שלושת הדברים שאתם צריכים לדעת על נגזרת שנייה הם:
1.
ניתן לזהות את סוג הקיצון בעזרת נגזרת שנייה (במקום שימוש בטבלה).
אם הנקודה החשודה כקיצון היא x = a.
אז אנו יכולים לזהות את סוג הקיצון בדרך הבאה:
f ” (a) < 0 נקודת מקסימום.
f ” (a) > 0 נקודת מינימום.
2.
במידה ומכנה הפונקציה חיובי עבור הנקודה החשודה כקיצון ניתן לקבוע את סוג הקיצון על ידי גזירה של מונה הנגזרת בלבד.
נסביר את הנושא הזה בהמשך הדף.
3.
קובעים קעירות כלפי מעלה / מטה על ידי נגזרת שנייה.
f ” (x) > 0 אז בנקודה זו הפונקציה קעורה כלפי מעלה.
f ” (x) < 0 אז בנקודה זו הפונקציה קעורה כלפי מטה.
בהמשך הדף מה שנעשה זה להסביר ולהוכיח את הדברים הללו.
טיפ לזכירת הדברים הללו
לגבי סוג הקיצון אני זוכר את הכלל על ידי המילה הפוך:
נקודת מקסימום – ערך שלילי לנגזרת השנייה.
מינימום – ערך חיובי.
ואחרי שזכרתי את זה אני זוכר שנקודת מינימום זו קעירות כלפי מעלה ולכן ערך הנגזרת השנייה בקעירות כלפי מעלה חיובי.
וערך הנגזרת השנייה בקעירות כלפי מטה שלילי (כמו בנקודת מקסימום).
שרטוט גרף הנגזרת והנגזרת השנייה של נקודת קיצון
נסתכל על נקודת המקסימום הסטנדרטית הזו ועל השיפוע בנקודות A,B,C
בנקודה A השיפוע חיובי.
בנקודה B השיפוע 0.
בנקודה C השיפוע שלילי.
סקיצה של גרף הנגזרת של הפונקציה הזו יראה כך:
הגרף המדויק של הנגזרת אינו ברור אבל תחומי החיוביות והשליליות הם כפי שהם מופיעים כאן.
ומכוון ש f ‘ (x) יורדת הגרף של f ‘ ‘ (x) יהיה שלילי.
שוב פעם, אנו לא יודעים את הצורה המדויקת של f ” (x) אבל אנו יודעים כי הגרף שלילי במקרה זה.
הבנות
הבנה 1 (נקודת קיצון)
שרטטנו למעלה גרף של נקודת מקסימום ומצאנו כי הנגזרת השנייה שלילית.
דבר זה יעזור לנו לזכור שאם בנקודה החשודה כקיצון הנגזרת השנייה שלילית זו נקודת מקסימום.
הבנה 2 (קעירות כלפי מטה)
שרטטנו למעלה פונקציה קעורה כלפי מטה ומצאנו כי הנגזרת השנייה שלילית.
זה יעזור לנו לזכור כי כאשר:
f ” (x) < 0
זה תחום קעירות כלפי מטה.
הבנה 3 (והכל הפוך בנקודת מינימום)
אם היינו משרטטים נקודת מינימום הדברים היו הפוכים.
לכן נזכור:
- שאם הנגזרת השנייה חיובית בנקודה החשודה כקיצון זו נקודת מינימום.
- שאם הנגזרת השנייה חיובית זה אומר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה.
כלל מקצר לסימן הנגזרת שנייה
כלל זה יכול להועיל מאוד במיוחד במקרים שקשה לבנות טבלה לזיהוי סוג הקיצון.
לאחרונה יש בבגרות הרבה מקרים כאלו, מקרים שבהם ערך ה x החשוד כקיצון הוא פרמטר.
כפי שאמרנו למעלה.
אם יש נקודה החשודה כקיצון, נקודה שבה f ‘ (x) = 0.
