בדף זה נדון בפונקציה צוברת שטח ובשיטות לפתרון תרגילים בנושא זה.
נניח ונתונה הפונקציה f(x) בשרטוט.
ועל בסיס פונקציה זו מגדירים פונקציה נוספת שהיא:
ומבקשים מאיתנו להסיק ולשרטט כיצד נראה גרף הפונקציה של s(x) בתחום:
a < x < c
בעיקרון יש בדף הזה יותר מידי מלל ואם מבינים את הנושא אפשר לא להתעקש על כל מילה ומילה.
אפשר להבין את הנושא על בסיס:
- הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת..
- על פי חישובי שטחים.
כאן נסביר את הנושא בשתי הדרכים.
הסבר על פי הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת
הפונקציה של s(x) היא פונקציה שעבור x = a הערך שלה הוא 0 ולכן s(x) מתחילה בנקודה:
a,0
כמו כן הגרף של f(x) הוא גרף הנגזרת.
אנו רואים שהגרף עולה של s(x) עולה בתחום:
a < x < b
אבל קצב העלייה משתנה.
עד ל x = d ערך הנגזרת עולה – הפונקציה עולה בקצב מהיר.
ובין:
d < x < b
הפונקציה s(x) עולה אבל קצב העלייה קטן.
לכן בתחום
a < x < b
הגרף של s(x) יראה כך:
- מתחיל ב y = 0.
- עד הנקודה d קצב העלייה הולך ועולה.
- עד הנקודה b הפונקציה ממשיכה לעלות בקצב יורד.
בנקודה b הפונקציה s(x) עוברת לירידה – לכן זו נקודת מקסימום.
הפונקציה s(x) יורדת בקצב הולך ועולה כי ערך הנגזרת שלה f(x) הולך וקטן.
לגבי נקודת מקסימום – יכולנו להסיק זאת ישירות מכך שגרף הנגזרת עובר מחיוביות לשליליות בנקודה b.
שאלת המשך
על פי מה נוכל לקבוע על אם הגרף של s(x) מסתיים מעל או מתחת לציר ה x?
ערכי ה y של s(x) הם השטח שבין הפונקציה f(x) וציר ה x, וזה כאשר מחשבים שטח הנמצא מתחת לציר ה x כשטח שלילי.
כל עוד השטח גדול מ 0 הפונקציה s(x) מעל ציר ה x.
וכאשר השטח בין b ל c גדול יותר מהשטח בין a ל b הפונקציה s(x) נמצאת מתחת לציר ה x.
ובמילים אחרות:
כאשר השטח הירוק גדול יותר מהשטח האדום אז s(x) מעל ציר ה x.
כאשר השטח האדום גדול יותר מהשטח הירוק אז הפונקציה מתחת לציר ה x.
הסבר על ידי חישוב השטחים במקטעים השונים
זו הפונקציה f(x) (באדום).
כך מוגדרת הפונקציה s(x).
\
מכוון שאנו מכירים את פעולת האינטגרל אנו מבינים שערכי ה y של s(x) הם סכום השטחים שבין f(x) לציר ה x.
התוספת בתחום שבין a ל d הולכת וגדלה.
ולכן עד הנקודה d קצב העלייה מתגבר.
ולאחר הנקודה d ועד הנקודה b קצב העלייה יורד.
לאחר הנקודה b תוספת השטח היא שלילית ולכן הפונקציה s(x) עוברת לירידה.
תרגיל
למעלה נתון הגרף של f(x).
- שרטטו את הגרף של s(x) המוגדרת כך:
אם ידוע כי השטח בין c ל d גדול יותר מהשטח בין a ל c.
2.האם לפונקציה s(x) יש נקודת פיתול? ומה הם תחומי הקעירות קלפי מעלה / קעירות כלפי מטה של s(x)?
בתחום
a < x < c
- f(x) מתחת לציר ה x ולכן s(x) יורדת.
(נימוק אחר: השטח שלילי ולכן הגרף של s(x) נמצא מתחת לציר ה x).
2.קצב הירידה עולה עד הנקודה b ולאחר מיכן יורד.
3.הנקודה c היא נקודה בה גרף הנגזרת עובר משליליות לחיוביות ולכן זו נקודת מקסימום.
4.קצב העלייה בין c ל d הולך ועולה כי ערך הנגזרת הולך ועולה.
5.מכוון ש “השטח בין c ל d גדול יותר מהשטח בין a ל c” גרף הפונקציה s(x) בנקודה d נמצאת מעל ציר ה x.
בשחור הגרף של s(x).
עוד באתר: