נקודת קיצון שערך ה x שלה הוא פרמטר

סעיף א:

נקודות החיתוך:

(-1,0) , (0,0)

סעיף ב:

n זוגי – 

חיוביות:

x > 0

-1 < x < 0

x < -1

שליליות: אין

 

n אי זוגי – 

חיוביות:

x > 0

שליליות:

-1 < x < 0

x < -1

סעיף ג

עבור n זוגי :

min (-1, 0) , max ( x = -n/n+2) , min (0, 0)

עבור n אי זוגי:

max (-1, 0) , min ( x = -n/n+2)

סעיף ד

n זוגי : גרף 3

n אי זוגי: גרף 2

סעיף ה

S = T/a

אז נקודות החיתוך הן:

(0,0) , (-1,0)

עבור n זוגי

הביטויים שמרכיבים את הפונקציה בחזקות זוגיות,
לכן הפונקציה אי שלילית תמיד.

יש חיובית בכל התחום מלבד נקודות החיתוך עם ציר ה-x :

x > 0

-1 < x < 0

x < -1

והפונקציה לא שלילית באף נקודה.

עבור n אי זוגי:

הביטוי השמאלי בחזקה אי זוגית ולכן שלילי עבור כל x<0 .

הביטוי הימני חיובי לכל  x ≠ 0  כי הוא בחזקה זוגית.

לכן הפונקציה כולה:
עבור x חיובי היא חיובית גם כן,

עבור x שלילי היא שלילית מלבד נקודות החיתוך עם ציר ה-x.

לכן חיובית:

x > 0

ושלילית:

-1 < x < 0

x < -1

נמצא את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון החשודות.

נקודה ראשונה:

x^n-1 = 0

x = 0

נקודה שנייה:

x + 1 = 0

x = -1

נקודה שלישית:

נשים לב שהמכנה גדול תמיד מהמונה לכן זה שבר.

נקודת קיצון זו ממוקמת בין 0 לבין (1-) .

 

עבור n זוגי:

מצאנו בסעיף ב’ שחיובית בכל התחום מלבד החיתוך עם x.

מצאנו בסעיף א’ את שיעורי ה-y של שתיים מנקודות הקיצון החשודות:

(0,0) , (-1,0)

נשרטט סקיצה גסה של הפונקציה, לפי תחומי החיוביות והשליליות-

למעשה אין צורך בטבלה והצבת ערכים כיוון שתחומי החיוביות והשליליות
“מכריחים” את הפונקציה להיראות כך.

נקודת הקיצון באמצע צריכה להיות חיובית בגלל שהיא בתחום חיוביות,

אך ניתן להציב ולראות זאת:

מהגרף ניתן לראות את סוגן של נקודות הקיצון:

min (-1, 0) , max ( x = -n/n+2) , min (0, 0)

(שאלו רק לגבי ערכי ה- x אז אין צורך להציב את הנקודה

x = -n/n+2 )

עבור n אי זוגי:

יש את אותן נקודות החיתוך.

מצאנו בסעיף ב’-

חיובית:

x > 0

ושלילית:

-1 < x < 0

x < -1

נשרטט סקיצה גסה של הפונקציה, לפי תחומי החיוביות והשליליות-

הפעם נקודת הקיצון באמצע צריכה להיות שלילית בגלל שהיא בתחום שליליות,

אך ניתן להציב ולראות זאת:

מהגרף ניתן לראות את סוגן של נקודות הקיצון:

max (-1, 0) , min ( x = -n/n+2)

הנקודה (0, 0) אינה קיצון כיוון שהנגזרת לא משנה כיוון לפניה ואחריה,
ניתן לראות מהגרף שהיא עולה לפני 0 ועולה גם אחריו.

אבל היא הופיע כנקודה בה הנגזרת מתאפסת, כלומר השיפוע בה 0,
לכן היא נקודת פיתול.

