יסודות הטריגונומטריה סיכום

בדף זה נסכם את היסודות של הטריגונומטריה.
הסיכום מתאים לשאלונים 182, 381.
ולתלמידי 4-5 יחידות בכיתה י.

בסיכום יש טקסט ווידאו.
הוידאו לרוב יותר מפורט מהטקסט.

הסיכום כולל מספר חלקים, בתחילת כל חלק יש קישור עבור מי שצריך ללמוד את הדברים מהיסוד.

החלקים של הסיכום הם:

  1. הכרות עם שלושת הפונקציות הטריגונומטריות.
  2. מציאת צלע.
  3. מציאת זווית.
  4. מציאת צלע בעזרת משפט פיתגורס.
  5. שאלות עם יותר ממשולש ישר זווית אחד.
  6. תכונות של צורות בהקשר של טריגונומטריה.

1.הכרות שלושת הפונקציות הטריגונומטריות

בשלושת הפונקציות הטריגונומטריות ניתן להשתמש רק במשולש ישר זווית.

על מנת להשתמש בפונקציות חשוב לזהות את היתר ואת הניצבים.

זיהוי היתר – היתר הוא הצלע הנמצאת מול הזווית של 90 מעלות.

כל פונקציה מחושבת בדרך אחרת

sin β  –  הניצב מול הזווית חלקי היתר.
cos β – הניצב ליד הזווית חלק היתר.
tg β  – הניצב שמול חלקי הניצב שליד.

β

2.מציאת צלע בעזרת שלושת הפונקציות הטריגונומטריות

מצורפים שרטוטים של 3 משולשים.
השתמשו בכל משולש בפונקציה הטריגונומטרית הרשומה מעליו על מנת למצוא את x
(למרות שניתן למצוא את x גם בדרכים אחרות).

 

לחצו כאן לצפייה בפתרון

3.מציאת זווית בעזרת שלושת הפונקציות הטריגונומטריות

מציאת זווית יוצרת קושי נוסף, בעיקר בגלל שלפעמים לא יודעים איך להשתמש במחשבון על מנת לעשות זאת.

למשל, כיצד נמצא את הזווית המסומנת בסימן שאלה.

שרטוט התרגיל

פתרון
ידועה לנו הצלע שמול הזווית והיתר, לכו נשתמש בפונקציית הסינוס.

sin A = 0.66

על מנת למצוא את A במחשבון קסיו נלחץ על:
shift
sin
0.666
=
ונקבל:
A = 41.3

 

4.מציאת צלע בעזרת משפט פיתגורס

בהרבה מהשאלות בטריגונומטריה משולב משפט פיתגורס.

עליכם לשים לב למצב בו ידועות לכם 2 צלעות במשולש ישר זווית ואז אתם יכולים למצוא את הצלע השלישית.

דוגמאות לשימוש במשפט פיתגורס
משורטטים משולשים ומתחת השרטוט תמצאו את משוואת פיתגורס המתאימה לנתונים.

ב 2 המשולשים הראשונים הצלע החסרה היא היתר.
ב 2 המשולשים שלאחר מיכן הצלע החסרה היא ניצב.

 

במשולשים הבאים הצלע החסרה היא הניצב, לכן המשוואה נראית כך:

 

5.שאלות בהן יש מספר משולשים ישרי זווית

ברוב השאלות שנפגוש יהיה יותר ממשולש ישר זווית אחד.
את השאלות האלו אני ממליץ לכם לפתור בשלבים הבאים:

  1. לחפש באיזה משולש ישר זווית יש מספיק נתונים על מנת לבצע חישוב.
  2. לבצע חישוב במשולש זה, חישוב הקשור למשולש שלנו.

כלומר בשלב ראשון לא נחפש למצוא את מה ששואלים אותנו אלא נחפש היכן ניתן לבצע חישוב.

דוגמאות
מצורפים שני שרטוטים.
בכל שרטוט נסו לזהות את כל המשולשים שהם ישרי זווית ונסו לקבוע באיזה משולש ניתן לבצע חישוב.

לחצו כאן לצפייה בפתרון התרגיל

שרטוט 1
ABC, BDC הם המשולשים ישרי הזווית.

BDC הוא משולש שבו ניתן לבצע בו חישוב, כי יודעים בו צלע וזווית.

שרטוט 2
ABC,  ADB,  ADC  הם משולשים ישרי זווית.
ADC הוא המשולש שניתן לבצע בו חישוב כי אנו יודעים בו צלע וזווית

t

 

במשולש ישר זווית ABC (זווית B = 90∠) נתון כי
צלע BC = 7 ס"מ.
ACD = 25∠.
על המשך הישר AB נמצאת הנקודה D כך ש CD = 10 ס"מ.
חשבו את:

  1. הצלע AC
  2. הצלע AB.
  3. זווית DAC∠
  4. הצלע BD.
  5. שטח משולש DAC.

שרטוט התרגיל

פתרון

סעיף א: חישוב הצלע AC.
במשולש ABC
BC = 7,  ∠ACB = 25
BC היא הצלע שליד הזווית לכן נשתמש בפונקציית הקוסינוס.
מציאת AC
AC * COS 25 = 7
AC = 7 / COS 25
AC = 7.723
תשובה: AC = 7.723

סעיף ב: חישוב הצלע AB.
במשולש ABC
ניתן לחשב את AB בעזרת משפט פיתגורס או בעזרת פונקציות הטנגס או הסינוס.

AB = sin 25 * 7.723
AB = 0.422 * 7.723 = 3.2638
תשובה: AB  = 3.2638 ס"מ.

סעיף ג: מציאת DAC∠
במשולש ABC סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות ולכן:
BAC = 180 – 90 – 25 = 65∠

זוויות BAC, ∠DAC∠ הן זוויות צמודות. ולכן משלימות ל 180 מעלות.
DAC + BAC = 180
DAC + 65 = 180   / -65
DAC = 115∠

סעיף ד: מציאת BD.
במשולש DBC אין לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים בעזרת סינוס / קוסינוס / טנגס.
ניתן לבצע את החישוב בעזרת משפט פיתגורס.
CD² = BC² + BD²
BD² = CD² – BC² = 10² – 7²
BD² = 51
BD = √51

סעיף ה: חישוב שטח משולש DAC.
נחשב את אורכו של DA.
DA = BD – AB = √51 – 3.268 = 3.873

הצלע BC = 7  היא גובה לצלע DA. משום שהיא גובה ל DB.
לכן שטח המשולש הוא:

תשובה: שטח המשולש הוא 13.557 סמ"ר.

6.תכונות הצורות

תכונות הצורות מוסברות בוידאו הבא:

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.