שתי משוואות עם שני נעלמים

שני משוואות עם שני נעלמים הוא נושא טכני הדורש סדר ותרגול.
קיימות שתי שיטות מרכזיות לפתרון תרגילים. בשתי השיטות הרעיון זהה; הופכים את שתי המשוואות למשוואה אחת עם נעלם אחד.

  1. שיטת השוואת מקדמים – בשיטה זו מחסרים או מחברים את המשוואות על מנת שנישאר עם משוואה אחת עם נעלם אחד.
    נוח להשתמש בשיטה זו רק בחלק מהמקרים.
  2. שיטת ההצבה – מבודדים את אחד הנעלמים במשוואה אחת על מנת להציב אותו במשוואה השנייה. המשוואה השנייה תישאר עם נעלם אחד.

קיימת שיטה שלישית שהיא פתרון על ידי שרטוט גרף של שתי המשוואות. בפועל לא פותרים משוואות בדרך זו אבל חשוב שתבינו את הרעיון העומד מאחורי השיטה; הפתרון של שתי משוואות עם שני נעלמים הוא נקודת החיתוך של שני הישרים המיוצגים על ידי המשוואות. הנקודה המיוצגת על ידי הפתרון נמצאת על שני הישרים.

שיטת השוואת המקדמים

המטרה של השיטה היא להשוות את המקדמים ואז "להעלים" את אחד המשתנים על ידי חיבור או חיסור של המשוואות. לאחר מיכן מה שנותר הוא משוואה אחת עם נעלם אחד.

שלבי השיטה:
אדגים את השלבים על מערכת המשוואות:
3y+2x=3
4y+3x=5
1. מכפילים את אחת המשוואות או את שתיהן על מנת שמקדמי אחד המשתנים יהיו שווים בערכם המוחלט.

במקרים מסוימים נוכל להסתפק בהכפלה של אחת המשוואות: y=-3' x=2

  • (1)  2=4x+2y
  • (2)  x-3y=11

במקרה זה נכפיל את משוואה (2) ב 4 וכך ניצור מקדמים שווים עבור משתנה X.

  • (1)  2=4x+2y
  • (2)  4x-12y=44

במקרים אחרים, שהם רוב המקרים נצטרך להכפיל את שתי המשוואות על מנת ליצור מקדמים שווים.

  • (1)  3y-2x=3
  • (2)  4y+3x=5

כאן עלינו להכפיל את משוואה (1) ב 3 ואת משוואה (2) ב 2.

  • 9y-6x=9
  • 8y+6x=10

שלב 2: מחסרים או מחברים את המשוואות כך שנקבל משוואה עם נעלם אחד.

  • (1)  2=4x+2y
  • (2)  4x-12y=44

במקרה זה עלינו לחסר את המשוואות ואז נקבל:

14y= -42

במקרים אחרים עלינו לחבר את המשוואות, כמו כאן:

  • 9y-6x=9
  • 8y+6x=10

17y=19

שלב 3: נפתור משוואה עם נעלם אחד 

עכשיו נשארנו עם משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה.
14y=-42 /:14
y=-3

שלב 4: נציב את התשובה שקיבלנו עבור משתנה אחד באחת משתי משוואות המקור על מנת למצוא את ערך המשתנה השני.

  • (1)  2=4x+2y
  • (2)  x-3y=11

4x + 2*-3=2
4x-6 =2  /+6
4x=8 /:4
x=2

הערות
1. בשלב הראשון יש לשים לב שאתם מכפילים את כל חלקי המשוואה בצורה נכונה (השגיאה הנפוצה היא להכפיל רק את האיבר שאתם רוצים שיתאפס).
2. מדוע מותר לחסר / לחבר משוואה למשוואה והפתרון יישאר נכון?
בגלל שכל אחד מאגפי המשוואה שווה מספר ושני אגפי המשוואה שווים. לכן כאשר אנו מחברים / מחסרים משוואות אנו למעשה מחברים / מחסרים מספרים שווים וזה מותר.

 

תרגילים עם פתרונות מלאים השוואת מקדמים

תרגיל 1: צריך לכפול רק משוואה אחת

  1. 6x-2y=24
  2. x+5y=4

על מנת להשוות את מקדמי ה- X נכפיל את משוואה מספר 2 ב- 6.
x+5y=4  /*6
6x+30y=24

אלו שתי המשוואות שקיבלנו.
נחסר את משווואה (1) ממשוואה (2).
6x-2y=24
6x+30y=24

28y=0 /:28
y=0

נציב את הערך שקיבלנו עבור Y במשוואה (1) על מנת למצוא את ערך ה- X.

6x-2*0=24
6x=24 /:6
X=4
תשובה: X=4 , Y=0

תרגיל 2: יש להכפיל את שתי המשוואות

  1.   4x+3y=-11
  2.   3x-2y=-4

על מנת שמקדמי ה- Y יהיו בעלי אותו ערך מוחלט נכפיל את משוואה 1 ב- 2 ואת משוואה 2 ב- 3.

8x+6y=-22
9x-6y=-12

נחבר את שתי המשוואות:
17x=-34 / :17
x= -2

נציב את ערך ה- X שקיבלנו במשוואה 2.
9*-2-6y=-12
18-6y=-12 /+18-
6y=6 /:-6-
y= -1

תרגיל 3: יש לסדר את המשוואות

(הערה: "סידור משוואות" היא לא פעולה הכרחית מבחינת מתמטית כי ניתן להכפיל ולאחר מיכן לחסר משוואות גם כשהם במצב הנוכחי אבל רבים נוהגים "לסדר משוואות" על מנת למנוע בלבול)

  1.   3x=5y+5
  2.   2y=4x-16

3x=5y+5 / -5y
3x-5y=5

2y=4x-16 / -4x
2y-4x=-16

3x-5y=5 / *2
2y-4x=-16 / *5

6x-10y=10
10y-20x=-80

נחבר את המשוואות.
14x= -70 / :-14-
X=5

נציב את ערך ה- X שקיבלנו במשוואה מספר 2.

2y=4*5-16
2y=4 / :2
y=2

תשובה: x=5, y=2.

שיטת ההצבה לעומת שיטת השוואת מקדמים איזו שיטה עדיפה
שיטת ההצבה לעומת שיטת השוואת מקדמים איזו שיטה עדיפה

שתי משוואות בשני נעלמים בשיטת ההצבה

סדר פעולות:

  1. אם יש מכנים מכפילים אותם המכנה המשותף.
  2. אנו מבודדים את אחד המשתנים ומציבים אותו במשוואה השנייה, כך שנוצרת משוואה עם נעלם אחד.
    חשוב: לא ניתן להציב במשוואה שבה בודדנו את המשתנה.
    איזה משתנה מבודדים? את המשתנה שהכי קל לבודד.
  3. לאחר במצאנו ערך של משתנה אחד מציבים אותו במשוואה שבודדנו (לאחר שביצענו את הבידוד).
    אם לא ברור איפה מציבים תוכלו לראות זאת בתרגילים הפתורים או להציב באחת משתי המשוואות שקיבלתם לפתור.

תרגילים עם פתרונות מלאים שיטת ההצבה

תרגיל 1: הצבה מוכנה

  1.   x=y-6
  2.   3x+y=-2

נציב את משוואה 1 במשוואה 2.
y-6)*3+y=-2)
3y-18+y= -2 / +18
4y=16 / :4
Y=4

נציב את ערך ה Y שקיבלנו במשוואה 1.
X=4 – 6
X= -2

תשובה: y= 4, x= -2

תרגיל 2

  1.   4y+2x=20
  2.   5x-2y=-10

נבודד את משתנה X במשוואה 1.

4y+2x=20 / -4y
2x=20-4y / :2
X=10-2y

נציב את ערך X במשוואה 2.

10-2y) * 5 – 2y= -10)
50-10y-2y=-10 /-50
12y = -60 / :-12-
Y=5

נציב את ערך ה- Y שקיבלנו במשוואה שבה בודדנו את X.
X=10-2y
X=10-2*5
X=10-10
X=0

תשובה: x=0, y=5

תרגיל 3

  1.   5y+3x=15
  2.   2y-4x=-34-

נבודד את משתנה Y במשוואה 2.

2y-4x=-34 / +4x-
2y=4x-34 /  : -2-
Y=-2x+17

נציב את ערך ה- Y במשוואה 1.
2x+17) * 5 +3x=15-)
10x+85+3x=15 /-85-
7x= -70 /  : -7-
X=10

נציב את ערך ה- X במקום שבו בודדנו את ה- Y.
Y= -2x+17

Y=-2*10+17=-20+17
Y=-3
תשובה: x=10, y=-3.

עוד באתר:

לסיום: תרגילים עם מכנה בשתי השיטות

תרגיל עם מכנה השוואת מקדמים

תרגיל עם מכנה שיטת הצבה

 

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.