שימוש במסקנות הנובעות מחפיפת משולשים

פתרון סעיף א:

פתרון סעיף ב:

פתרון סעיף א בטבלה של טענה נימוק

פתרון סעיף א ללא טבלה

נסתכל בנתון שיש לנו ונראה כי שתי הזוויות הצמודות לזוויות המבוקשות שוות.

∠DEF = ∠ABC

כי אלו זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

נגדיר את שתי הזוויות השוות כ- x.

 ∠DEF = ∠ABC = x

ועכשיו נגדיר את כל אחת מהזוויות המבוקשות, נעשה זאת בעזרת התכונה שסכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.

∠ABK = 180 – x =

∠DEC = 180 – x

מצאנו כי שתי הזוויות שוות ל:

180 – x

ולכן הן שוות זו לזו.

הדרך הזו יכולה להיות קשה להבנה בגלל שהיא כוללת שורה ארוכה.

ניתן להוכיח גם ללא הגדרת משתנה x בעזרת השורה הבאה:

∠ABK =180 – ∠ABC = 180 – ∠DEF = ∠DEC

שורה זו מאפשרת לנו לחסוך 4 שורות שהופיעו בדוגמה הקודמת.

פתרון סעיף ב עם טבלה של טענה נימוק

פתרון סעיף ב ללא טבלה

עלינו להוכיח כי:

BE = FC

נשים לב שחלק מהקטעים הללו הוא משותף (CE).

והחלק שאינו משותף שווה בגלל צלעות מתאימות בין משולשים חופפים:

BC = FE

לכן ניתן להוכיח כך:

BC = FE = x

ואז נגדיר כל אחת מהצלעות המבוקשות.

BE = x + CE

FC = x + CE

ולכן:

BE = FC.

ניתן להוכיח את המבוקש ללא הגדרת משתנים כך:

דרך זו יכולה להיות קשה כי היא כוללת שורה ארוכה.

BE = BC + CE = FE + CE = FC

דרך נפוצה להוכיח שמשולש היא לפי המשפט “אם במשולש שתי זוויות שוות אז המשולש שווה שוקיים”.

דרך החשיבה  תהיה:

1. מה אנו צריכים להוכיח על מנת שהמשולש יהיה שווה שוקיים?
2. תשובה: להוכיח שהזוויות המסומנות באדום שוות.
3. אם כך נראה מה הנתונים (חפיפת המשולשים) אומרת על הזוויות הללו.

דרך חשיבה נוספת שיכולה להיות היא “אם נוכיח שהצלעות OF = OC שוות אז הוכחנו את את המבוקש” אבל דרך זו לא תוביל אותנו לשום מקום.

בכל תרגיל יש מספר דרכי חשיבה שצריכות לעלות לנו – אנו נבדוק אותם ונראה מה מוביל לתשובה.

פתרון התרגיל בעזרת טבלה של טענה נימוק

פתרון התרגיל ללא טבלה

נבדוק אם הנתון (חפיפת המשולשים) אומר לנו משהוא על המשולש המבוקש.

נמצא כי על פי זוויות מתאימות בין משולשים חופפים ניתן לכתוב:

∠ACB = ∠DFB

אלו שתי זווית שוות במשולש OFC ולכן משולש זה הוא שווה שוקיים.

אם במשולש יש שתי זוויות שוות אז המשולש הוא שווה שוקיים.

הזוויות שהן שוות כתוצאה מחפיפת המשולשים מסומנות באדום למטה:

נזהה מה הנתונים (חפיפת המשולשים) נותנים לנו:

וגם כתוצאה מהחפיפה יש זוג זוויות מתאימות בין משולשים חופפים שוות.

∠ABC = ∠ADE

ובנוסף יש זוויות מתאימות נוספות:

∠DEA = ∠BCA

שבעזרתה ניתן למצוא זוג זוויות נוסף ששווה בין המשולשים.

יכולנו גם להשתמש בזוויות קודקודיות שוות, אבל במקרה זה הדבר לא מוסיף.

∠EOB = ∠COD

הבעיה היא להוכיח שיש גם צלע שווה בין המשולשים.

רמז, הצלעות השוות הן:

BE = DC

ודרך ההוכחה שהצלעות הללו שוות היא על ידי חיסור צלעות.

נוכיח כך, נגדיר את כל אחת מהצלעות הללו בעזרת חיסור צלעות:

BE = BA – AE

DC = DA – CA

כל 4 הצלעות שהשתמשנו בהן להגדרה אלו הן צלעות ששייכות לחפיפת המשולשים:

ABC ≅ ADE

פתרון עם טבלה של טענה נימוק

הוכחת זווית ראשונה שווה – שורה 2.

הוכחת זווית שנייה שווה – שורות 3-5.

הוכחת צלע שווה – שורות 6-9.

פתרון ללא טבלה של טענה נימוק

הוכחה שבין המשולשים יש שתי זוויות שוות

כתוצאה מהחפיפה יש זוג זוויות מתאימות בין משולשים חופפים שוות.

∠ABC = ∠ADE

כמו כן הזוויות הבאות הן מתאימות שוות.

נגדיר את גודלן כ x.

∠DEA = ∠BCA = x

לכן גודל הזוויות שבתוך המשולשים הוא:

∠OEB = 180 – x

∠OCD = 180 – x

נובע מכך ש:

∠OEB = ∠OCD

הוכחה שבין המשולשים יש צלע שווה

ננסה להוכיח כי

BE = DC

על ידי הגדרת הצלעות:

BE = BA – AE

DC = DA – CA

ובדיקה מה חפיפת המשולשים אומרת על הצלעות הללו:

DA = BA

CA = AE

לכן נוכל לכתוב:

BE = BA – AE = DA – CA = DC

ולכן המשולשים חופפים על פי ז.צ.ז.

EOB ≅ COD