חוקי חזקות: תרגילי הביעו באמצעות

בעזרת חוקי החזקות הבאים נוכל לשנות את מעריכי החזקה ובסיסי החזקה.

בעזרת החוק של כפל חזקות

ak = am + n = am * an

נוכל לשנות את מעריך החזקה k לכל מעריך חזקה שנרצה.

לדוגמה ניקח את הביטויים הבאים ומהפוך אותם לכאלו הכוללים 78

720

7 -9

7x + 3

7-4 – 3x

פתרון

720 =  78 + 12  = 78 * 712

7 -9 = 78 – 17 =78 * 7-17

7x + 3 =  78 – 5 + x = 78 * 7-5+x

7-4 – 3x  =  78 – 12 -3x = 7* 7-12-3x

דוגמה 2 (משתנה במעריך החזקה)

אם יש לנו את הביטויים 12x + 4 ו  12x  – 6 ונרצה להביע אותם באמצעות 12x – 1 נוכל לעשות זאת

תרגיל 1

הביעו את 12x+ 4 באמצעות 12x – 1

פתרון

12x + 4 = 12x – 1 + 5 = 12x – 1 * 125

תרגיל 2

הביעו את 12x  – 6 באמצעות 12x – 1

12x – 6 = 12x – 1 – 5 = 12x – 1 * 12 5

תרגילים עם החוק am + n = am * an

בעזרת החוק של כפל חזקות נוכל לשנות את מעריך החזקה כפי שנרצה.

am + n = am * an

דוגמה 1 (מספר במעריך החזקה)
הביעו את 75 או 710  באמצעות 78

פתרון
באמצעות הנוסחה:
am + n = am * an

נוכל לשנות את מעריך החזקה כפי שאני רוצים.
נוכל לקבוע את m כ 8 ואז n ישלים למה שצריך.

710 = 78 + 2 = 78 * 72

75 = 78 – 3 = 78 * 7 -3

דוגמה 2 (פתרון משוואה)

מצאו את a במשוואה הבאה:

3x+2 + 3x + 3 = a * 3x

פתרון
על מנת לפתור את המשוואה אנו צריכים להישאר רק עם 3x.
נביע את שאר הביטויים באמצעות 3x.

3x * 32 + 3x * 33 = a * 3x

9 * 3x + 27 * 3x = a * 3x

36 * 3x = a * 3x

36 = a

תרגילים עם חזקה של חזקה

בתרגילים הבאים נפרק את בסיס החזקה או את מעריך החזקה.

הפירוק של מעריך החזקה יעשה באמצעות הנוסחה:

am * n  = (am)n

הפירוק של בסיס החזקה יעשה באמצעות הנוסחה:

am)n = am * n)

דוגמה 1
הביעו את 2120 באמצעות חזקה עם בסיס 8.

פתרון
על מנת שנקבל בסיס 8 אנו צריכים 23.
ולכן הפירוק יהיה כזה:

2120 = 23 * 40 = (23)40 = 840

דוגמה 2
הביעו את 2530 באמצעות חזקה עם בסיס 5.

פתרון
על מנת שנקבל בסיס 5 נשתמש בכך ש 25 = 5².
ולכן הפירוק יהיה כזה:

2530 = (52)30 = 52*30 = 560

בפירוק זה השתמשנו בחוק:

am)n = am * n)

דוגמה 3
הביעו את 215 עם חזקה 5.

פתרון
על מנת לקבל חזקה 5 נשתמש בכך ש:

3 * 5 = 15

215 = 23*5 = (23)5 = 85

בפירוק זה השתמשנו בחוק:

am * n  = (am)n

 

התרגילים האמיתיים

ברוב השאלות שנפגוש לא יבקשו מאיתנו "להביע באמצעות".
אלא יבקשו שנזהה את המספר הגדול יותר.

דוגמה 1 (השוואת מעריכי חזקה)
מי יותר גדול:

1020  או  6510

פתרון
המטרה בתרגילים האלו היא להשוות בין מעריכי החזקה או בסיסי החזקה.

נזהה שניתן לבטא את 20 כ 10 * 2.

1020 = 102 * 10 = (102)10 = 10010

לכן:

6510 < 1020

דוגמה 2 (השוואת בסיסי חזקה)
קבעו איזה ביטוי יותר גדול:
210   או   415

פתרון
ננסה להציג את שני הביטויים בעזרת הבסיס 2.

415 = (22)15 = 22*15 = 230

230 גדול יותר מ 215 לכן ניתן לקבוע:
415 > 210

כיצד נדע את מה צריך לפרק, את הבסיס או מעריך החזקה?

שימו לב שלמה שנכתוב כאן יש יוצא דופן והוא יופיע בראש פרק הבא.

פירוק מעריך החזקה
יתבצע כאשר ניתן להגיע ממעריך אחד למעריך אחר על ידי פעולת כפל.

