פונקציה מעריכית אסימפטוטות

חוק החזקות:

הם חוקים שימושיים על מנת להבין את ההתנהגות של הפונקציה f(x) = e^x ופונקציות מעריכיות נוספות כאשר הן שואפות לאינסוף או למינוס אינסוף.

כך נראה גרף הפונקציה e^x.

החלקים של דף זה הם:

1. הסבר לאסימפטוטה אנכית.
2. הסבר לאסימפטוטה אופקית.
3. תרגילים.

1.הסבר לאסימפטוטה אנכית

הפונקציה e^x מוגדרת לכל x.  לכן בפונקציה f(x) = e^x אין אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אנכית יכולה להתקבל כאשר הפונקציה המעריכית כוללת מכנה.

דוגמה 1
מצאו את את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה:

f (x) = 2x*e^x

פתרון
הפונקציה הזו מוגדרת לכל ולכן אין לה פונקציה אנכית.

דוגמה 2

מצאו את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה.

פתרון
נמצא מתי המכנה שווה ל 0 והפונקציה אינה מוגדרת:

e^x – 2 = 0

e^x = 2

נוציא ln לשני צדדי המשוואה.

ln e^x = ln 2

נשתמש בכלל ln e^x = x

x = ln 2

זה הערך החשוד כאסימפטוטה אנכית.

נציב ערך זה במונה על מנת לראות אם המונה מתאפס גם כן:

e^{ln 2} – 1 = 2 – 1 = 1

המונה לא מתאפס ולכן

x = ln 2

היא אסימפטוטה אנכית.

הערה
בחלק האחרון השתמשנו בכלל הלוגריתמי:

e^lnx = x

2.הסבר אסימפטוטה אופקית

דוגמה 1:   f(x) = e^x
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה:

f(x) = e^x

פתרון

כאשר x שואף לאינסוף
הפונקציה שואפת לאינסוף ולא למספר.

f(∞) = e^∞ ⇒ ∞

לכן לפונקציה f(x) = e^x אין אסימפטוטה אופקית כאשר היא שואפת לאינסוף.

כאשר x שואף למינוס אינסוף
הפונקציה שואפת ל 0

f(x) = e^x

לכן y = 0 היא אסימפטוטה אופקית של פונקציה זו במינוס אינסוף.

דרך נוספת למציאת אסימפטוטה אופקית היא בעזרת טבלה

אם הכיוון החשוד הוא כאשר x שואף למינוס אינסוף נציב בפונקציה f(x) = e^x ערכים שליליים הולכים וקטנים ואם נראה שהפונקציה שואפת למספר אז זו אסימפטוטה.
אם הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף זו לא אסימפטוטה.

פונקציה מעריכית היא פונקציה שמשתנה “מהר”, לכן לא צריך להציב מספרים מאוד קטנים.

טבלה המראה כיצד משתנים ערכי הפונקציה f(x) = e^x כאשר ערכי ה x קטנים ושליליים.

x	1	-1	6-	10-
f(x)	2.718	0.36	0.0024	0.000045

לכן y = 0

היא אסימפטוטה של הפונקציה.

דוגמה 2:  f(x) = e^-x

כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת ל 0.

לכן y = 0 היא אסימפטוטה כאשר x שואף לאינסוף.

כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף.

לכן אין לפונקציה אסימפטוטה בתחום זה.

דוגמה 3:   f(x) = e^2X
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה:

f(x) = e^2x

פתרון
בדומה לפונקציה f(x) = e^x הפונקציה f(x) = e^2x שואפת ל 0 כאשר x שואף למינוס אינסוף.

לכן y= 0 היא אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף למינוס אינסוף.

דוגמה 4:    f(x) = e^x – 2
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה:

f(x) = e^x  – 2

פתרון

פונקציה זו היא הזזה של 2 יחידות כלפי מטה מהפונקציה f(x) = e^x.

כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת ל 2-.

לכן
y = -2
היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה

סיכום של הפונקציות שבדקנו

בדקנו מספר פונקציות בסיסיות שהן הזזה של הפונקציה f(x) = e^x 

הטבלה ההבאה מסכמת כיצד הפונקציות הללו מתנהגות כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

הפונקציה	ex	e2x	ex – 2	e-x
x שואף לאינסוף	אין	אין	אין	y = 0
x מינוס אינסוף	y = 0	y = 0	y = -2	אין

3.תרגילים

בחלק זה 4 תרגילים.

1.     f (x) = e^x + 4
2. 
3. 
4.