מספרים מרוכבים

נושא המספרים המרוכבים מחולק בדף זה לנושאים "קטנים", הנושאים כוללים הסבר תאורטי כיצד לפתור שאלות + דוגמה.

מבוא

כאשר אנו משתמשים במספרים ממשיים ("רגילים") לא לכל משוואה יש פתרון.
למשל את המשוואה x²+1=0
x= √-1
לא ניתן לפתור תוך שימוש במספרים ממשיים בלבד.
אולם יש בעיות בעולם האמיתי שדורשות שימוש במשוואות מסוג זה. ולשם כך יש את המספרים המרוכבים.
הגדרת המספר המרוכב i היא:

i²= -1.

חזקות נוספות של מספרים מרוכבים שכדאי לדעת ולהבין:
i³= i² * i = -1*i = -i
i4 = i² * i² = -1*-1=1
i5 = i4 * i = i

ערך מוחלט של מספר מרוכב

אם המספר המרוכב הוא z=a + bi אז הערך המוחלט הוא:
(zΙ = √(a² +b²
(כלומר: ערך מוחלט שווה לשורש של סכום הריבועים של המקדמים).

חיבור וחיסור מספרים מרוכבים

חיבור וחיסור מספרים מרוכבים נעשה על ידי חיבור / חיסור המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים בנפרד. למשל:
5+6i + (2-4i) = (5+2) + (6i-4i)=7+2i

כפל מספרים מרוכבים

כפל מספרים מרוכבים נעשה כמו כפל מספרים ממשיים.

במספרים הממשיים אנו פותחים סוגריים כך:
a+b) * (c+d) = ac+ad+bc+bd)
במספרים מרוכבים נקבל את הביטוי הבא:
a+bi) * (c+di) = ac+adi+bci-bd = ac-bd + (ad+bc)i)

דוגמאות:

  1. 2-3i)*5i = 10i -15i² = 10i+15)
  2. 2i -4) * (1-i) = 2i -2i²+4+4i=6i +4-2*-1=6i+6)

חילוק מספרים מרוכבים

כאשר אנו מחלקים מספר מרוכב במספר ממשי נחלק את המספר המרוכב כל חלק בנפרד. למשל:

  1. 2+5i :2 = 1+2.5i
  2. 6-3i :3 = 2-i

חילוק מספר מרוכב במספר מרוכב

על מנת לחלק מספר מרוכב במספר מרוכב אנו משתמשים "במספר הצמוד".
מה הוא המספר הצמוד? המספר הצמוד ל a+bi הוא a-bi.
כלומר המספר הצמוד הוא זה שמבטל את ה i על ידי פעולות חיבור.

על מנת לבצע את החילוק של z1 / z2 נבצע את השלבים הבאים:

  1. נכפיל את המונה והמכנה של הביטוי במספר הצמוד של z2.
  2. ומכוון שהמכפלה של מספר מרוכב במספר הצמוד לו היא מספר ממשי נקבל תרגיל של חילוק מספר מרוכב במספר ממשי. ואת התרגיל הזה ניתן לפתור בפשטות.

דוגמה

פתרו את התרגיל (2+3i) / (1+i)

פתרון
נכפיל את המונה והמכנה ב i+1-.
((2+3i) * (1-i) / ((1+i) *(1-i)
נפתח את המונה והמכנה בנפרד.
המונה:
2+3i) * (1-i) = 2-2i+3i-3= -1+i)
המכנה:
i+1)*(1-i) = i+1+1-i = 2)
נחזור לתרגיל המקורי ונציב:
2+3i) / (1+i) = (-1+i) :2 = -0.5 +0.5i)

הוצאת שורש ריבועי למספר מרוכב

הוצאת שורש ריבועי למספר מרוכב נעשית בשלבים הבאים:

  1. הגדרת הפתרון כ  x+yi. כאשר x,y הם מספרים ממשיים.
  2. לאחר העלאה בריבוע נקבל שתי משוואות עם שני נעלמים, נפתור אותן ונגיע לפתרון.

הערה, בחלק מהמקרים המשוואה תוצג כמשוואה עם שורש, למשל (z =√(3+3i ובחלק מהמקרים כמשוואה ריבועית. למשל z² = 3+3i.
זו בדיוק אותה משוואה, רק שבמקרה שיש שורש במשוואה עלינו להעלות בריבוע את שתי אגפי המשוואה על מנת להגיע אל המשוואה הריבועית.

דוגמה

פתרו את המשוואה (z =√(3+3i

פתרון
על מנת להיפטר מהשורש נעלה את את שני צדדי המשוואה בריבוע ונקבל:
z² = 3+3i.

נגדיר את הפתרון כ z=x+yi
x+yi)² = x² +2xyi -y²)

נשווה את המספרים הממשיים בשני צדדי המשוואה ונקבל:
x²-y² = 3
נשווה את המספרים המרוכבים בשני צידי המשוואה ונקבל:
2xy = 3.
ממשוואה זו נובע x≠0, y≠0.
לכן ניתן לכתוב:
x= 1.5/y

נציב זאת במשוואה הראשונה ונקבל:
y²+2.25/y²=3
y4-3y²+2.25=0
זו משוואה דו ריבועית שהפתרון שלה הוא:
y²=1.5
יש לנו שתי פתרונות:
y=1.224, y= -1.224
נמצא את ה x המתאים עבור כל y.
x = 1.5/y = 1.5/1.224 = 1.224
x=1.5/ -1.224 = -1224
קיבלנו כי במקרה זה ערכי ה x ו y שווים זה לזה.
פתרונות המשוואה הם:
z1 = 1.224 + 1.224i
z2 = -1.224 – 1.224i

הערה חשובה: אם לאחר פתרון המשוואה הדו ריבועית הייתם מקבלים משהוא כמו y²= -1.5 לא הייתם ממשיכים לפתור משוואה זו בעזרת מספרים מרוכבים – משום ש x,y  הוגדרו כמספרים ממשיים.

המישור של גאוס

z = x+ yi זו הצגה אלגברית של מספר מרוכב.
כל מספר מרוכב ניתן להציג גם בעזרת שני מספרים ממשיים (x,y).
למשל הנקודה (3,1) תייצג את המספר המרוכב z=3+1i.
ההצגה הזו נקראת ההצגה הקרטזית של מספר מרוכב.

הצגה טריגונומטרית (קוטבית)

בנוסף ניתן להגדיר כל נקודה במישור של גאוס על ידי מרחקה מראשית הצירים (r) והזווית שהיא יוצרת עם ציר ה x (זווית θ).
(r, θ) הוא התיאור של נקודה בהצגה טריגונומטרית.
לכול נקודה יש תיאור טריגונומטרי יחיד בצורה זו.

נזכיר כי המרחק r של נקודה מראשית הצירים שווה לערך המוחלט של המספר המרוכב.
הערך המוחלט מחושב בדרך הבאה:
עבור המספר המרוכב z=x + yi  הערך המוחלט הוא:
(r= ΙzΙ = √(x² + y²
ערך הזווית θ ניתן על ידי:
tan θ = y/x

הקשר שבין ההצגה הקרטזית להצגה טריגונומטרית

בעזרת הפונקציות הטריגונומטריות ניתן לראות כי:
x= r cos θ
y = r sin θ
כלומר, ההצגה הטריגונומטרית של המספר z = x+yi היא:
(z = r(cos θ + sin θ
נהוג לסמן בקיצור:
cos θ + sin θ = cisθ
z = r cisθ

ואם נותנים לנו את ההצגה הטריגונומטרית, כיצד נעבור להצגה הקרטזית?
נשתמש בשתי המשוואות הללו על מנת למצוא את r, θ.
tan θ = y/x
(r= √(x² + y²

לתשומת לבכם:

  1. בהצגה הטריגונומטרית כאשר לשני מספרים אותו r והפער בין ערכי ה θ שלהם הוא כפולות של 360 מעלות אז אלו אותם מספרים.
  2. לראשית הצירים (0,0) אין זווית ולכן אין לה הצגה טריגונומטרית.
  3. לזווית θ ניתן לקרוא גם "הארגומנט".

פעולות חשבון במישור של גאוס

חיבור וחיסור

על מנת לחבר ולחסר מספרים נחבר את ערכי ה x שלהם בנפרד ואת ערכי ה y בנפרד.
(z1(x1, y1
(z2 (x1, y1
(z1 + z2 = (x1+x2, y1+y2

חיבור מספרים מרוכבים יוצר מקבילית

חיבור מספרים מרוכבים יוצר מקבילית

כפל וחילוק של מספרים בהצגה קוטבית

z1 = r1 (cos θ1 + isin θ1 )= rcisθ1
z2 = r2 (cos θ2 + isinθ2) = rcisθ1
(z1*z2 = r1r2 cis (θ12

במילים: המכפלה של שני מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית היא מספר שהערך המוחלט שלו הוא מכפלת הערכים המוחלטים של שני המספרים, והזווית שלו הוא סכום הזווית של שני המספרים המרוכבים.

