -7 – 24i

נציב : w = a + bi

a + bi)² = -7 – 24i)
a² + 2abi – b² = -7 – 24i
נפריד לחלק ממשי וחלק מדומה:
ממשי: a² – b² = -7
מדומה: 2ab = -24
a = -12/b
נציב במשוואה הראשונה (של החלק הממשי):
b² + (-12/b)² = -7-
b² + 144/b² = -7-
נכפול את המשוואה ב – b² :
b⁴ – 7b² – 144 = 0
נוסחת כפל מקוצר:
b² – 16) * (b² + 9) = 0)
b² אינו יכול להיות שלילי, לכן הפתרון שנשאר:
b² = 16
b₁ = 4      =>     a₁ = -12/4 = -3
b₂ = -4      =>     a₂ = -12/-4 = 3

נחזור למשוואה המקורית:

לכן פתרונות המשוואה:
z₁ = 4 – 3i
z₂ = 1 + i

הפתרון z₂ יותר קרוב לראשית הצירים, ולכן:   w =  1 + i

ב.
1.
שני איברים בסדרה a_n הם : 1 , 1 + i .
נשים לב כי החלק הממשי של שני האיברים זהה (1), ואילו החלק המדומה שונה.
לכן נוכל להסיק כי הפרש הסדרה החשבונית (d) הוא בעל חלק מדומה בלבד (החלק הממשי שלו הוא 0).
כלומר, כל איבר בסדרה יהיה מהצורה : a_n = 1 + b*i  , כאשר b מספר ממשי.

2.
ראינו כי כל איבר בסדרה a_n הוא מהצורה   a_n = 1 + b*i .
לכן, אם נסתכל על מישור גאוס, כל איברי הסדרה יהיו על הישר x = 1.
(מכיוון שציר x מסמל את החלק הממשי – שהוא תמיד 1).
הנקודה היחידה על הישר x = 1 הנמצאת על מעגל היחידה היא  (1,0).

לכן כל הנקודות במישור גאוס המייצגות את איברי הסדרה a_n  (פרט ל – (1,0) ) – נמצאות מחוץ למעגל היחידה.

 

 

קיץ 2017 מועד א

z³ = -1
z³ = 1cis 180
(z = cis (60 +120k
k = 0,1,2
z₁ = 1cis 60 = 0.5 + i√3 * 0.5
z₂ = 1cis 180 = -1
z₃ = 1cis 300 = 0.5 – i √3 * 0.5

ב.
על מנת להוכיח שהסדרה הנדסית צריך להוכיח כי המנה קבועה.
z₂ / z₁ = z_{3 /} z₂
z₂ / z₁ = 1cis 180 / 1cis 60 = cis 120
z₃ / z₂  = cis 300 / cis 180 = cis 120
מצאנו כי מנת האיברים קבועה ולכן זו סדרה הנדסית.

חלק שני בסעיף ב:
על פי נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית:
z₅ = z₁ * q⁴ = cis 60 * cis⁴ 120 =  = cis 60 * cis 480 = cis 540 = cis 180.

ג.
z₁₃ = z₁ * q¹² = cis 60 * cis ¹²120 = cis 60 + cis 1440= cis 1500 = cis 60 = 0.5 + i√3 * 0.5
z₁₄ = z₁₃ * q = cis 180 = -1
z₁₅ = z₁₄ * q = cis 300 = 0.5 – i√3 * 0.5

נשרטט את הנקודות:

מכוון שלנקודות A,C יש את אותו ערך X אז הם מאונכות לציר ה X.
ולכן הגובה מנקודה B לצלע AC עובר כולו על ציר ה X.
נחשב את גודל הצלע AC ונמצא שהוא 3√.
נחשב את הגובה BD והוא 1.5.
שטח המשולש הוא:
S = 1.5 * √3 * 05 = 1.3
תשובה: שטח המשולש הוא 1.3 יחידות ריבועיות.

חלק שני:
נסתכל על איברי הסדרה:
(כל פעם הזווית עולה על 360 מעלות אני מחסר 360 מעלות).
cis 60, cis 180, cis 300, cis 60, cis 180, cis300, cis60
ניתן לראות שהסדרה מחזורית ובכול 3 איברים צמודים שנבחר תמיד נמצא את cis 60, cis 180, cis 300. כלומר הקודקודים של המשולש יהיו בדיוק כמו הקודקודים של המשולש ABC ולכן גם השטח יהיה שווה.