תנועה מעגלית

בדף זה תרגילים בנושא תנועה מעגלית.

תרגיל  1
כדור שמסתו 2 ק"ג תלוי על חוט באורך 2 מ' ומסתובב במהירות זוויתית קבועה ω. החוט מחובר לתקרה בדינמומטר המורה 21 ניוטון.
א. חשבו את הזווית α בין החוט לאנך לתקרה.
ב. חשבו את המהירות הזוויתית ω.

פתרון
הדינמומטר מציין את מתיחות החוט.
שרטוט תרשים כוחות וחלוקה לרכיבים:

סעיף א:
אין תאוצה ברכיב האנכי, לכן רכיב y של שקול הכוחות הוא 0.
F = Ty – mg = 0∑
Ty = Tcosα = mg
cosα = mg / T
cosα = 2 * 10 / 21
α = 17.753°

תשובה: הזווית היא α = 17.753°.

סעיף ב:
ברכיב האופקי מתבצעת תנועה מעגלית קצובה כאשר הכוח הרדיאלי הוא Tx. לכן:
Tx = FR = maR = mω²r
ω² = Tx / mr

רדיוס התנועה המעגלית הוא המרחק של הכדור ממרכז המעגל, כלומר מהאנך מהתקרה:

r = l*sinα
Tx = Tsinα

ω² =  Tsinα / ml*sinα
(ω = √(T / ml
ω = √(22/2*2) = 2.345

תשובה: המהירות הזויתית היא 2.345 רדיאן בשנייה.

תרגיל 2
זבוב שמסתו 10 גרם נח על תקליט המסתובב במהירות 1 רדיאן בשנייה במרחק 20 ס"מ ממרכזו.
ציירו את כל הכוחות הפועלים על הזבוב. ציינו מהו הכוח הצנטריפטאלי וחשבו את גודלו.

פתרון

הכוחות הפועלים בציר האנכי הם הכבידה כלפי מטה, וכוח הנורמל שמפעיל התקליט על הזבוב כלפי מעלה. בציר האנכי פועל חיכוך שמפעיל התקליט על הזבוב. כוח זה גורם לזבוב להסתובב יחד עם התקליט, כלומר זהו הכוח הצנטריפטאלי.

שרטוט תרשים כוחות:

חישוב גודל כוח החיכוך:
f = FR = maR = mω²r
m = 0.01 kg
r = 0.2 m
f = 0.01 * 1 * 0.2 = 0.002 N

תשובה: הכוח הצנטריפטאלי שפועל על הזבוב הוא חיכוך, וגודלו 0.002 ניוטון.

תרגיל 3
מכונית נכנסת לעיקול מעגלי ברדיוס R = 180 m. מקדם החיכוך בין גלגלי המכונית לכביש הוא μ = 0.5.
חשבו את המהירות המירבית בה תוכל המכונית להשלים את העיקול מבלי להחליק.

פתרון
הכוחות הפועלים על המכונית הם הכבידה, כוח נורמלי שמפעיל הכביש כלפי מעלה, וחיכוך שמפעיל הכביש והוא הכוח הרדיאלי.
שרטוט כוחות:

שקול הכוחות האנכי הוא 0, לכן mg = N

החיכוך הוא הכוח הרדיאלי הגורם לתנועה הסיבובוית:  (זה לא חיכוך).
f = FR = ma= mv² / r

ניתן לראות שככל שהמהירות גדולה יותר כך החיכוך גדול יותר. לכן המהירות המרבית האפשרית היא המהירות עבורה החיכוך מקסימלי:
f = Nμ = mgμ

הגרסה שלי:
כאשר גוף נע בתנועה מעגלית הכוח הפועל עליו הוא:
f = FR = ma= mv² / r (משוואה 1)

על המכונית שלנו פועל כוח חיכוך הגורם לתנועה המעגלית.
גודלו של כוח החיכוך הוא:
f = Nμ = mgμ   (משוואה 2)
(הצבנו  mg = N).

נמצא את המהירות על ידי השוואה בין משוואה 1 ל- 2.
mgμ = mv² / r
v² = gμr
( v = √ ( gμr

נציב את הנתונים:
R = 180
u = 0.5
v = √ (10 * 0.5 * 180 ) =  √900 = 30 m/s

תשובה: המהירות האפשרית המירבית היא 30 מ"ש.

תרגיל 4 (המשך לתרגיל 3)
כאשר הכביש רטוב מקדם החיכוך הופך לזניח, ולכן הוחלט ליצור שיפוע בכביש לכיוון מרכז המעגל, כפי שמתואר בתרשים. חשבו את הזווית α הדרושה על מנת לאפשר נסיעה במהירות המירבית מתרגיל 3.

