תנועה הרמונית פשוטה

בדף זה תרגילים בנושא תנועה הרמונית.

תרגיל 1
נתונה מסה נקודתית m התלויה מחוט חסר מסה באורך L המבצעת תנודות עם זוית מקסימלית θ קטנה.
א. ציירו את הכוחות הפועלים על המסה.
ב. מצאו ביטוי לגודל התאוצה הפועלת על המסה. באיזה שלב בתנועה גודלה מקסימלי?
ג.  במהלך ניסוי במעבדה הוסטה המסה בזווית התחלתית θ, ומדדו שהמסה חוזרת לנקודה ההתחלתית בפעם החמישית לאחר 9.93 שניות. חשבו את אורך החוט.

פתרון
סעיף א
הכוחות הפועלים על המסה הם mg בכיוון מטה ומתיחות החוט T בכיוון החוט:

סעיף ב
על מנת למצוא משוואת תנועה נחלק את mg לרכיבים:

 

מערכת הצירים נקבעה כך שציר y הוא בכיוון מתיחות החוט. כיוון התנועה הוא רק בכיוון x. על פי חוק שני:
F = -mgx = ma∑
(הכוח mgx נלקח כשלילי מפני שהוא כוח מחזיר. הכיוון החיובי הוא הכיוון בו הזווית θ גדלה).
mgx = ma-
mgsinθ = ma-
a = -gsinθ

גודל התאוצה הוא gsinθ. בזוויות קטנות sinθ גדל אם θ גדל, לכן התאוצה המקסימלית תפעל על המסה בנקודות בהן הזווית מקסימלית (בשני הכיוונים).

סעיף ג
בניסוי נמדד הזמן של 5 תנודות מלאות, כלומר משך הזמן של 5 מחזורים:
5T = 9.93
T = 9.93 / 5 = 1.986 s
זמן המחזור של התנודות הוא 1.986 שניות.

בסעיף א' נמצאה משוואת התנועה:
mgsinθ = ma-
מכיוון שהתנודות בזווית קטנה, ניתן לקרב את המסלול שמבצעת המסה מקשת מעגלית לקו ישר, כך שיתקבל משולש:

במשולש הצהוב מתקיים:
sinθ = x / L

נציב בחזרה במשוואת התנועה, ונקבל:
mgx/L = ma-
משוואת תנועה זו מתאימה לצורה של תנועה הרמונית פשוטה (יש יחס ישר בין ההעתק x לתאוצה a):
אם מסמנים c = mg / L, נקבל שהמשוואה היא:
cx = ma –

מכאן מקבלים:
(ω = √(c/m
(ω = √(mg/mL
(ω =  √(g / L (משוואה 1)

ידוע שבתנועות מחזוריות מתקיים:
ω = 2π / T (משוואה 2)

משווים את משוואות 1 ו 2:
(ω שקיבלנו מהמערכת = ω בתנועה מחזורית)
(2π / T = √(g / L

נבודד את L ע"י פיתוח אלגברי:
L = T √g / 2π√
L = (T √g / 2π)²

הצבת נתונים:
T = 1.986 s
g = 10 m/s²
L = (1.986 * √10 / 2π )² = 0.999

תשובה: אורך החוט הוא 0.999 מטר.

תרגיל 2
משקולת בעלת מסה m = 1 kg תלויה מתקרה בגובה 2 מ' על קפיץ חסר מסה בעל קבוע k = 50 N/m, ואורך רפוי L = 0.8m.
א. הניחו שהמשקולת נקודתית ומצאו את גובה נקודת שיווי המשקל של המשקולת.
ב. מושכים את השקולת לגובה 0.2 מטר מתחת לנקודת שיווי המשקל. מצאו את הכוח השקול בנקודה זו.
ג. משחררים את המשקולת מגובה זה. והיא מתחילה לבצע תנודות. חשבו את תדירות התנודות.
ד. חשבו את מהירות המשקולת כאשר היא עוברת בנקודת שיווי המשקל במהלך התנודות.

