היכרות עם מספרים מרוכבים

דף זה הוא הפרק הראשון בלימוד מספרים מרוכבים.

• פרקים נוספים בלימוד מספרים מרוכבים נמצאים בקישור.

היכרות עם מספרים מרוכבים

מספר מרוכב הוא מהצורה : z = a + bi , כאשר:

a (האיבר החופשי – שלא נכפל ב – i ) נקרא החלק הממשי , מסומן ב- (Re(z.

b*i נקרא החלק המדומה , מסומן ב – (Im(z.

a ו – b  הם מספריים ממשיים.
המספר מוגדר כמרוכב בגלל המכפלה במספר  ‘ i ‘ .

המספר i הוא השורש הריבועי של 1- .

כלומר : i ² = -1 .

עוד הגדרות:
– מספר אשר אינו נכפל ב – i , נקרא “ממשי טהור” – מורכב רק מחלק ממשי.
– מספר אשר כולו מכפלה של i  , נקרא “מדומה טהור” –  מורכב רק מחלק מדומה.

דוגמאות:

z = 2 + 3i
הוא מספר מרוכב , כאשר “2” הוא החלק הממשי שלו , ו- “3i” החלק המדומה.

z = 5
הוא מספר ממשי טהור , מכיוון שאין בו כפולה של i. ניתן לומר שהחלק המדומה הוא 0.

z = i
הוא מספר מדומה טהור , מכיוון שאין בו חלק ממשי (שאינו נכפל ב i). ניתן לומר שהחלק הממשי הוא 0.

2.פישוט ביטויים בסיסיים

מספר חזקות בסיסיות שצריך לדעת על המספר i

ההגדרה היא:

i² = -1.

ולכן:

i³ = i² * i = -1*i = -i
i³ = -i

i⁴ = i² * i² = -1*-1=1
i⁴ =1

i⁵ = i⁴ * i = i
i⁵ = i

i⁶ = i⁴ * i² = i²

וכן הלאה:
i⁷ = i³ = -i

i⁸ = i⁴ = 1

i⁹ = i¹ = i

כמו כן:

i⁴ⁿ = (i⁴)ⁿ = 1ⁿ = 1

i^{4n + 1} = i⁴ⁿ * i = 1 * i = i

כיצד מוצאים שורש למספר שלילי?

על מנת להוציא שורש למספר שלילי נשתמש בחוק השורשים:

√(ab) = √a * √b

לדוגמה:

√-9 = √(-1 * 9) = √-1 * √9 = i * 3 = 3i