הפעם הכח הרדיאלי הוא רכיב ה-x של כוח הנורמל.
שרטוט תרשים כוחות:

אין תאוצה ברכיב ה-y, לכן:
mg = Ny = Ncosα
N = mg / cosα  (משוואה 1)

הכוח הרדיאלי הוא רכיב ה-x של כוח הנורמל.
ניתן לתאר את הכוח הרדיאלי בשתי דרכים:
F= Nx = Nsinα   (משוואה 2, תיאור הכוח הפועל על המכונית)
FR = maR = mv² / r   (משוואה 3,  הכוח הפועל על כל גוף בתנועה מעגלית)

נשווה בין משוואות 2 ו- 3 ונקבל:
Nsinα = mv² / r

נציב N = mg / cosα ונקבל:
mg tanα = mv² / r
tanα = v² / rg = 900 / 1800
α = 26.565º

תשובה: הזוית הדרושה היא α = 26.565º.

תרגיל 5
כדור נע במסלול מעגל אנכי ברדיוס r = 1 m. חשבו את המהירות המינימלית שצריכה להיות לכדור כאשר הוא בנקודה הגבוהה ביותר, על מנת שיוכל להשלים את הסיבוב.

פתרון
הכוחות הפועלים על הכדור לאורך התנועה הם הכבידה (שהיא קבועה לכל אורך התנועה) וכוח נורמלי מהמסילה (שגודלו וכיוונו משתנים).

הכוח השקול לאורך התנועה משתנה וקשה לנתח אותו. אבל ברגע המסויים שהכדור בנקודה הגבוהה ביותר של המסלול, ניתן לראות ששקול הכוחות מכוון כלפי מטה, וברגע המסויים הזה זהו גם כיוון מרכז המעגל. כדי שהכדור יוכל להשלים את המעגל, צריך שהכוח השקול הזה יהיה שווה לכוח הרדיאלי, מפני שאם הוא יהיה גדול ממנו, אז לגוף תהיה תאוצה כלפי מטה והוא יפול ולא ישלים את הסיבוב.
משוואת כוחות כאשר הכדור בנקודה העליונה:
F = N + mg =  FR∑  (הכוח הצנטרפוגלי הפועל על המכונית)
FR = mv² / r  (הכוח הפועל כל כל גוף בתנועה מעגלית).

נבודד את המהירות מהמשוואה האחרונה.
v² = rFR / m  (משוואה 1)

כאשר הכדור ינוע במהירות המינימלית הדרושה, נקבל ש N = 0, כלומר הכוח הנורמלי לא פועל. ניתן להבין זאת כך שבאופן זה הכדור "מרחף" על גבי המסילה. כח הכבידה לא משתנה, ומקבלים:
F = N + mg = mg + 0= mg =  FR

נציב mg =  FR  במשוואה 1 ונקבל:
v² = rmg / m
v = √rg
v = √(1*10) = √10 m/s

תשובה: המהירות המינמלית הדרושה להשלמת המעגל היא 10 מ"ש.

תרגיל 6
כדור שמסתו m נמצא במבחנה המסתובבת במעגל אופקי במהירות זויתית ω, כאשר מרחק תחתית המבחנה ממרחק המעגל הוא A. בתחתית המבחנה נמצא קפיץ בעל קבוע k ואורך רפוי L, כפי שמתואר בתרשים.
מצאו ביטוי למידת התארכות הקפיץ x כתלות בנתוני השאלה.

פתרון
המבחנה מסתובבת במעגל אופקי, לכן הכוחות האנכיים על הכדור (כבידה ונורמל) מבטלים זה את זה ולא משפיעים על תנועתו. הכוח הרדיאלי שגורם לסיבוב הכדור הוא הכוח האלסטי של הקפיץ:

ביטוי לכוח הקפיץ:
Fk = kx

כוח הקפיץ הוא הכוח הרדיאלי הגורם סיבוב הכדור, לכן:
Fk = FR = maR = mω²r.

רדיוס הסיבוב של הכדור תלוי גם הוא במידת התארכות הקפיץ, והוא:
r = A – L + x

מכאן מתקבל הביטוי:
(kx = mω²(A – L + x
(kx – mω²x = mω²(A – L
(x(k – mω²) = mω²(A – L
(x = mω²(A – L) / (k – mω²

תשובה: ביטוי למידת התארכות הקפיץ: (x = mω²(A – L) / (k – mω²

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.