הרחבה וצמצום של יחס

דף זה הוא הדף השלישי בקורס היחס הנמצא באתר. לדף זה 4 חלקים:

1. כיצד להרחיב ולצמצם יחס.
2. כיצד לזהות יחסים שווים.
3. תרגילים.
4. מבדק.

תקציר

מה הם יחסים שווים? כאשר מכפילים או מחלקים את שני רכיבי היחס באותו מספר אנו שומרים על יחס שווה. כל היחסים הרשומים מטה הם יחסים שווים. 1:2 3:6 (כפול 3). 5:10 (כפול 5). 50:100  (כפול 50). כיצד נרחיב או נצמצם יחס? נכפיל או נחלק את שני המרכיבים של היחס באותו מספר. 3:7 6:14 (הרחבה פי 2). אם נתון לנו רק אחד ממרכיבי היחס השני נוכל למצוא את המרכיב החסר. 4:5 x:15 מכוון ש 15 גדול פי 3 מ 5 גם x גדול פי 3 מ 4. לכן x = 12 ושני היחסים הם: 4:5 12:15 היחס השני הוא הרחבה פי 3 של היחס הראשון. הדרכים לזהות יחסים שווים הן: 1.לנסות להרחיב / לצמצם את אחד היחסים ולהגיע אל היחס האחר. למשל היחסים 10:16 5:8 הם יחסים שווים כי ניתן לחלק את היחס הראשון ב 2 ולהגיע ליחס השני. 2.במקרים מסוימים נצטרך לצמצם את היחסים על מנת לזהות שהיחסים יהיו שווים. למשל: 6:8 9:12 במקרה זה לא ניתן למצוא מספר שלם שמכפילים את 6 ומגיעים ל 8. מה שניתן לעשות הוא לצמצם את היחס 6:8 פי 2 ולקבל: 3:4 ועכשיו נבדוק האם היחסים הללו שווים: 3:4 9:12 ניתן להכפיל את 3 פי 3 ולהגיע ל 9 לכן היחסים שווים. 6:8 9:12 *3.(שיטה זו נדרשת רק במקרים מעטים יחסית) להסתכל על הקשר שבין שני המספרים המרכיבים את היחס ולראות אם הוא זהה. למשל: 5:17 2:5 ביחס 5:17 המספר מימין הוא יותר מפי 3 מהמספר משמאל. ביחס 2:5 המספר מימין הוא פחות מפי 3 מהמספר משמאל. ומכוון שהקשר בין המספרים אינו זהה היחסים אינם שווים. כיצד מזהים יחסים לא שווים? 4:9 5:9 אלו יחסים שבוודאות לא שווים. כי אחד המספרים בשני היחסים שווה ואילו השני לא. האם היחסים הללו שווים? 6:10 3:4 פתרון נכפיל את היחס השני פי 2 על מנת ששני היחסים יכללו 6. נקבל: 6:8 6:10 6:8 הם יחסים לא שווים.

1.הרחבה וצמצום של יחס

כיצד מרחבים / מצמצמים יחס? אם מכפילים או מחלקים את שני החלקים של היחס באותו מספר אז הרחבת היחס תקינה ואנו מקבלים יחסים שווים. דוגמה 1 אם נתון לנו היחס 3:4 אז כל היחסים הבאים שווים לו: 6:8  (כפול 2). 9:12  (כפול 3). 12:16  (כפול 4). 30:40  (כפול 10). 300:400  (כפול 100). וכמבן שיש עוד אינסוף יחסים שווים. דוגמה 2 אם נתון לנו היחס 40:20 אז כל היחסים הבאים שווים לו. 20:10  (לחלק ל 2) 10:5  (לחלק ל 4) 4:2  (לחלק ל 10) 2:1  (לחלק ל 20). וכמובן שיש עוד אינן סוף יחסים שווים. דוגמה 3 כתבו את היחס 3:4 בשתי דרכים נוספות. פתרון 6:8 (הכפלה פי 2). 30:40 (הכפלה פי 10).

