דברים בסיסיים שצריך לדעת
- הערכים של פונקציית הסינוס נעים בין 1- ל- 1.
- הערכים חיובים ברביע הראשון והשני (0-₶ רדיאנים) ושליליים ברביעים השלישי והרביעי (₶-2₶ רדיאנים).
- פונקציית הסינוס היא אי זוגית כלומר sin (-x)= -sin x.
פתרון בסיסי של משוואת הכוללות סינוס
בגלל קשיים טכניים בכתיבה באתר בצורה של רדיאנים אני אכתוב כאן את הפתרונות תוך שימוש במעלות ולא רדיאנים. אך עליכם לדעת כיצד כותבים פתרונות ברדיאנים. אני מזכיר ₶ רדיאנים הם 180 מעלות.
פונקציית הסינוס היא פונקציה שהערכים שלה חוזרים על עצמם. ולמשוואה sin x =0.5 יש אינסוף פתרונות.
על מנת לחקור את פונקציית הסינוס אתם חייבים לדעת כיצד להגיע אל אינסוף הפתרונות הללו וגם כיצד לצמצם אותם אל הפתרונות המותרים לכם בתוך תחום ההגדרה של הפונקציה.
במהלך פתרון המשוואה אנו נשענים על שני דברים:
- פונקציית הסינוס היא פונקציה שחוזרת על עצמה כל 360 מעלות. לכן אם 40 הוא פתרון אז גם 40+360=400 הוא פתרון.
- (sin x= sin (180-x ולכן אם 40 הוא הפתרון אז גם 140 הוא הפתרון (המספר המשלים ל 180 מעלות).
אז אם sin x=0.5 יש למשוואה 2 פתרונות בתוך 360 המעלות (2₶ רדיאנים).
(6 / ₶) = x = 30 או (6 / 5₶) = x=150
עכשיו עלינו להוסיף 360 מעלות (2₶ רדיאנים ) לכל פתרון על מנת לקבל את כל הפתרונות האפשריים.
הפתרון של sin x=0.5 הוא:
x=30 + 360k או x= 150 + 360k.
שמי לב: k הוא מספר שלם כלשהו שיכול להיות גם שלילי.
תרגילים
א. sin x = √2 / 2 בתחום של 180- ועד 720 מעלות.
x=45 +360k או x=135+360k.
בתחום הנתון הפתרונות הם:
x=45, 135, 405, 395.
ב. sin 2x = 1 בתחום 360- ועד 540 מעלות.
1 הוא מספר מיוחד כי יש לו רק פתרון אחד בתוך 360 מעלות והוא 90 מעלות.
הפתרון הכללי הוא:
2x=90 + 360k.
x=45 +180k
הפתרון שמתאים לתחום ההגדרה הוא:
x=45, 225, 405.
ג. sin (3x +10) = -0.5 בתחום 0 ועד 360 מעלות.
הפתרון הכללי הוא:
3x + 10=330 + 360k או 3x+10=210 + 360k
3x + 10=330 + 360k
3x=320+360k
x=106.66+120k
או
3x+10=210 + 360k
3x = 200 +360k
x=66.66+120k
הפתרונות שמתאימים לתחום ההגדרה הם:
x=66.66, 186.66, 306.66, 106.66, 226.66, 346.66
תחום הגדרה פונקציית סינוס
הפונקציה sin x מוגדרת לכל x.
נגזרת פונקציית הסינוס
sin x) ‘ = cos x)
כאשר נכללת פונקציה מורכבת בתוכה הנגזרת היא:
(sin f(x)) ‘ = cos f(x) * f ‘(x)
למשל:
sin 2x) ‘ = 2cos 2x)
sin -3x³) ‘ = cos -3x³ * -9x²)
נגזרות של פונקציות נוספות:
x sin x)’ = sinx + xcosx)
sin (-2x+10))’ = cos (-2x-10) * -2)
דוגמאות לגרפים של פונקציית הסינוס
עוד באתר:
- פונקציות – הדף המרכזי בנושא.