משוואות וזהויות טריגונומטריות עם חזקה ריבועית

2 דרכים לפתור תרגילים מסוג זה

בדף זה נלמד כיצד פותרים משוואות טריגונומטריות הנראות כך:
sin² x = 0.25

שימו לב שלהרבה מהמשוואות הללו יש 4 פתרונות בתוך התחום של 0-360 מעלות.

דרך ראשונה וקלה מבחינת ההבנה שלה היא להוציא שורש לשני צדדי המשוואה.
כאשר נעשה זאת נקבל
sin x = 0.5 או sin x = -0.5
ומכאן ממשיכים כפי שכבר למדנו.

אבל זו דרך ארוכה יחסית.

דרך נוספת
עבור הפונקציות sin²x, cos²x יש אפשרות להשתמש בזהויות

ולהפוך את המשוואות למשוואות ללא חזקה.
דרך זו קצרה יותר.

עבור הפונקציה tg² x אין את האפשרות הזאת וחייבים להוציא שורש.

דוגמה 1
sin² x = 0.25

דרך ראשונה: הוצאת שורש
sin² x = 0.25
כאשר נוציא שורש לשני צדדי המשוואה נקבל
sin x = 0.5
או
sin x = -0.5

לכל אחת מהמשוואות הללו יש 2 פתרונות בתחום 0-360.
נתחיל ב:
sin x = 0.5
בעזרת המחשבון נקבל כי:
x = 30 ± 360k

על פי הזהות הטריגונומטרית (sin x = sin (180 – x נקבל גם:
x = 150 ± 360k

עבור המשוואה:
sin x = -0.5
נקבל:
x = 330 ± 360k
או
x = 210 ± 360k

הפתרונות הם:
x₁ = 30 ± 360k, x₂ = 150 ± 360k
x₃ = 330 ± 360k , x₄ = 210 ± 360k

דרך שנייה לפתור : שימוש בזהות:

sin² x = 0.25
לאחר השימוש בזהות נקבל:

cos 2x + 1 = 0.5-
cos 2x = -0.5-
cos 2x = 0.5

אפשרות ראשונה
2x = 60 ± 360k
x = 30 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הנוסחה
2x = -60 ± 360k
x = -30 ± 180k

הפתרונות הם:
x₁ = 30 ± 180k, x₂ = -30 ± 180k

דוגמה 2
cos² x =0.75

דרך פתרון ראשונה: נוציא שורש
cos² x =0.75
cos x = 0.866
או
cos x = -0.866

עבור
cos x = 0.866
x = 30 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
x = -30 ± 360k

עבור
cos x = -0.866
x = 150 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
x = -150 ± 360k

הפתרונות הם:
x₁ = 30 ± 360k, x₂ = x = -30 ± 360k
x₃ = 150 ± 360k , x₄ = -150 ± 360k

דרך פתרון שנייה: בעזרת זהות טריגונומטרית

cos² x =0.75
לאחר השימוש בזהות נקבל:

cos 2x + 1 = 1.5
cos 2x = 0.5

אפשרות ראשונה
2x = 60 ± 360k
x = 30 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
2x = – 60 ± 360k
x = – 30 ± 180k

הפתרונות הם:
x₁ = 30 ± 180k, x₂ = -30 ± 180k

דוגמה 3
tg ² x = 1

פתרון
עבור פונקציית ה tg אין לנו זהות שניתן להשתמש בה.
אנו חייבים להוציא שורש.

לאחר הוצאת השורש נקבל:
tg x = 1
או
tg x = -1

עבור tg x = 1
הפתרון הוא
x = 45 ± 180k

עבור tg x = -1
הפתרון הוא:
x = 335 ± 180k

הפתרונות הם:
x₁ = 45 ± 180k, x₂ = -30 ± 180k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי