הגדרת המושגים:
א. קעירות כלפי מעלה:
פונקציה נקראת “קעורה כלפי מעלה” בקטע מסוים, אם עבור כל 2 נקודות בקטע ,
הישר שמחבר אותן נמצא מעל הפונקציה.
במקרה זה הנגזרת השנייה חיובית:
f ” (x) > 0
דוגמה:
הפונקציה שלמעלה קעורה כלפי מעלה בקטעים AB ו CD כי הישרים AB ו CD נמצאים מעל הפונקציה.
ב. קעירות כלפי מטה (קמירות):
פונקציה נקראת “קעורה כלפי מטה” בקטע מסוים, אם עבור כל 2 נקודות בקטע ,
הישר שמחבר אותן נמצא מתחת הפונקציה.
במקרה זה הנגזרת השנייה שלילית:
f ” (x) < 0
דוגמה:
הפונקציה שלמעלה קעורה כלפי מטה בקטעים AB ו CD כי הישרים AB ו CD נמצאים מתחת לפונקציה.
שינוי תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה
בערכי x שונים פונקציה יכולה לעבור מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה, ולהפך.
כיצד מוצאים תחומי קעירות
- אם בנקודה מסוימת מתקיים f ” (x) > 0 , אזי בנקודה זו הפונקציה קעורה כלפי מעלה.
- אם בנקודה מסוימת מתקיים f ” (x) < 0 , אזי בנקודה זו הפונקציה קעורה כלפי מטה.
- אם בנקודה כלשהי מתקיים f ” (x) = 0 , אז נקודה זו חשודה כנקודת פיתול.
תרגיל 1
מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה של הפונקציה
f(x) = x3
פתרון
נגזור את הפונקציה פעמיים.
f ‘ (x) = 3x2
f ” (x) = 6x
הפונקציה קעורה כלפי מעלה כאשר הנגזרת השנייה חיובית.
f ” (x) = 6x > 0
x > 0
לכן עבור x > 0 הפונקציה קעורה כלפי מעלה.
הפונקציה קעורה כלפי מטה כאשר
f” (x) = 6x < 0
x < 0
לכן עבור x < 0 הפונקציה קעורה כלפי מטה.
תרגיל 2
מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה של הפונקציה
f (x) = 4x³ – 6x²
פתרון
נגזור את הפונקציה פעמיים.
f ‘ (x) = 12x² – 12x
f ” (x) = 24x – 12
עכשיו עלינו לפתור אי שוויון.
הפונקציה קעורה כלפי מעלה כאשר הנגזרת השנייה חיובית.
f ” (x) = 24x – 12 > 0
x > 0.5
במקרה זה הפונקציה קעורה כלפי מעלה.
f ” (x) = 24x – 12 < 0
x < 0.5
במקרה זה הפונקציה קעורה כלפי מטה.
תרגיל 3
מצורפים שני גרפים.
הגרף באדום הוא הגרף של (f ” (x והגרף בשחור הוא הגרף של (g ”(x.
מהם תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה של הפונקציות (f(x ו (g(x?
מה הם נקודות הפיתול?
פתרון
עבור (f(x
הפונקציה קעורה כאשר
f ” (x) > 0
וזה קורה כאשר גרף הפונקציה מעל ציר ה x ב:
x > -4
הפונקציה קעורה כלפי מטה כאשר
f ” (x) < 0
וזה קורה כאשר גרף הפונקציה מעל ציר ה x ב:
x < – 4
לפונקציה יש נקודת פיתול כאשר היא עוברת מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה ב:
x = -4
עבור (g(x
הפונקציה קעורה כלפי מטה כאשר גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x.
זה קורה בכול x מלבד x = 2.
לפונקציה זו אין תחומי קעירות ואין נקודת פיתול.
בנקודה x = 2 הפונקציה לא קעורה כלפי מטה ולא כלפי מעלה אך זו לא נקודת פיתול.
עוד באתר:
בספר חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של בני גורן הוא מגדיר קעירות וקמירות הפוך מכם.
כלומר על פי הספר עם משיק לנקודה עובר מתחת לפונקציה אז היא קמורה בתחום ואם משיק עובר מעל אז היא קעורה.
שלום
תודה על התגובה.
אבל כאן באתר לא מדוהר על משיק – מדובר על ישר המחבר בין שתי נקודות הנמצאות בתחום.
תודה על ההסבר הבהיר!
רציתי להבין, בg(x) אין ת ח ו מ י קעירות משום שאין מ ע ב ר מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה או להיפך?
כלומר הפונקציה קעורה כלפי מטה אך אין תחומים , וזה בכל הפונקציה חוץ מ x=2
שלום.
לא יודע על איזה תרגיל מדובר.