תנע ועבודה

בדף זה תרגילים בנושא תנע ועבודה.

תרגיל 1
גוף בעל מסה m = 1 kg נמצא במנוחה על משטח בעל מקדם חיכוך μ = 0.2.
א. מפעילים על הגוף כוח F = 20 N המתואר בשרטוט. מה תהיה מהירות הגוף לאחר 5 שניות?
ב. לאחר 5 שניות הכוח מפסיק לפעול, והגוף ממשיך בתנועה בקטע באורך 10 מטרים. מה העבודה שמבצע החיכוך בקטע זה? מה תהיה מהירות הגוף ביציאה מן הקטע?

פתרון
סעיף א
שרטוט כוחות וחלוקה לרכיבים:

 

מציאת הכוח השקול:
רכיב אנכי:
Fy = N + Fy – mg∑
Fy = N + Fsin30 – mg∑
נשים לב ש:
mg = 1 * 10 = 10 N
וגם
Fsin30 = 20 * 1/2 = 10N
לכן הגוף "מרחף" על פני המשטח, כלומר  N = 0 , ובסה"כ
Fy = 0 N∑

רכיב אופקי:
Fx = Fx – f∑
Fx = 20cos30 N
f = μN = 0 N (חישבנו שלא פועל כוח נורמל)
Fx = Fcos 30 = 20cos30 N∑

בסה"כ הכוח השקול הוא F = 20cos30∑ ניוטון בכיוון x.

הכוח פועל במשך t = 5 s.
המתקף הכולל הפועל על הגוף הוא:
J = ∑Ft, והוא שווה לשינוי בתנע כלומר:
J = Δp
Ft = Δp∑ (משוואה 1)

הגוף מתחיל במנוחה, לכן התנע ההתחלתי הוא:
p1 = mv1 = 0
התע ההתחלתי הוא 0, לכן השינוי בתנע שווה לתנע הסופי:
Δp = p2 – p1 = p2 – 0 = p2
p2 = mv2

נציב חזרה במשוואה 1 ונקבל:
Ft = mv2
v= ∑Ft / m

הצבת נתונים:
F = 20cos30 N∑
t = 5s
v2 = 20cos30 * 5 / 1 = 50√3 m/s

תשובה: מהירות הגוף לאחר 5 שניות תהיה 3√50 מ"ש.

סעיף ב

מחוק שני ברכיב האנכי, נקבל כעת ש:
N = mg.
לכן כוח החיכוך פועל בכיוון המנוגד לכיוון התנועה, וגודלו הוא:
f = μN = μmg (משוואה 1)

הכוח היחידי שמבצע עבודה הוא כוח החיכוך כאשר כיוונו מקביל לכיוון התנועה, לכן העבודה שהוא מבצע היא:
W = Fx
כאשר:
F = -f (כח החיכוך כאשר כיוונו מנוגד לכיוון התנועה ולכן הוא שלילי)
x הוא ההעתק שהגוף עובר.

כלומר העבודה שמבצע החיכוך היא:
W = -fx
הצבת משוואה 1 – ביטוי לגודל כוח החיכוך:
W = -μmgx  (משוואה 2)
הצבת נתונים:
m = 1 kg
g = 10 m/s2
μ = 0.2
x = 10 m
W = -0.2 * 1 * 10 * 10 = -20 J

העבודה שמבצע כוח החיכוך היא 20- ג'אול.

חישוב המהירות הסופית:
העבודה שמבצע החיכוך שווה לשינוי באנרגיה הקינטית, כלומר:
Ef – Ei = W.
הביטוי לאנרגיה קינטית הוא:
E = 1/2mv²

לכן:
1/2mvf² – 1/2mvi² = W
הצבת משוואה 2 – הביטוי לעבודה W:
1/2mvf² – 1/2mvi² =  -μmgx

פיתוח אלגברי למציאת vf :
vf² = vi² – 2μgx
(vf = √(vi² – 2μgx

הצבת נתונים:
g = 10 m/s2
μ = 0.2
x = 10 m
vi = 50√3 m/s (המהירות שמצאנו בסעיף א)
vf = √(50√3² – 2 * 0.2 * 10 * 10) = 86.371 m/s

תשובה: העבודה שמבצע כוח החיכוך היא 20- ג'אול.
מהירות הגוף ביציאה מן הקטע היא 86.371 מ"ש.