זה נובע מכך שפירוק מעריך החזקה מבוסס על לקיחת חזקה ופירוקה על ידי כפל:

ak = am * n  = (am)n

בכל המקרים הבאים נפרק את מעריכי החזקה:

1020  או   280

612  או   236

8500  או   20100

הפירוקים הם:

280 = 24 * 20  = (24)20 = 1620

236 = 23 * 12  = (23)12 = 812

8500 = 85 * 100  = (85)100 = 32,768100

פירוק בסיס החזקה
יתבצע כאשר ניתן להגיע מבסיס אחד לבסיס אחר על ידי פעולת חזקה.

זה נובע שלוקחים מספר k ורושמים את אותו כחזקה:

kn =(am)n = am * n

בכל המקרים הבאים נפרק את בסיסי החזקה:

1617  או   430

10020  או   1050

347  או   2720

(הערה: בתרגיל 2 ניתן לפרק גם את המונה).

הפירוקים הם:

1617 = (42)17 = 42*17 = 434

10020 = (102)20 = 102*20 = 1040

2720 = (33)20 = 33*20 = 360

מקרים בהם לא ניתן להשוות את המונה או המכנה

מי יותר גדול:

322  או 810

במקרה הזה לא ניתן להפוך את הבסיסים (3,  8) לאותו בסיס.
ולא ניתן להפוך את מעריכי החזקה (22, 10) לאותו מעריך.

לכן נהפוך אותם לקרובים ונראה אם זה עוזר לנו.

322 = (32*11) = (32)11 = 911

ל 911 יש בסיס ומעריך חזקה גדול יותר מ 810.
לכן 911  הוא מספר גדול יותר.

810 < 911

תרגילים

תרגיל 1:
נתון כי:
10x = a
הביעו באמצעות a את:
10x + 2
10x – 2

פתרון:
בתרגיל זה נשתמש בנוסחה:
am + n = am * an

10x + 2
הפירוק של 10x +2 נראה כך:
10x + 2 = 10x * 102 = 100 * 10X = 100a

10X+2 = 100a

10x – 2
הפירוק של 10x – 2 נראה כך:
10x – 2 = 10x * 10-2 = 10:100 = 0.01a

10X-2 = 0.01a

 

תרגיל 2:
נתון:
6x- 3 = a
הביעו באמצעות a את:

6X-4
6x +2.

פתרון:
בתרגיל זה ניקח את הנוסחה המקורית ונשתמש בה בכיוון ההפוך:
am + n = am * an

6X-4

הפירוק של 6X-4 נראה ככה:

6X-4 = 6X-3 * 6-1 = a* 6-1

6x-4 = a* 6-1

6x + 2
הפירוק של 6x +2 נראה כך:
6x + 2 = 6x – 3  * 65 = 65 * a

6X+2 = 65 *a

תרגיל 3 : 
נתון:
5x+ 2 = a
הביעו באמצעות a את:

5X+4
5x -2.

פתרון:
בתרגיל זה ניקח את הנוסחה המקורית ונשתמש בה בכיוון ההפוך:
am + n = am * an

5X+4

הפירוק של 5X+4 נראה ככה:

5X+4 = 5X+2 * 52 = a* 25

5x+4 = 25a

5x – 2
הפירוק של 5x -2 נראה כך:
5x – 2 = 5x + 2  * 5-4 = 5-4 * a

5x-2 = 5-4 * a

תרגילי פתרון משוואות

תרגיל 4 :
מצאו את a:

2x + 2 + 2x + 3 = a*2x

פתרון:
על מנת לפתור את המשוואה אנו צריכים להישאר רק עם 2x.
נביע את שאר הביטויים באמצעות 2x.

נשתמש בחוק
am + n = am * an

2x + 2 = 2x * 22 = 4*2x

2x + 3 = 2x * 23 = 8*2x

נחזור לתרגיל:

2x + 2 + 2x + 3 = a*2x

4*2+ 8*2x = a * 2x
12*2x = a * 2x

12 = a

תרגיל 5: 
מצאו את a

8x+2  + 8x + 3 = a*8x+1

פתרון:
על מנת לפתור את המשוואה אנו צריכים להישאר רק עם 8x+1.
נביע את שאר הביטויים באמצעות 8x+1.

נשתמש בחוק
am + n = am * an

8x+2 = 8x+1 * 81 = 8*8x+1

8x + 3 = 8x+1 * 82 = 64*8x+1

נחזור לתרגיל:

8x + 2 + 8x + 3 = a*8x+1

8*8x+1 + 64*8x+1 = a * 8x+1
72*8x+1 = a * 8x+1

72 = a

תרגיל 6:
מצאו את a

4x + 2 – 4x -1 = a*4x

פתרון:
על מנת לפתור את המשוואה אנו צריכים להישאר רק עם 4x.
נביע את שאר הביטויים באמצעות 4x.

נשתמש בחוק
am + n = am * an

4x + 2 = 4x * 42 = 16*4x

4x -1 = 4x * 4-1 = 0.25*4x

נחזור לתרגיל:

4x + 2 – 4x -1 = a*4x

16*4– 0.25*4x = a * 4x
15.75*4x = a * 4x
15.75 = a

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.