2.זיהוי יחסים שווים

יש 2 טכניקות לזיהוי יחסים שווים. 1.אם יחס אחד הוא הרחבה / צמצום של יחס אחר. כפי שלמדנו קודם, אם יחס אחד הוא הכפלה או צמצום של יחס אחר אז היחסים שווים. למשל: 5:10 25:50 הם יחסים שווים כי היחס השני הוא הכפלה של היחס הראשון. 2.על ידי התבוננות בקשר שבין שני המספרים המרכיבים את היחס. 8:24 6:18 אין מספר שלם שבו אנו יכולים להכפיל את 6 ולהגיע ל 8. או להכפיל את 18 ולהגיע ל 24. אבל אנו יכולים להסתכל ולראות שב: 8:24 המספר הימני גדול פי 3. וגם ב: 6:18 המספר הימני גדול פי 3. לכן אלו יחסים שווים. שאלה לדוגמה במגרש חנייה 40 מכוניות אדומות ו 60 לבנות. אלו מבין היחסים הבאים מתאר את היחס שבין המכוניות האדומות למכוניות הלבנות? (יתכן שיותר מתשובה אחת נכונה).

1. 10 : 4
2. 3 : 2
3. 6 : 4
4. 4 : 6

פתרון היחס בין המכוניות האדומות למכוניות האדומות הוא 40:60. נעבור תשובה תשובה ונראה אם הן שומרות על אותו יחס. 4:10  לעומת 40:60 המספר השמאלי הוא תוצאה של חילוק ב 10. לעומת זאת אם נחלק ב 10 את המספר מימין נקבל 6 (ולא 10). לכן אלו לא יחסים שווים. 2:3  לעומת 40:60 המספר השמאלי הוא תוצאה של חילוק ב 20. וגם המספר הימני הוא תוצאה של חילוק ב 20. לכן אלו יחסים שווים. 4:6  לעומת 40:60 ניתן להכפיל פי 10 את היחס מימין ולהגיע ליחס השמאלי. לכן אלו יחסים שווים. 6:4  לעומת 40:60 אין מספר שניתן להכפיל בו את היחס מימין ולהגיע ליחס משמאל. לכן אלו יחסים לא שווים. תשובה: 2:3 4:6 40:60 אלו היחסים השווים. דוגמה 2 (בוידאו)

3.תרגילים

תרגילים 1-2 הם התרגילים הבסיסיים וכולם צריכים לדעת אותם. תרגילים 3-5 מיועדים לתלמידים הרוצים להבין לעומק את הדברים. תרגיל 1 אלו המרכיבים של עוגת שוקולד. 1 כוס סוכר. 1.5 כוסות קמח. 2 כפיות אבקת אפיה. 3 כוסות קקאו. מיכאל אפה עוגה בתבנית גדולה יותר מהרשומה במתכון ולכן השתמש ב 7 כפיות אבקת אפיה ושמר על היחס בין המרכיבים כפי שמופיע במתכון. השלימו את הכמויות בהן מיכאל השתמש. תרגיל 2 מצאו  את היחס השווה ל 3:7.

• 6:10
• 3:5
• 8:9
• 15:35

תרגיל 3 בחממה היחס בין פרחים צהובים לאדומים הוא 1:4.

1. אם מכפילים את מספר הפרחים האדומים פי 6 ואת מספר הפרחים הצהובים פי 6 האם היחס בניהם ישתנה?
2. מספר הפרחים הצהובים הוא 4. אם נוסיף 2 פרחים אדומים ו 2 פרחים צהובים האם היחס בין הפרחים הצהובים לאדומים ישמר?

תרגיל 4 היחס בין 1/2 ל 10 הוא כמו היחס בין 1/4 ל ….. תרגיל 5 רותי אכלה 1/8 פיצה. אילנה אכלה 3/8 פיצה. מה היחס בין כמות הפיצה שאילנה אכלה לזו שרותי אכלה?

4.מבדק בנושא הרחבה וצמצום יחס

לאחר סיום השאלון לחצו על הכתור “צפו בשאלות” ותוכלו לראות הסברים לתשובות הנכונות. עוד באתר:

• יחס כיתה ח – ההמשך של דף זה.
• מתמטיקה לכיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.