תרגיל 2
גוף m1 שמסתו 10 ק"ג נע ימינה על קו ישר במהירות 5 מ"ש, ומתנגש בגוף m2 שמסתו 2 ק"ג. נתון שלאחר ההתנגשות נדבקו שני הגופים ונעו יחד במהירות 4 מ"ש.
א. חשבו מה הייתה מהירות גוף B לפני ההתנגשות.
ב. כמה אנרגיה נאבדה סה"כ במהלך ההתנגשות?

פתרון
סעיף א
חוק שימור התנע:
m1v1 + m2v2 = m1u+ m2u2

שני הגופים נעים יחד לאחר ההתנגשות, כלומר מהירותם לאחר ההתנגשות שווה.
נסמן את מהירותם המשותפת ב-u, ולכן:
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u

ביטוי ל v2 (פיתוח אלגברי):
m2v= (m1 + m2)u – m1v1
v= ((m1 + m2)u – m1v1 ) / m2

הצבת נתונים:
m1 = 10 kg
m2 = 2 kg
v1 = 5 m/s
u = 4 m/s
v2 = (12 * 4 – 5 * 10 ) / 2 = -1 m/s
משמעות המהירות השלילית היא שכיוון המהירות הוא בכיוון הפוך לכיוון המהירויות הנתונות.

תשובה: גוף B נע במהירות 1 מ"ש שמאלה.

סעיף ב
סוג האנרגיה היחיד המופיע בבעיה הוא אנרגיה קינטית.
Ek = ½mv²
אנרגיה לפני התנגשות:
גוף 1:
E= ½m1v1²
m1 = 10 kg
v1 = 5 m/s
E= 0.5 * 10 * 5² = 125 J

גוף 2:
E= ½m2v2²
m1 = 2 kg
v1 = -1 m/s
E2 = 0.5 * 2 * (-1)² = 1 J

אנרגיה לאחר התנגשות:
E= ½(m1 + m2)u²
m1 + m2 = 10 + 2 = 12 kg
u = 4 m/s
Ef = 0.5 * (10 + 2) * 4² = 96 J

הפרש האנרגיה (סך האנרגיה שאבדה):
ΔE = E1 + E2 – Ef
ΔE = 125 + 1 – 96 = 30 J

תשובה: סה"כ האנרגיה שאבדה במהלך ההתנגשות היא 30 ג'אול.

תרגיל 3
קרונית שמסתה m1 = 10 kg נעה במהירות v1 = 2 m/s על גבי מסילה חלקה. בשלב מסויים נופל כדור שמסתו
m2 = 2 kg בצורה אנכית ונכנס לעגלה.
א. מהי מהירות העגלה u לאחר כניסת הכדור? האם התנע הכולל במערכת נשמר? רמז: התייחסו לשני הרכיבים של התנע.
ב. בשלב מסויים נופל הכדור דרך חור הנמצא בתחתית הקרונית. מהי מהירות הקרונית לאחר נפילת הכדור?

פתרון
סעיף א
בציר x לא פועלים כוחות חיצוניים ולכן התנע בכיוון זה נשמר. לאחר כניסת הכדור לעגלה, שני הגופים נעים האותה מהירות u.
שימור תנע ברכיב x:
m1v1x + m2v2x = (m1 + m2)ux

פיתוח אלגברי:
הכדור נופל אנכית לכן רכיב ה-x של מהירותו הוא v2x = 0.
הקרונית חופשיה לנוע על ציר x בלבד, לכן למהירויות u ו v1 יש רק רכיב x.
(u = m1v1 / (m1 +m2

הצבת נתונים:
m1 = 10 kg
v1 = 2 m/s
m2 = 2kg
u = 10 * 2 / (10 + 2) = 1 m/s

תשובה: מהירות הקרונית לאחר כניסת הכדור היא 1 מ"ש.
כפי שציינו בפתרון, רכיב ה-x של התנע הכולל נשמר. רכיב ה-y של התנע הכולל לא נשמר (בהתחלה יש לכדור מהירות בציר y, ובסוף אין תנועה בציר y כלל). הסיבה היא שברכיב זה היה שינוי בכוחות החיצונים שפעלו – הכוח הנורמל מהמסילה.

סעיף ב
כאשר הכדור נופל מן הקרונית, הוא ממשיך לנוע בציר x באותה מהירות של הקרונית. לא פועלים כוחות חיצוניים ברכיב x, התנע של הכדור לא משתנה ולכן גם התנע של הקרונית לא ישתנה, והיא תמשיך לנוע באותה מהירות – 1 מ"ש.

תרגיל 4
כדור בעל מסה m = 2 kg נע על מסילה חלקה. בקצה המסילה קיים מדרון בשיפוע 30º, עליו מונח קפיץ ארוך וחסר מסה בעל קבוע k = 2. חשבו את הגובה המקסימלי במדרון אליו יגיע הכדור.

פתרון
הגובה המקסימלי אליו יגיע הכדור הוא הגובה בו מהירותו תתאפס.
אנרגיה התחלתית:
האנרגיה בהתחלה היא אנרגיה קינטית בלבד:
Ek = ½mv²
הקפיץ במצב רפוי, לכן אנרגיית הקפיץ היא – 0.
מגדירים את גובה המסילה כגבוה 0, לכן אנרגיית הגובה היא 0.
סה"כ האנרגיה ההתחלתית:
E1 = ½mv² (משוואה 1)

אנרגיה סופית (כשהמהירות מתאפסת):
אנרגיה פוטנציאלית (גובה) mgh.
אנרגיה אלסטית (של הקפיץ) kx²½.
כאשר המהירות מתאפסת, גם האנרגיה הקינטית מתאפסת.
סה"כ האנרגיה הסופית:
E2 = mgh +  ½kx² (משוואה 2)

הכוחות החיצוניים הפועלים במערכת הם הכבידה והנורמל. שניהם ניצבים למהירות הכדור ולכן לא מבצעים עבודה. כוח הקפיץ הוא כוח פנימי.
מתקיים שימור אנרגיה, לכן האנרגיה ההתחלתית שווה לאנרגיה הסופית, כלומר:
E1 = E2
מציבים את משוואת 1 ו 2:
mv² = mgh + ½kx²½ (משוואה 3)

הקשר בין h ו x:

h = xsin30
h = x/2

פתרון משוואה 3:
mv² = ½mgx  +  ½kx²½
הצבת h = x/2:
1/2kx² + 1/2 mgx – 1/2 mv² = 0

הצבת נתונים:
m = 2 kg
k = 2 N/m
g = 10 m/s²
x² + 10x – 25 = 0
x = (-10 ± √(100 +100)) / 2
x1 = 2.071 m , x2 = -6.036 m
ניתן לפסול את התוצאה השלילית.

h = x / 2 = 1.036 m

תשובה: הכדור יגיע לגובה 1.036 מ'.

תרגיל 5
בשרטוט מתוארת מסילה חסרת חיכוך בעלת מדרון משופע ומעגל אנכי ברדיוס R. משחררים כדור בעל מסה m ומימדים זניחים ביחס לרדיוס המגעל ממעלה המדרון. מצאו ביטוי לגובה המינימלי h ממנו יש לשחרר את הכדור, כדי שיוכל להשלים את המעגל האנכי.

פתרון
הכוחות הפועלים על הכדור במערכת זו הם הכבידה והנורמל.
כיוון כוח הנורמל מאונך לכיוון התנועה ולכן לא מבצע עבודה.
שלבי הפתרון:
א. חישוב המהירות המינימלית הדרושה לכדור בנקודה הגבוהה ביותר במעגל.
ב. חישוב המהירות המינימלית הדרושה בכניסה למעגל.
ג. חישוב הגובה המינימלי.

חישוב המהירות המינימלית הדרושה לכדור בנקודה הגבוהה ביותר במעגל v0 :


המהירות המינימלית הדרושה בנקודה הגבוהה ביותר היא המהירות עבורה כוח הכבידה מהווה את הכוח הרדיאלי בתנועה מעגלית, וכוח הנורמל הוא 0.
בתנועה מעגלית, הכוח הרדיאלי מקיים:
F= maR
a= v² / R
F= mv²/R (משוואה 1).

כדי שהכדור ישלים אתת ההקפה במהירות מינימלית, צריך לדרוש שכוח הכבידה יהיה שווה לכוח הרדיאלי. (אם הכבידה תהיה קטנה מכוח זה, המשמעות היא שפועל גם כוח נורמלי כלפי מטה ואז המהירות גדולה מן המהירות המינימלית הדרושה. אם הכבידה גדולה ממנו, אז הכדור יפול ולא ישלים את ההקפה)
mg = FR
הצבת משוואה 1:
mg = mv²/R
פיתוח אלגברי:
(v = √(gR
המהירות המינמלית הדרושה בראש המעגיל היא: (v0 = √(gR.

חישוב המהירות המינימלית הדרושה בכניסה למעגל v1 :


בזמן העלייה במעגל מהירות הכדור יורדת, וחלק מהאנרגיה הקינטית הופכת לאנרגיית גובה. מתקיים חוק שימור האנרגיה, ולכן האנרגיה בכניסה למעגל שווה לאנרגיה בנקודה הגבוהה ביותר.
מגדירים את הנקודה הנמוכה ביותר כגובה 0, גובה הנקודה הגבוהה שווה לקוטר המעגל – 2R.

אנרגייה בכניסה למעגל (קינטית בלבד):
E1 = 1/2mv1² (משוואה 2)
אנרגייה בנקודה הגבוהה (קינטית ופוטנציאלית):
E2 = 1/2mv0² + mg2R (משוואה 3)

שימור אנרגיה:
האנרגיה בכניסה למעגל שווה לאנרגיה בנקודה הגבוהה ביותר, כלומר:
E1 = E2
הצבת משוואות 2 ו 3:
1/2mv1² = 1/2mv0² + mg2R
v1² = v0² + 4gR
מציבים (v0 = √(gR

(v1 = √(5gR

חישוב הגובה המינימלי:
בזמן הירידה במדרון הכוח הנורמל לא מבצע עבודה. מתקיים שימור אנרגיה כאשר אנרגייה פוטנציאלית מתגלגלת לאנרגיה קינטית.
אנרגיה בנקודת השחרור (פוטנציאלית בלבד):
E = mgh
אנרגיה בכניסה למעגל (קינטית בלבד):
E = 1/2mv1²

שימור אנרגיה:
האנרגיה בנקודת שחרור הכדור שווה לאנרגיה בכניסה למעגל כלומר:
mgh = 1/2mv1²
h = v1² / 2g
מציבים (v1 = √(5gR
h = 2.5R

תשובה: הגובה המינמלי לשחרור הכדור הוא 2.5R.

תרגיל 6
במערכת מתוארת מטוטלת בליסטית, המשמשת לחישוב מהירות של קליעים.
בול עץ בעל מסה mתלוי על חוט חסר מסה. משגרים לעברו קליע בעל מסה m1 הננעץ בתוכו כך ששניהם נעים יחד ועולים לגובה h מעל הגובה ההתחלתי.
מצאו ביטוי למהירות הקליע v1.

פתרון
לאחר פגיעת הקליע בבול העץ, הכוחות הפועלים עליהם הם הכבידה ומתיחות החוט. כוח המתיחות ניצב לכיוון התנועה, ולכן לא מבצע עבודה, כלומר מתקיים שימור אנרגיה.
בנקודה הגבוהה ביותר של המטוטלת מהירותה היא 0 ולכן האנרגייה היחידה היא אנרגיית הגובה.

חישוב מהירות המטוטלת לאחר ההתנגשות ע"י שימור אנרגיה:
אנרגיה בנקודה הגבוהה ביותר (אנרגיית גובה בלבד):
E = (m1 + m2)gh
אנרגייה לאחר ההתנגשות (קינטית בלבד):
E = 1/2(m1 + m2)v²

שימור אנרגיה:
m1 + m2)gh =  1/2(m1 + m2)v²)
gh = 1/2v²
(v = √(2gh

חישוב מהירות הקליע:
ההתנגשות של הקליע בבול העץ היא התנגשות פלסטית. לכן לא מתקיים שימור אנרגיה, אבל כן מתקיים שימור תנע.
התנע לפני ההתנגשות נובע מהמהירות של הקליע בלבד (בול העץ במנוחה). התנע לאחר ההתנגשות נובע מהמהירות של בול העץ והקליע יחד.
m1v1 = (m+ m2)v
פיתוח אלגברי:
v1 = (m1 + m2)v / m1
v1 =  (m1 + m2)√(2gh) / m1

תשובה: מהירות הקליע לפני ההתנגשות היא: v1 =  (m1 + m2)√(2gh) / m1.

טעות נפוצה: חישוב מהירות הקליע ישירות ע"י השוואת האנרגייה הקינטית של הקליע לאנרגיית הגובה של המטוטלת בסוף התנועה. זו שגיאה מפני שההתנגשות של הקליע עם בול העץ היא התנגשות פלסטית וחלק מהאנרגיה "אובדת".

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.