כבר שרטטנו סקיצות לגרפים עבור n זוגי ואי זוגי.

n זוגי : גרף 3
כאשר n זוגי הפונקציה לא שלילית וזה הגרף היחידי שמתאים לכך.

n אי זוגי : גרף 2
נקודת מקסימום ב-(1-) ומינימום בינה לבין 0
עם פיתול בנקודה 0. בגרף 1 אין פיתול ב-0 ולכן אינו מתאים.

נתונה פונקציה :

g (x) = a · f(x – 2) =

=a·(x – 2)ⁿ·(x – 1)²

נקודות החיתוך עם ציר ה-x החדשות:

g (x) = 0 = a·(x – 2)ⁿ·(x – 1)²

x = 2

x = 1

הפונקציה f(x – 2) היא הזזה ימינה בשתי יחידות של f(x).
a חיובי ולא משפיע על הסימן.

עבור n זוגי:

השטח מתואר על ידי האינטגרל:

 

כאשר האינטגרל על f(x) הוא השטח הכלוא בין f(x) לבין ציר ה-x.

נחלק ב-a את שני האגפים ונקבל:

S = T/a

עבור n אי זוגי:

החישוב יהיה זהה.

נשים לב שהשטח כעת כלוא מתחת לציר ה-x לכן יהיה שלילי,
אך כיוון ששלילי גם לפני וגם אחרי ההזזה למעשה זה לא רלוונטי.

השטח הכלוא יהיה עדיין S = T/a .

סעיף א

x = 1.5R

סעיף ב

S_AFE + S_CDF = 0.65 R²

חלק ראשון של הרמז: הבנה מה מבקשים

מבקשים:

“הביעו באמצעות R את הערך של x שבעבורו שטח המלבן ACDE מקסימלי”

מכוון שמבקשים שטח מלבן מקסימלי – עלינו לבנות פונקציה של שטח המלבן.

מכוון שאומרים הביעו באמצעות R המשמעות היא שגם R וגם x יהיו חלק מהפונקציה.

חלק שני של הרמז: בניית הפונקציה

מה שחסר לנו כדי לתאר את שטח המלבן זה רוחב המלבן (CD).

נחשוב על בניית עזר שתאפשר לנו לתאר את CD בעזרת R,x.

נסו להבין מה הקשר בין סכום שטחי שני המשולשים לשטח המלבן שמצאנו את נקודת המקסימום שלו.

נתון:

AB = 2R קוטר במעגל.

AC = x

AC > R

עלינו לבטא את שטח המלבן ACDE.

מה שחסר לנו זו הצלע DC ומותר לנו לבטא אותה באמצעות x, R.

נוסיף בניית עזר של רדיוס המעגל ממרכזו לנקודה D ונשתמש במשפט פיתגורס.

כך ניצור משולש שבעזרתו ניתן לבטא את DC.

DC² = R² – (R – x)² =

= R² – R² +2Rx – x² =

= 2Rx – x²

אז שטח המלבן:

נמצא את ה-x עבורו השטח מקסימלי באמצעות הנגזרת-

3Rx – 2x² = 0

x(3R – 2x) = 0

x = 0

מצב זה אינו אפשרי.

3R = 2x

x = 1.5R

מקרה זה הוא מקרה שבו למרות שנקודת הקיצון מוגדרת באמצעות פרמטר ניתן למצוא את סוג הקיצון בעזרת טבלה:

2R	1.5R	R	0
	0			f ‘ (x)

מכנה הנגזרת חיובי ולכן כדי לקבוע את סימן הנגזרת מספיק להציב במונה הנגזרת

x  = R

3R* R – 2R² = R² > 0

x  = 2R

3R* R – 2(2R)² = -5R² < 0

2R	1.5R	R	0
שלילית	0	חיובית		f ‘ (x)
	מקסימום

דרך פתרון שנייה (שרטוט גרף הנגזרת)

המכנה חיובי בתחום ההגדרה.