פתרון
סעיף א
בנקודת שיווי המשקל שקול הכוחות על המשקולת הוא 0 . הכוחות הפועלים על המשקולת הם הכבידה וכוח הקפיץ:

נסמן את מידת התארכות הקפיץ ב-x, כוח הקפיץ הוא: Fk = kx
F = Fk – mg = 0
mg = kx
x = mg/k
x = 1 * 10 / 50 = 0.2
המרחק של המשקולת מהתקרה הוא L + x = 1 m, והגובה של נקודה זו הוא 1 מ' מעל הקרקע.

תשובה: גובה נקודת שיווי המשקל הוא 1 מ' מעל הקרקע.

סעיף ב

מידת ההתארכות של הקפיץ בזמן המתיחה היא x = 0.4 m.
חישוב הכוח השקול:
F = Fk – mg = kx – mg∑
F = 50 * 0.4 – 1 * 10 = 20 – 10 = 10 N∑

תשובה: הכוח השקול הוא 10 ניוטון כלפי מעלה.

סעיף ג
הכוח השקול על המשקולת הוא: F = kx – mg∑.
mg ו k הם קבועים, לכן קיים יחס ישר בין הכוח השקול לx, וזו תנועה הרמונית פשוטה.
נגדיר את נקודת שיווי המשקל כנקודת ה-0, ואז מחוק שני תתקבל משוואת התנועה:
kx = ma-
לכן התדירות היא:
ω = √k/m
ω = √50/1
ω = √50

תשובה: תדירות התנודות היא  50√ הרץ.

סעיף ד
הכוחות הפועלים במערכת הם הכבידה וכוח הקפיץ שהם כוחות משמרים. בזמן התנודות מתבצעים מעברי אנרגיה בין שלושה גורמים: אנרגיית גובה, אנרגייה אלסטית של הקפיץ ואנרגייה קינטית של המשקולת, כאשר בך האנרגיה נשמר לכל אורך התנודות.
נגדיר את הרצפה כגובה 0.
כאשר מושכים את המשקולת כלפי מטה, התארכות הקפיץ היא  x = 0.4 m, וגובה המשקולת הוא h =0.8 m, ומהירותה היא 0.
חישוב סה"כ האנרגיה:
E = U0 = 1/2 kx² + mgh
U = 1/2 * 50 * 0.4² + 1 * 10 * 0.8 = 12 J.
כאשר המשקולת עוברת בנקודת שיוויה המשקל, התארכות הקפיץ היא x = 0.2 m, וגובה המשקולת הוא h =1 m, ומהירותה היא v (מה שאנו רוצים למצוא). סה"כ האנרגיה שווה לאנרגיה ההתחלתית, 12 J.
U1 = 1/2 kx² + mgh
U = 1/2 * 50 * 0.2² + 1 * 10 * 1 = 11.
ההפרש בין האנרגיות הפוטנציאליות בהחלה ובסוף הוא 1. הפרש זה שווה לאנרגיה הקינטית של המסה בנקודת שיווי המשקל:
Ek = 1/2mv² = 1
v² = 2 / m
v = √2 m/s

תשובה: מהירות המשקולת בנקודת שיווי המשקל היא v = √2 m/s.

תרגיל 3
משקולת בעלת מסה m מונחת על שולחן חלק ומחוברת לקפיץ בעל קבוע k = 2 N/m. המערכת מבצעת תנודות בעלות משרעת A.

נתון גרף המתאר את מיקום המסה על ציר x כפונקציה של הזמן:

א. ציירו את הכוחות הפועלים על המשקולת והסבירו מדוע התנודות הן תנועה הרמונית פשוטה.
ב. מצאו על פי הגרף את משרעת התנודות.
ג. מצאו על פי הגרף את זמן מחזור והתדירות.
ד. חשבו את מסת הגוף.
ה. ברגע מסויים מניחים משקולת נוספת על המשקולת שמבצעת את התנודות, כך שמשרעת התנודה לא משתנה. באיזה שלב של התנועה ייתכן שהוסיפו את המשקולת הנוספת?