דוגמה:
מצאו את המכפלה של שני המספרים המרוכבים הבאים:
5cis40, 7cis 120

פתרון
5cis40 * 7cis 120 = 35cis160

חילוק מספרים מרוכבים

(z1 = r1 (cos θ1 + isin θ2
(z2 = r2 (cos θ2 + isinθ2
(z1 / z2 = (r1 / r2 ) * cis (θ12

ובמילים: תוצאת פעולת החילוק של שני מספרים מרוכבים היא מספר מרוכב שהערך המוחלט שלו הוא מנת הערכים המרוכבים של שני המספרים, והזווית שלו הוא הפרש שתי הזוויות של המספרים המרוכבים.

כפל של מספר מרוכב ב i

i = cis 90
z = r cisθ
(z*i = cis90 * r cisθ = r cis (θ +90
מצאנו כי הכפלת מספר ב i במספר מרוכב שומרת על המרחק מראשית הצירים (r) ומגדילה את הזווית (θ) ב 90 מעלות.
באותה מידה עם נכפיל ב i² הזווית תגדל ב 180 מעלות, ב i³ ב 270 מעלות. וכן הלאה.

משפט דה מואבר

משפט דה מואבר מספק לנו דרך קלה לחשב חזקה של מספר מרוכב בהצגה הטריגונומטרית שלו.
וכתוצאה מכך אנו גם יכולים לחשב של שורשים של מספר מרוכב בצורה קלה יותר.

הנוסחה של משפט דה מואבר היא:
(zn = rn cis (nθ
(z = r cisθ)

מציאת שורשים

מה הוא השורש ה n של מספר מרוכב z?
n√z  = ?

יש הבדל משמעותי בין שורש של מספרים ממשיים לשורש מספרים מרוכבים. עבור מספרים ממשיים היו לנו לכל היותר 2 שורשים למספר. למשל עבור 25 המספרים 5 או 5- הם השורשים.
עבור מספר מרוכב עבור השורש ה n של מספר z יש לנו n שורשים שונים.

(n√z =zkn√r cis ((θ + 2₶k) / n
אנו מקבלים שורש שונה עבור כל k כאשר k מקיים: k≤n-1 וגם 0≤k.

הצגה קוטבית, המישור של גאוס, מספרים מרוכבים (כפל, חילוק).משפט דה מואבר. חקירת פונקציה לוגריתמית 807.

בגרות במתמטיקה 5 יחידות הסברים ותרגילים לנושאי לימוד נוספים.

פתרונות ממבחני בגרות

בהמשך הדף הצעה לפתרון תרגילים מהבגרות בנושא מספרים מרוכבים.
את שאלוני הבגרות עצמם ניתן למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2017 מועד א

z³ = -1
z³ = 1cis 180
(z = cis (60 +120k
k = 0,1,2
z1 = 1cis 60 = 0.5 + i√3 * 0.5
z2 = 1cis 180 = -1
z3 = 1cis 300 = 0.5 – i √3 * 0.5

ב.
על מנת להוכיח שהסדרה הנדסית צריך להוכיח כי המנה קבועה.
z2 / z1 = z3 / z2
z2 / z1 = 1cis 180 / 1cis 60 = cis 120
z3 / z = cis 300 / cis 180 = cis 120
מצאנו כי מנת האיברים קבועה ולכן זו סדרה הנדסית.

חלק שני בסעיף ב:
על פי נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית:
z5 = z1 * q4 = cis 60 * cis4 120 =  = cis 60 * cis 480 = cis 540 = cis 180.

ג.
z13 = z1 * q12 = cis 60 * cis 12120 = cis 60 + cis 1440= cis 1500 = cis 60 = 0.5 + i√3 * 0.5
z14 = z13 * q = cis 180 = -1
z15 = z14 * q = cis 300 = 0.5 – i√3 * 0.5

נשרטט את הנקודות:

שרטוט נקודות ABC במישור גאוס

מכוון שלנקודות A,C יש את אותו ערך X אז הם מאונכות לציר ה X.
ולכן הגובה מנקודה B לצלע AC עובר כולו על ציר ה X.
נחשב את גודל הצלע AC ונמצא שהוא 3√.
נחשב את הגובה BD והוא 1.5.
שטח המשולש הוא:
S = 1.5 * √3 * 05 = 1.3
תשובה: שטח המשולש הוא 1.3 יחידות ריבועיות.

חלק שני:
נסתכל על איברי הסדרה:
(כל פעם הזווית עולה על 360 מעלות אני מחסר 360 מעלות).
cis 60, cis 180, cis 300, cis 60, cis 180, cis300, cis60
ניתן לראות שהסדרה מחזורית ובכול 3 איברים צמודים שנבחר תמיד נמצא את cis 60, cis 180, cis 300. כלומר הקודקודים של המשולש יהיו בדיוק כמו הקודקודים של המשולש ABC ולכן גם השטח יהיה שווה.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.