קנה מידה

לפני שנתחיל חשוב לי להדגיש שנושא קנה המידה הוא בדיוק כמו נושא היחס.

בכל מקום שרשומות המילים “קנה מידה” אתם יכולים למחוק ולרשום “יחס” ומשמעות השאלה תישאר אותו הדבר.
אני ממליץ ללמוד את הדף פרופורציה ויחס לפני, אם תדעו אותו לא צריכה להיות לכם בעיה בדף זה.

כל שיטת פתרון שיש לכם בנושא יחס תוכלו ליישם גם בבעיות קנה מידה.

לדף זה שלושה חלקים:

1. תקציר.
2. קריאה נכונה של קנה מידה.
3. פתרון תרגילים בהם קנה המידה ידוע.

חלקים 2,3 מתחילים בהסבר אר

• דף זה הוא חלק מקורס יחס שבאתר.

1.תקציר בכתב ובוידאו

2.קריאה וכתיבה נכונה של קנה מידה

קנה מידה הוא היחס בין גודל בשרטוט לבין גודל במציאות.
בכתיבת קנה מידה המספר השמאלי תמיד מייצג את השרטוט (או הדגם) והמספר הימני מייצג את המציאות.
את הדבר הזה אתם צריכים לשנן ולדעת בעל פה:

“שמאל שרטוט, ימין מציאות”

כאשר כותבים: קנה מידה 1:10 מתכוונים שבמציאות הגודל גדול פי 10 ביחס לשרטוט.
המספר 1 מייצג את השרטוט והמספר 10 מייצג את המציאות.

כאשר כותבים קנה מידה 10:1 מתכוונים שהגודל בשרטוט גדול פי 10 מהמציאות.
המספר 10 מייצג את השרטוט והמספר 1 מייצג את המציאות.

1:10 מציאות יותר גדולה.
10:1 מציאות יותר קטנה.

1_ב) טיפים לזכירה של הכלל “שמאל שרטוט ימין מציאות”

טיפ 1: צירוף אותיות
המילים “שמאל שרטוט” שתיהן מתחילות ב “ש” וזה סימן טוב ששתיהן הולכות ביחד.

טיפ 2: להיזכר במפה
לחשוב על קנה מידה של מפה.
אנו יודעים כי לרוב הוא נראה כך:
1:10,000
במפה השרטוט קטן מהמציאות ולכן המספר הקטן, 1 שנמצא שמאל מייצג את השרטוט.

טיפ 3: דעות פוליטיות
אתם חושבים שהימין הפוליטי מייצג את המציאות? תזכרו “ימין מציאות”.
אתם חושבים שהשמאל מייצג מציאות? תזכרו המשפט הפוך מהדעות שלכם.

1_ג)מעבר בין יחידות לצורך פתרון

כאשר אתם כותבים קנה מידה אתם צריכים שכל המספרים שלכם יהיו באותן יחידות מידה.
למשל
אורך חדר בשרטוט הוא 3 סנטימטר ובמציאות הוא 7 מטרים.
מה קנה המידה שבו שורטט החדר?

פתרון
3 סנטימטרים ו 7 מטרים לא יכולים להירשם כך בקנה מידה.
אלה צריך להעביר אותם לאותן יחידות מדידה.
נוח להעביר את המטרים לסנטימטרים.

700 סנטימטר = 7 מטרים.

עכשיו אנו יודעים:
שרטוט 3 סנטימטר, מציאות 700 סנטימטר.
נשתמש בכלל “שמאל שרטוט” ונרשום את ה 3 בצד שמאל:
תשובה: 3:700

יחידות המידה השימושיות הן:
1 סנטימטר = 10 מילימטר (מ”מ).
1 מטר = 100 סנטימטר.
1 קילומטר = 1,000 מטרים.

1_ד) תרגילים בכתיבת קנה מידה

תרגיל 1
אדם משרטט דבורה.
רשמו את קנה המידה המתאים למקרים הללו:
הציור המשורטט גדול פי:

1. פי 4.
2.  פי 7.

פתרון
בשאלה זו השרטוט גדול יותר.
נשתמש בכלל “שמאל שרטוט” ונרשום את המספר הגדול משמאל:
הגדלה בשרטוט פי 4:
4:1
הגדלה בשרטוט פי 7:
7:1
כך השרטוט שמייצג את המספר הגדול יותר נמצא משמאל.

תרגיל 2
אדם משרטט דבורה.
רשמו את קנה המידה המתאים למקרים הללו:
הציור המשורטט קטן פי:

1. פי 3.
2.  פי 5.

פתרון
בשאלה זו השרטוט קטן יותר.
לכן על פי הכלל “שמאל שרטוט” המספר הקטן יהיה מצד שמאל והגדול מימין.
הקטנה פי 3
1:3
הקטנה פי 5
1:5

תרגיל 3
גובה בניין הוא 200 מטר. בנו דגם שלו בגובה 40 סנטימטר. מה קנה המידה?