פתרון
סעיף א

תרשים כוחות:

לא קיימת תאוצה ברכיב y, לכן לפי חוק שני נקבל N = mg.
רכיב x של הכוח השקול הוא:
F = fk
כוח הקפיץ נתון ע"י:
fk = – k Δx (הכוח שלילי מפני שהוא פועל בכיוון המנוגד לשינוי בהעתק)
כלומר קיבלנו שהכוח השקול הוא: F = – kΔx.
על פי החוק השני, F = ma, משוואת התנועה היא:
ma = – kΔx
התאוצה של המסה פרופורציונלית להעתק, ולכן זו תנועה הרמונית פשוטה.


סעיף ב

משרעת התנודות מיוצגת בגרף ע"י המרחק בין נקודות הקיצון לנקודת שיווי המשקל. בגרף המתואר שיווי המשקל הוא ב x = 0, לכן האמפליטודה היא הערך של נקודת הקיצון, כלומר x = 0.5 m.
פתרון: משרעת התנודה היא A = 0.5 m.

סעיף ג
זמן המחזור על פי הגרף הוא המרחק בין שתי נקודות בהן הגוף מבצע את אותו שלב בתנועה, למשל בין שתי נקודות מקסימום. ניתן להבחין שלגרף יש שתי נקודות מקסימום ב t=2 s וב t=4 s.
לכן זמן המחזור הוא:
T = 4 – 2 = 2 s

תדירות התנועה היא:
f = 1 / T.
מציבים T = 2 s:
f = 1/2 hz

תשובה: זמן המחזור של התנועה הוא 2 שניות, והתדירות היא 0.5 הרץ.

סעיף ד
מן הערך של התדירות מסעיף ב' ניתן למצוא את ω:
ω = 2πf (משוואה 1)

על פי משוואת התנועה מסעיף א, ma = – kΔx, מקבלים:
(ω = √(k / m (משוואה 2)

נשווה את 1, 2:
(2πf = √(k / m
m = k / (2πf)²

הצבת נתונים:
k = 2 N/m
f = 0.5 hz
m = 2 / (2 * π * 0.5)²
m = 0.203 kg

תשובה: מסת המשקולת היא 0.203 ק"ג.

סעיף ה
ייתכן שהוסיפו את המשקולת החדשה כאשר המשקולת הנתונה הייתה בשיא התנועה (מינימום או מקסימום).
הסבר: בשביל להתחיל תנודות ממצב מנוחה, יש להסיט את המשקולת מנקודה שיווי המשקל. המרחק בו מסיטים את המשקולת מנקודת שיווי המשקל הוא גם האמפליטודה של התנודה, ונקודת ההתחלה של התנודות היא נקודת המקסימום (או המינימום). לכן, אם נוסיף משקולת נוספת בנקודה זו, נוכל לראות זאת כהתחלה של תנודה אחרת כאשר מידת ההסטה ההתחלתית שווה לתנודה עם משקולת אחת, ולכן גם האמפליטודות שלהן זהות.
הסבר נוסף:
בתנועה הרמונית מתבצעים מעברי אנרגיה (במקרה זה בין אנרגיה קינטית לאנרגיית הקפיץ), כאשר סה"כ האנרגיה נשמר. כדי שהאמפליטודה לא תשתנה, צריך שהוספת המשקולת לא "תבזבז" אנרגיה.
כאשר המשקולת בנקודת המקסימום, האנרגיה הקינטית היא 0 וכל האנרגיה אגורה בקפיץ. הוספת המשקולת ברגע זה לא משפיעה על המתיחות בקפיץ ולכן גם לא משנה את האנרגיה שלו, ולכן לא מקטינה את האנרגיה שאגורה במערכת. הוספת המשקולת בכל שלב אחר בו קיימת אנרגיה קינטית, תצריך ביצוע עבודה להענקת מהירות למשקולת שמוסיפיםף ולכן תגרום ל"בזבוז" אנרגיה שיוביל להקטנת האמפליטודה.

 

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.