קדם אנליזה סיכום ראשון

בדף זה נסכם את החומר בקדם אנליזה – ללא הזזות.

תחום הגדרה

1. תחום הגדרה.

במתמטיקה יש פעולות חוקיות ולא חוקיות.

את האפשרות לביצוע פעולות לא חוקיות אנו מוצאים מחוץ לתחום ההגדרה.

תחום הגדרה של פונקציה הוא קבוצת ערכי ה x שניתן להציב בפונקציה ושכל הפעולות שצריך לבצע ישארו חוקיות.

דוגמה לפעולות לא חוקיות הן:

1. חילוק ב 0.
2. שורש למספר שלילי.

1.חילוק ב 0.

למשל בפונקציה:

לא ניתן להציב x = 0 כי הצבה כזו תגרום לפעולה הלא חוקית של חילוק ב 0.

ולכן תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.

הדבר דומה למושג תחום הצבה שלמדנו בעבר בהקשר של משוואות עם משתנה במכנה.

דוגמה 2

x = -4 הוא הצבה בלתי חוקית כי היא תגרום לחלוקה ב 0 (קו שבר הוא בעצם פעולת חילוק).

בכל הצבה אחרת של ערכי x הפעולות של הפונקציה חוקיות.

לכן תחום ההגדרה יהיה:

כל x מלבד x = 4.

בניסוח אחר ניתן לכתוב:

תחום הגדרה x ≠ 4.

2.שורש למספר שלילי

כאשר יש מספר שלילי בתוך השורש זו פעולה לא מוגדרת.

ותזכורת שורש של 0 היא פעולה כן מוגדרת ו-:

√0 = 0

לכן

f (x) = √x

היא פונקציה שתחום ההגדרה הוא x ≥ 0.

יסודות

• יסודות.

בחלק זה נעבור על:

1. נקודות חיתוך עם הצירים.
2. חיוביות ושליליות.
3. תחומי עליה וירידה.

חיתוך עם הצירים

נקודת חיתוך עם ציר ה x

מתקבלות כאשר y = 0.

נקודות חיתוך עם ציר ה y

מתקבלות כאשר x = 0

למשל בגרף שלמטה נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:

(0, 0)  (2,0)

ונקודות החיתוך עם ציר ה y:

(0,0)

תחומי חיוביות ושליליות

מתי פונקציה חיובית?

פונקציה חיובית כאשר ערכי ה y של הפונקציה חיוביים.

ניתן לסמן זאת:

y > 0

או

f(x) > 0

במבט על גרף הפונקציה הפונקציה חיובית כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה x.

הפונקציה שלילית
כאשר ערכי ה y שליליים וכאשר הגרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x.

ערכי ה x של הפונקציה
הם כלל אינם קשורים לחיוביות ושליליות של הפונקציה.

זכרו כי ערכי x אינם משפיעים על חיוביות ושליליות. פונקציה יכולה להיות חיובית עם ערכי x שליליים ולהיפך.

האם כאשר y = 0 זה שייך לחיוביות או לשליליות?

כאשר y = 0 זה לא חיוביות וגם לא שליליות.

דוגמה

הסתכלו בגרף הבא וקבעו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה.

פתרון

תחומי חיוביות

הגרף נמצא מעל ציר ה x בתחומים הבאים:

x > 3
x < 0

תחומי שליליות

הגרף נמצא מתחת לציר ה x בתחום הבא:

0 < x < 3

תחומי עליה וירידה

הסרטון מדבר על זיהוי עלייה וירידה בעזרת גרף ובעזרת נגזרת.

יתכן ואתם צריכים לדעת בשלב זה רק זיהוי בעזרת גרף ואינכם צריכים לדעת זיהוי בעזרת נגזרת.

זיהוי עלייה וירידה בגרף:

במבט על גרף הפונקציה, כאשר נסתכל על הגרף משמאל לימין אם נראה עליה אז הפונקציה עולה.

ואם נראה ירידה אז הפונקציה יורדת.

אם הפונקציה לא עולה ולא יורדת אז היא נקראת קבועה.

דוגמה

נתון גרף של פונקציה.
לפונקציה יש מקסימום ב x =0
מינימום ב x = 2
על פי הגרף זהו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

פתרון
בגרף רואים ש x = 0 זו נקודת מקסימום.
x = 2 זו מינימום.

לכן תחום העלייה הוא
x < 0,   x >2
תחום הירידה הוא

0 < x < 2

מבחינת הגדרה שהיא לא באמצעות גרף אז:

פונקציה עולה
פונקציה עולה אם ערכי ה X וה Y עולים בו זמנית.
כאשר פונקציה עולה הנגזרת של הפונקציה חיובית.
f ‘ (x) > 0

פונקציה יורדת
פונקציה יורדת אם ערכי ה X עולים וערכי ה y יורדים בו זמנית.
כאשר הפונקציה יורדת הנגזרת של הפונקציה שלילית.
f ‘ (x) < 0

פונקציה קבועה
כאשר ערכי ה X משתנים ואילו ערכי ה Y נשארים קבועים.
פונקציות אלו הם קווים ישרים מהצורה y = k.  למשל y = 5.
במקרה זה הנגזרת שווה ל 0.
f ‘ (x) = 0