פונקציות טריגונומטריות – הרדיאן והסבר בסיסי

דף זה הוא דף בסיסי בנושא פונקציות טריגונומטריות שנועד להסביר את ההבדלים בין פונקציות טריגונומטריות לפונקציות רגילות.
החלק המעשי יותר של חקירת פונקציה טריגונומטרית נמצא בדף אחר.

מעגל היחידה הטריגונומטרי

נושא זה אינו חשוב והוא נועד אך ורק על מנת להסביר כיצד יש סינוס / קוסינוס לזוויות עם בגודל של 400 מעלות ולמה זווית זו שווה לזווית של 40 מעלות.

הרדיאן

הרדיאן הוא יחידת מידה של זוויות, בדיוק כמו המעלות.
כפי שטמפרטורה ניתן למדוד בצלזיוס או בפרנהייט כך זוויות ניתן למדוד ברדיאנים או במעלות.

2₶ רדיאנים שווים ל- 360 מעלות.

אני חושב שהדרך הכי טובה לעשות את המעבר היא על ידי זכירה של 2₶=360. כי אם יגידו לכם ₶½ תוכלו לדעת מיד שזה 90 מעלות. ואם יגידו 45 מעלות זה צריך להיות 1/8 מ 2₶ שזה יוצא 1/4₶.

אבל קיימות גם נוסחאות שיכולות להיות נוחות יותר עבור חלק מהאנשים.
אין חובה לזכור את שתי הנוסחאות, אם תזכרו אחת המעבר בניהן קל.

אם נתונה לכם זווית במעלות (β) ואתם רוצים להפוך אותה לזווית ברדיאנים (α) זו הנוסחה:

אם נתונה לכם זווית ברדיאנים (α) ואתם רוצים להפוך אותה לזווית במעלות (β) זו הנוסחה:

מספר תרגילים בסיסיים:

הפכו את הזוויות הללו ממעלות לרדיאנים:

1. 180.
2. 30.
3. 10.
4. 50.

פתרונות

1. 180=₶ רדיאנים
2. 30= 6/₶ רדיאנים
3. 10 = 18/₶ רדיאנים. (ניתן לחשב בעזרת הנוסחה או לחלק ב- 18 את תשובה 1).
4. 50= 18/₶5 רדיאנים. (ניתן לחשב בעזרת הנוסחה או להכפיל ב- 5 את תשובה 3).

הפכו את הזוויות הללו מרדיאנים למעלות:

1. 2/₶.
2. 1.5₶.
3. 1.5₶/4.
4. 3₶/4.

פתרונות

1. 2/₶ = 90 מעלות.
2. 1.5₶ = 270 מעלות.
3. 1.5₶/4= 67.5 מעלות.
4. 3₶/4 = 135 מעלות.

פונקציית הסינוס

• הערכים של פונקציית הסינוס נעים בין -1 ל- 1.
• הערכים חיובים ברביע הראשון והשני (0-180 מעלות) ושליליים ברביעים השלישי והרביעי (181-359 מעלות).
• sin x = sin (180-x)= sin x + 360k. (כאשר k הוא מספר שלם).
• הנגזרת של sin x היא cos x.
• פונקציית הסינוס היא אי זוגית כלומר sin (-x)= -sin x.
• זה המראה הכללי של פונקציית הסינוס:

פונקציית הקוסינוס

• הערכים של פונקציית הקוסינוס נעים בין -1 ל- 1.
• הערכים חיובים ברביע הראשון והרביעי ושליליים ברביעים השני והשלישי.
• cos x = cos -x= cos x + 360k. (כאשר k הוא מספר שלם).
• הנגזרת של  cos x היא sin x-.
• פונקציית הקוסינוס היא זוגית כלומר cos (-x)= cos x.
• זה המראה הכללי של פונקציית הקוסינוס:

פונקציית הטנגס

פונקציית הטנגס מוגדרת כמנה של פונקציות הסינוס והקוסינוס. המראה וההתנהגות של פונקציית הטנגס שונה מההתנהגות של פונקציות הסינוס או הקוסינוס.

• תחום הגדרה: פונקציית הטנגס אינה מוגדרת כאשר cos x=0 וזה קורה כאשר x=90+360k, 270+360k.
• הערכים של פונקציית הטנגס הם בין אינסוף למינוס אינסוף.
• הערכים חיובים ברביע הראשון והרביעי ושליליים ברביעים השני והשלישי (בדיוק כמו פונקציית הקוסינוס).
• פונקציית הטנגס חוזרת על עצמה כל 180 מעלות. כלומר (tan x= tan (x+180
• הנגזרת של  cos x היא sin x-.
• פונקציית הטנגס היא אי זוגית כלומר tan (-x)= -tan x.
• פונקציית הטנגס עולה תמיד ואין לה נקודות קיצון.
• זה המראה הכללי של פונקציית הטנגס: