זריקה משופעת

בדף זה תרגילים בנושא תנועה של גופים על פני שני ממדים (זריקה משופעת).

תרגיל 1
מגובה 200 מטרים נזרק גוף במהירות אופקית של 50 מטרים בשנייה.

  1. מה מהירות הגוף לאחר 4 שניות? ציינו את המהירות הכללית, את המהירות האופקית ואת המהירות האנכית.
  2. מה מרחקו של הגוף מראש המגדל בזמן פגיעתו בקרקע?
  3. מה מהירות פגיעת הגוף בקרקע? ציינו את המהירות הכללית, את המהירות האופקית ואת המהירות האנכית.

 

פתרון:

סעיף 1:
נחשב לכל רכיב בנפרד, ואח"כ את המהירות הכללית:
מהירות אופקית:
vx = 50 m/s – המהירות האופקית קבועה לכל אורך התנועה.

מהירות אנכית:
בכיוון האנכי מתקיימת נפילה חופשית – תנועה שוות תאוצה:
v0y = 0
ay = -10 m/s2
vy = -10*4 = -40 m/s.

מהירות כללית:
את גודל המהירות הכללית ניתן לחשב באמצעות פיתוגרס:
vtotal = (vx2+vy2)1/2 = √(502+(-40)2) = 64.03 m/s
חישוב זווית המהירות הכללית ביחס לאופק:
tan α = 50/40
α = 51.34º

סעיף 2:
נחשב את המרחק האופקי שעובר הגוף.
משך הזמן עד הנפילה:
y0=200 m
v0y=0 m/s
a=-10 m/s2
y(t) =y+ v0t + 1/2 * a * t2
200-5t2 = 0
t=√40 s

בכיוון האופקי מתבצעת תנועה במהירות קבועה לכן המרחק שהגוף עובר הוא:
x=50*√40 = 316.23 m
המרחק האופקי מראש המגדל הוא המרחק האופקי שהגוף עובר, והמרחק האנכי הוא גובה המגדל.
חישוב המרחק הכללי הוא לפי פיתגורס:
374.17 =(d = √(2002 + 316.232
המרחק מראש המגדל הוא 374.17 מטר.

סעיף 3:
מהירות אנכית:
לפי תנועה בתאוצה קבועה:
t=√40 s (חישבנו בסעיף 2)
v0y=0 m/s
a=-10 m/s2
v =√40*-10 = -63.25 m/s

מהירות אופקית:
vx = 50 m/s – המהירות האופקית קבועה לכל אורך התנועה.

מהירות כללית:
כמו בסעיף 1, את גודל המהירות הכללית ניתן לחשב באמצעות פיתוגרס:
vtotal = (vx2+vy2)1/2 = √(502+(-63.25)2) = 80.63 m/s
חישוב זווית המהירות הכללית ביחס לאופק:
tan α = 63.25/40
α = 57.69º

תרגיל 2
כדור נזרק בזוויות 60 מעלות ביחס לקרקע ובמהירות של 50 מטרים בשנייה.

  1. מה המהירות האופקית ומה המהירות האנכית של הכדור בזמן הזריקה.
  2. באיזה מרחק מנקודת הזריקה הכדור יגיע שוב לגובה ממנו הוא נזרק?

פתרון

סעיף 1:
מהירות אופקית:
v= v*cos(60) = 50*1/2 = 25 m/s

מהירות אנכית:
vy = v*sin(60) = 50*√3/2 = 43.3 m/s

סעיף 2:
נגדיר את גובה הזריקה y=0, נחפש מתי עוד מתקיים y=0 לפי הנוסחה y(t) =y+ v0yt + 1/2 * a * t2
v0y=43.3 m/s
a=-10 m/s2
43.3t-5t²=0
5t(8.66-t)=0
t1=0 s, t2 = 8.66 s
הכדור יגיע שוב לגובה ההתחלתי לאחר 8.66 שניות.

חישוב המרחק האופקי בזמן זה:
x=voxt = 25*8.66 = 216.5 m

הכדור יגיע שוב לגובה מממנו נזרק במרחק 216.5 מטר.

 

תרגיל 3
מטוס טס במהירות של 800 קמ"ש ובזווית של 20 מעלות כלפי מעלה.
המטוס מטיל פצצה מגובה 2,000 מטרים.

  1. מה המהירות האופקית ומה המהירות האנכית של הפצצה בזמן שיגורה?
  2. תוך כמה זמן תפגע הפצצה בקרקע?
  3. מה המרחק שתעבור הפצצה עד לפגיעתה בקרקע?

פתרון

סעיף 1:
בעת הטלת הפצצה, מהירותה זהה למהירות המטוס – 800 קמ"ש בכיוון 20 מעלות למעלה.