פתרון
שלב א: מעבר לאותן יחידות
על מנת לרשום קנה מידה אנו צריכים ששני הנתונים ימדדו באותן יחידות.
ניתן להעביר את המטרים לסנטימטרים על ידי הוספת שני אפסים (שהם הכפלה פי 100).
200 מטר הם 20,000 סנטימטר.

שלב ב: רישום קנה מידה
אנו יודעים כי:
שרטוט 40, מציאות 20,000.
על פי הכלל “שמאל שרטוט” קנה המידה הוא:
40:20,000

מצמצמים ומחלקים את שני הצדדים ב 40 ומקבלים:
1:500
תשובה: קנה המידה הוא 1:500.

תרגיל 4
כל 4 סנטימטרים במפה הם 600 מטרים במציאות.
מה הקנה מידה של המפה?

פתרון
על מנת שנוכל לחשב קנה מידה שני המספרים צריכים להיות באותן יחידות.
נעביר את 600 מטרים לסנטימטר על ידי הוספת שני אפסים (שהם הכפלה פי 100).
60,000 = 100 * 600

אנו יודעים כי:
שרטוט 4, מציאות 60,000.
נשתמש בכלל “שמאל שרטוט”.
4:60,000

נצמצם ונחלק את שני המספרים ב 4 ונקבל:
1:15,000

3.בעיות בהם קנה המידה נתון

3_א) שתי דרכי פתרון לשאלות קנה מידה

נלמד שתי שיטות לפתרון שאלות קנה מידה.
דרך אחת היא בדרך של היגיון וללא צורך בבחירת משתנה.
דרך שנייה היא בדרך זהה לזו שפתרנו שאלות פרופורציה.

דרך ראשונה: בעזרת שתי שאלות מנחות

את מרבית שאלות קנה המידה תוכלו לפתור בעזרת מענה לשתי שאלות:

1. על פי הקנה מידה שקיבלתם. מה יותר גדול המציאות או השרטוט?
2. המספר שקיבלתם מה הוא מייצג, מציאות או שרטוט?

בעזרת מענה לשתי השאלות הללו תוכלו לבצע את החישוב.

דוגמה 1
במפה קנה המידה הוא 1:100.
אם המרחק בין שתי נקודות על המפה הוא 2 סנטימטר. מה המרחק בין הנקודות הללו במציאות?

פתרון
נענה על שתי השאלות:

1.על פי קנה המידה. מה יותר גדול המציאות או השרטוט?
אנו משתמשים בכלל “שמאל שרטוט”.
המספר השמאלי מייצג את השרטוט והוא קטן יותר. לכן השרטוט קטן והמציאות גדולה.

2.המספר שקיבלנו מה הוא מייצג, מציאות או שרטוט?
כתוב בשאלה “המרחק בין שתי נקודות על המפה הוא 2 סנטימטר”.
כלומר המספר 2 מייצג את המפה. שהוא הגודל הקטן.

קנה המידה אומר לנו שהמרחק במציאות גדול פי 100 מהמרחק במפה.
לכן אם המרחק במפה הוא 2. אז המרחק במציאות יהיה:
200 = 2 * 100
תשובה: המרחק במציאות בין שתי הנקודות הוא 200 סנטימטר.

3ב) דרך שנייה: בניית משוואת פרופורציה

בשיטה זו אנו נבנה משוואת יחס, כמו זו שלמדנו בדף פרופורציה ויחס.

דוגמה
במפה קנה המידה הוא 1:100.
אם המרחק בין שתי נקודות במציאות הוא 60 מטרים. מה המרחק בין הנקודות הללו על המפה?

פתרון
נגדיר:
x המרחק בין שתי הנקודות על המפה במטרים.

שלב א: רישום היחס הנתון לנו בשאלה כשבר
נציג את קנה המידה 1:100 כשבר.

שלב ב: בניית משוואה
נבנה יחס שווה וניצור משוואה.
נוסיף את 60 המטרים, שהוא גודל “במציאות”
ואת x שהוא מרחק “במפה” ונקבל:

נפתור את המשוואה בעזרת הכפלה במכנה המשותף שהוא 60*100

100x = 60  / :100
x = 0.6

תשובה: המרחק בין שתי הנקודות הללו במפה הוא 0.6 מטרים.

3_ג)תרגילים

בחלק זה 4 תרגילים.
תרגילים 1-3 נפתרים בשתי השיטות שלמדנו.

עוד באתר:

• מבחן בנושא קנה מידה.
• מתמטיקה כיתה ח – תרגילים והסבר לחומר הלימוד בשנה זו.
• יחס כיתה ח –  הסברים ותרגילים.