המונה הוא פרבולת מקסימום עם נקודות חיתוך ב:

x = 0

x = 1.5R

ב x = 1.5R הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות ולכן זו נקודת מקסימום.

סכום שטחי המשולשים שווה למחצית משטח המלבן.

S_AFE + S_CDF = 0.5S_ACDE

הדבר נובע מכך ששטח משולש AFC שווה למחצית משטח המלבן

לכן הסכום המקסימלי של שטחי המשולשים מתקבל כאשר שטח המלבן מקסימלי.

נחשב את שטח המלבן המקסימלי:

= ( 1.5R) (0.866 R) = 1.3 R²

סכום שטחי המשולשים המקסימלי הוא חצי משטח המלבן:

S_AFE + S_CDF = 0.65 R²

סעיף א

סעיף ב

x = ( π – α ) / 2

סעיף ג

הוכחה

ראשית נשרטט סקיצה של המשולש ונתאר בה את הנתונים:

לצורך מציאת היקף המשולש נשתמש במשפט הסינוסים. תחילה נמצא את הזווית BCA :

סכום זוויות במשולש 180(π):

∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = π

∠BCA = π – x – α = π – ( x + α )

כעת הסקיצה עם הנתונים הידועים לנו תיראה כך:

במהלך ההצבה במשפט הסינוסים, נשתמש בזהות הבאה:

sin ( α ) = sin ( π – α ) –

ולכן:

sin ( π – ( x + α ) )= sin ( x + α )

הצבה במשפט הסינוסים:

הצלע AC:

הצלע AB:

נחשב את שלושת הצלעות יחד.

לצורף פתרון סעיף זה, נגדיר את הביטוי להיקף שמצאנו בסעיף קודם בתור פונקציה לפי x בעלת שני פרמטרים (a ו- α):

נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס:

מכוון ש α היא זווית במשולש השונה מ 0 או 180 אז sin α ≠ 0.
כמו כן נצמצם ב a.

cos ( x + α ) = – cos ( x ) = cos ( π – x )

מהמשוואה הזאת “יוצאות” שתי משוואות:

1. x + α = π – x

2x = π – α

x = ( π – α ) / 2

 

2. x + α = x – π

α = – π

בלתי אפשרי- בפתרון זה גודל הזווית הוא 180 מעלות, דבר שלא אפשרי במשולש.

 

לכן הפתרון הרלוונטי הוא :

x = ( π – α ) / 2

מצאנו נקודה חשודה לקיצון. נגזור ונבדוק את ערך הנגזרת השנייה בנקודה זו כדי לוודא שאכן מדובר בנק’ מקסימום:

(יש כאן עדיפות לנגזרת שנייה כי הנקודה החשודה כקיצון כוללת פרמטר).

נתון כי:

 0 < α < π

ולכן גם:

 0 < ( π + α ) / 2 < π

ולכן המונים והמכנים חיוביים.

ומכוון שיש מינוס לפני השברים שני השברים שליליים.

ולכן הנגזרת השנייה שלילית.

לכן הנקודה שמצאנו היא אכן נקודת מקסימום, וערך x עבורו היקף המשולש הוא מקסימלי הוא

( π – α ) / 2

המשולש שקיבלנו הוא משולש עם צלע וזווית מולה נתונים.

מצאנו כי ערך ה- x עבורו היקף המשולש הוא מקסימלי הוא

( π – α ) / 2

נמצא את גודל הזוות במשולש במקרה זה (נגדיר אותה כ y).

סכום זוויות במשולש הוא π.

α + ( π – α ) / 2 + y = π

y = π – α – π / 2 + α / 2 = ( π – α ) / 2

משולש בו יש שתי זוויות שוות, הוא משולש שווה שוקיים

לכן אם נתון אורך צלע ונתונה הזווית שמולה, המשולש בעל ההיקף הגדול ביותר יהיה שווה שוקיים.