רכיב אופקי:
v0x = v0cosα = 800cos20 = 751.75 km/h

רכיב אנכי:
v0y = v0sinα = 800sin20 = 273.62 km/h

סעיף 2:
נשתמש בנוסחה  y(t) =y+ v0yt + 1/2 * a * t2
y= 2000 m
v0y = 273.62 km/hr = 76 m/s
a = -10 m/s²
0=2000+76t-5t²
t=-76±√(76²-4*-5*2000)/-10
t1=-13.79 s , t2=28.99 s
הפתרון השלילי לא מתאים, הפצצה תפגע בקרקע 28.99 שניות לאחר השיגור.

סעיף 3:
רכיב המהירות האופקי קבוע והוא v0x = 751.75 km/h.
חישוב המרחק האופקי שעוברת הפצצה (שימו לב ליחידות):
v0x = 751.75 km/h = 208.65 m/s
x=28.99*208.65 = 6048.84 m

הפצצה תעבור מרחק של 6.048 ק"מ לפני פגיעתה בקרקע.

תרגיל 4
(תרגיל זה דורש ידע בכוחות)
כדור שמסתו m מתחיל להתגלגל ממהירות 0 על פני מדרון חלק שאורכו 10 מטרים ושיפועו 30 מעלות.
גובה הקצה התחתון של המדרון הוא 20 מטרים מעל הקרקע.

  1. כמה זמן מתחילת ההתגלגלות יפגע הכדור בקרקע?
  2. מה מהירות פגיעת הכדור בקרקע? ציינו את הרכיבים השונים של מהירות הכדור.

 

פתרון
סעיף 1:
כדי לחשב את זמן ההתגלגלות על המדרון, נגיר מערכת צירים חדשה ונצייר את הכוחות הפועלים כמו בשרטוט:

הכוח שמעניין הוא רכיב ה-x של mg.
חישוב התאוצה לפי חוק שני:
F = mgsin30 = max
ax = gsin30

הגלגול במדרון הוא תנועת שוות תאוצה בקו ישר (ציר ה-x שהגדרנו).
יש לחשב את הזמן עד ההגעה למדרון, ואת מהירות הכדור בזמן ההגעה לתחתית.
חישוב הזמן:
x(t) =x+ v0xt + 1/2 * ax * t2
10 = x(t) = 0 + 0 * t + 1/2 * gsin30 * t2
t= 4.08 (מציבים g = 9.8)
t = 2.02
הכדור יגיע לתחתית המדרון לאחר 2.02 שניות.

חישוב מהירות הכדור בתחתית המדרון:
v0 = ax * t = gsin30 * 2.02 = 9.8* * 1/2 * 2.02 = 9.89 m/s
מהירות הכדור בתחתית המדרון היא 9.89 בכיוון x כפי שהגדרנו.

נחשב את הזמן מהגעת הכדור לתחתית המדרון עד לנפילתו. נחזור למערכת x ו y רגילה, ונפרק את v0 שחישבנו לרכיבים.


חישוב זמן עד נפילה:
בכיוון y קיימת נפילה חופשית – תנועה שוות תאוצה
a= g = -9.8
v0y = -9.89sin30 = – 4.945 m/s
y = 20
נגדיר כיוון למעלה כy חיובי, לכן התאוצה והמהירות ההתחלתית שליליות (כיוונן למטה)
y(t) =y+ v0yt + 1/2 * a * t2
0 = y(t) =20 + -4.945t + 1/2 * -9.8 * t2
 0 = 20 +4.945t -4.9 * t2
t = 4.945 ± √(4.945² -4*-4.9*20) / -9.8
t= -2.58, t2 = 1.577
הכדור יפגע בקרקע 1.577 שניות לאחר ההגעה לתחתית המדרון.

סה"כ, הכדור יפגע בקרקע  3.59 שניות לאחר שחרורו ממעלה המדרון.

סעיף 2:
רכיב x:
מרגע הגעת הכדור לתחתית המדרון, אין לו תאוצה בכיוון x ומהירותו נשארת קבועה.
מהירות הכדור בפגיעה היא:
v0x = v0cos30 = 9.89 cos 30 = 8.56 m/s

רכיב y:
מתקיימת תנועה שוות תאוצה.
נחשב לפי הנוסחה: (v² = v0² +2a(x-x0
(vy² = v0y² +2g(y-y0
vy² = (-4.945)² – 19.6 * -20 = 416.45
v= -20.4 m/s
המהירות כלפי מטה לכן רכיב y צריך להיות שלילי.

חישוב גודל וכיוון המהירות
גודל:
vtotal = (vx2+vy2)1/2 = √(8.562+(-20.4)2) = 22.12 m/s

כיוון:
tan α = |vy| / vx = 20.4/8.56 = 2.383
α = 67.236º

תשובה: מהירות הכדור בעת הפגיעה בקרקע היא 22.12 מ"ש בזווית 67.236º ביחס לכיוון ציר x שלילי.
רכיבי המהירות:
v= 8.56 m/s
vy = -20.4 m/s

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.