אז ניתן לקבוע את סוג הקיצון בעזרת סימן הנגזרת השנייה.
אנו לא צריכים לדעת את הערך המדויק של הנגזרת השנייה, אלא מספיק לנו לדעת אם הנגזרת השנייה חיובית או שלילית.
ולכך יש דרך קיצור במקרים מסוימים:
כאשר:
- יש לנו נגזרת ראשונה הכוללת מכנה.
- מכנה הנגזרת חיובי בנקודה החשודה כקיצון.
אז אנו יכולים לזהות את סוג הקיצון בעזרת גזירה של מונה f ‘ (x) בלבד.
לדוגמה, אם זו הנגזרת:
אז הנגזרת מתאפסת עבור
x = 6
וזו הנקודה החשודה כקיצון.
עבור x = 6 מכנה הנגזרת חיובי.
לכן אנו יכולים לגזור את מונה הנגזרת בלבד:
(x – 6) ‘ = 1
נגזרת המונה הוא חיובי ולכן x = 6 זו נקודת מינימום.
אתם יכולים להשתמש בדרך קיצור זו בשני תנאים:
1.עליכם להסביר למה אתם גוזרים רק את המונה.
מה הוא בדיוק ההסבר נכתוב בהמשך.
2.אתם לא יכולים להגיד שאתם גוזרים את הפונקציה ולא יכולים לסמן את הנגזרת כ f ” (x).
אלא אתם יכולים:
1.לגזור כפי שכתבתי למעלה.
2.לסמן את הנגזרת השנייה של המונה כך:
יש גם אפשרות שלישית להגדיר פונקציה חדשה שהיא המונה בלבד, אבל לא הייתי ממליץ לכם עליה.
הוכחה
נוכיח מדוע אם מכנה הנגזרת חיובי בנקודה שמאפסת את f ‘ (x) אז סימן הנגזרת השנייה באותה נקודה זהה לסימן נגזרת המונה בלבד.
אם הנגזרת הראשונה היא:
אז כדי צריך להתקיים:
g(a) = 0
כדי ש x = a יהיה חשוד כקיצון.
נבצע עכשיו גזירה מלאה של f ‘ (x).
המכנה חיובי – ולכן אינו משפיע על סימן הנגזרת השנייה.
נסתכל על המונה:
האיבר שמימין מתאפס בנקודה כי g(a) = 0 בנקודה החשודה כקיצון.
לכן האיבר מימין במונה נמחק.
באיבר השמאלי שבמונה h(a) חיובי ולכן לא משפיע על הסימן.
מסקנה
g ‘ (a) הוא האיבר היחיד שמשפיע על סימן הנגזרת השנייה ולכן אם נגזור אותו בלבד נדע את סימן הנגזרת השנייה.
כתיבת נימוק
כאשר אתם גוזרים רק את המונה עליכם להסביר מדוע אתם יכולים לקבוע את סימן הנגזרת השנייה על פי המונה בלבד.
סיכוי טוב שמספיק שתכתבו:
“כאשר מכנה הנגזרת חיובי בנקודה החשודה כקיצון סימן הנגזרת השנייה הוא כסימן הנגזרת של המונה בלבד.
לכן נגזור את המונה בלבד”.
נימוק אחר יכול להיות:
“כך נראית הנגזרת השנייה,
הביטויים המחוקים אינם משפיעים על סימן הנגזרת בנקודה החשודה כקיצון כאשר המכנה חיובי, לכן ניתן למצוא את סימן הנגזרת השנייה על ידי גזירת מונה הנגזרת בלבד.
לסיכום:
1.אתם יכולים להשתמש בדרך זו כאשר מכנה f ‘ (x) חיובי בנקודה החשודה כקיצון.
2.עלכם לנמק מדוע אתם יכולים לעשות.
3.אתם לא יכולים לקרוא לתוצאה שקיבלתם “נגזרת שנייה” אלא אתם צריכים לקרוא לה “סימן הנגזרת השנייה”.
עוד באתר: