לומדים מתמטיקה

מלוח הכפל  ועד הבגרות

חזקות כיתה ז

30 תגובות / מתמטיקה כיתה ז

בדף זה נלמד לבצע פעולות חשבון בסיסיות עם חזקות.

החלקים של דף זה הם:

  1. סרטון מסכם.
  2. הגדרת החזקה.
  3. מספרים בחזקת 0 או בחזקת 1.
  4. מעבר מכתיבה רגילה לכתיב חזקות.
  5. כמה ביטוי הכולל חזקה שווה.
  6. מינוס בתוך הסוגריים ומחוץ לסוגריים.
  7. כאשר יש חזקה זוגית על מספר שלילי התוצאה חיובית. כאשר החזקה אי זוגית התוצאה שלילית.
  8. סדר פעולות חשבון וחזקות.
  9. תכונה של חזקות: הן גדלות וקטנות מהר.
  10. בעיות מילוליות עם חזקות.
  11. שאלון טריוויה מסכם.

1.סרטון מסכם

2. הגדרת החזקה

חזקה היא כתיב מקוצר של פעולת הכפל:
3 * 3 = 3²
6 * 6 * 6 = 6³
2*2*2*2 = 24

חזקה מורכבת ממעריך חזקה ובסיס חזקה.
35
3 הוא בסיס החזקה.
5 הוא מעריך החזקה.

מעריך החזקה הוא זה שקובע כמה פעמים המספר יופיע בפעולת הכפל:
3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 35

3.מספרים בחזקת 1 או חזקת 0

כל מספר בחזקת 1 שווה למספר עצמו:
5 = 51,     12 = 121,       8 = 81.

הסיבה לכך היא שאמרנו שמעריך החזקה הוא מה שקובע כמה פעמים המספר יופיע, ואם כתוב שהוא מופיע פעם אחת אז הוא מופיע פעם אחת.
4 = 41

כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1.
1 = 40,     1 =  90,      ,1 = 70.

לדבר זה אין סיבה הגיונית אלא זו הגדרה מתמטית.

 

4. כתבו את הביטויים הבאים בכתיב חזקות

תרגיל 1

6 * 6 =

פתרון התרגיל

הכפולה של 6 מופיעה פעמיים, לכן הכתיבה בצורה של חזקה תהיה:

6 * 6 = 62

תרגיל 2

3 * 3 * 3 * 3 * 3 =

פתרון התרגיל

הכפולה של 3 מופיעה 5 פעמים, לכן הכתיבה בצורה של חזקה תהיה:

3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 35

תרגיל 3

20 * 20 * 20 * 20 =

פתרון התרגיל

הכפולה של 20 מופיעה 4 פעמים, לכן הכתיבה בצורה של חזקה תהיה:

20 * 20 * 20 * 20 = 204

תרגיל 4

x * x * x =

פתרון התרגיל

הכפולה של x מופיעה 3 פעמים, לכן הכתיבה בצורה של חזקה תהיה:

x * x * x = x3

תרגיל 5

4² * 4³ =

פתרון התרגיל

נכתוב את התרגיל ללא חזקות:

42 = 4 * 4

43 = 4 * 4 * 4

לכן התרגיל כולו הוא:

4² * 4³ = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

הכפולה של 4 מופיעה 5 פעמים, לכן הכתיבה בצורה של חזקה תהיה:

4² * 4³ = 45

5.מצאו כמה הביטוי שווה

בתרגילים הבאים:

  1. כתבו את התרגיל ללא חזקה.
  2. חשבו את ערך הביטוי.

תרגיל 1

42 =

פתרון התרגיל

42 = 4 * 4 = 16

תרגיל 2

23 =

פתרון התרגיל

23 = 2 * 2 * 2 =

4 * 2 = 8

תרגיל 3

31 =

פתרון התרגיל

31 = 3

תרגיל 4

0.52 =

פתרון התרגיל

0.52 = 0.5 * 0.5 = 0.25

תרגיל 5

0.13 =

פתרון התרגיל

0.13 = 0.1 * 0.1 * 0.1 =

0.01 * 0.1 = 0.001

תרגיל 6

0.31 =

פתרון התרגיל

0.31 = 0.3

6.תרגילים בהם יש מכפלה של 2 ביטויים עם חזקות ואותו בסיס

הכוונה היא לתרגילים כאלו

44 * 42 =

במקרה של תרגיל כזה נכתוב כל אחד מהביטויים ללא חזקה:

44 = 4 * 4 * 4 * 4

42 = 4 * 4

ועכשיו נוכל לכתוב את התרגיל בשורה אחת:

44 * 42 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4

אנו רואים שהכפולה 4 מופיעה 6 פעמים ולכן הפתרון הוא:

44 * 42 = 46

שימו לב שהחזקה שקיבלנו בתוצאה (6) היא סכום החזקות בתרגיל המקורי (2 + 4).

וכך זה בכל תרגילי החזקות.

למשל:

510 = 54 * 56

x4 * x3 = x7

רואים שהחזקה של התוצאה היא סכום החזקות.

שימו לב

הדבר נכון רק לכפל חזקות.

כאשר יש לנו תרגיל של חיבור חזקות כמו:

22 + 23 =

במקרה זה פועלים על פי סדר פעולות חשבון (שנלמד בהמשך) והתוצאה היא לא סכום מעריכי החזקה.

22 + 23 = 4 + 8 = 12

דוגמאות נוספות לכפל חזקות:

73 * 72 = 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 75

תרגילים

כתבו בעזרת חזקה את התרגילים הבאים:

תרגיל 1

52 * 54 =

פתרון התרגיל

זה תרגיל כפל לכן אנחנו יכולים לחבר את מעריכי החזקות ולהגיע לתשובה:

52 * 54 = 56

דרך נוספת היא לכתוב את החזקות בצורה של כפל:

52 = 5 * 5

54 = 5 * 5 * 5 * 5

ואז לכתוב את כל התרגיל בצורה של חזקה:

52 * 54 = ( 5 * 5) * (5 * 5 * 5 * 5) = 56

(הערה: הסוגריים שבפתרון לא הכרחיות ונועדו על מנת שתוכלו להפריד בין הפירוק של המספרים השונים).

תרגיל 2

73 * 75 =

פתרון התרגיל

זה תרגיל כפל לכן אנחנו יכולים לחבר את מעריכי החזקות ולהגיע לתשובה:

73 * 75 =  78

דרך נוספת היא לכתוב את החזקות בצורה של כפל:

73 = 7 * 7 * 7

75 = 7 * 7 * 7 * 7 * 7

ואז לכתוב את כל התרגיל בצורה של חזקה:

73 * 75 = (7 * 7 * 7) * (7 * 7 * 7 * 7 * 7) = 78

(הערה: הסוגריים שבפתרון לא הכרחיות ונועדו על מנת שתוכלו להפריד בין הפירוק של המספרים השונים).

תרגיל 3

82 * 83 * 8=

פתרון התרגיל

נזכור כי:

8 = 81

זה תרגיל כפל לכן אנחנו יכולים לחבר את מעריכי החזקות ולהגיע לתשובה:

82 * 83 * 8 = 86

דרך נוספת היא לכתוב את החזקות בצורה של כפל:

82 = 8 * 8

83 = 8 * 8 * 8

8 = 8

ואז לכתוב את כל התרגיל בצורה של חזקה:

52 * 54 = ( 8 * 8) * (8 * 8 * 8) * 8 = 86

(הערה: הסוגריים שבפתרון לא הכרחיות ונועדו על מנת שתוכלו להפריד בין הפירוק של המספרים השונים).

תרגיל 4

10 * 106 * 102 =

פתרון התרגיל

נזכור כי:

10 = 101

זה תרגיל כפל לכן אנחנו יכולים לחבר את מעריכי החזקות ולהגיע לתשובה:

10 * 106 * 102  = 109

דרך נוספת היא לכתוב את החזקות בצורה של כפל:

106 = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10

102 = 10 * 10

ואז לכתוב את כל התרגיל בצורה של חזקה:

10 * 106 * 102  = 10 * ( 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10) * (10 * 10) = 109

(הערה: הסוגריים שבפתרון לא הכרחיות ונועדו על מנת שתוכלו להפריד בין הפירוק של המספרים השונים).

6.סימן תוצאה התרגיל בחזקה זוגית, אי זוגית, וכאשר אין סוגריים

7.כאשר המינוס בתוך הסוגריים

8. סדר פעולות חשבון וחזקות

9.קצב השינוי בחזקה הוא מהיר

10.בעיות מילוליות עם חזקות

11.שאלון טריוויה מסכם

 

30 מחשבות על “חזקות כיתה ז”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      קצת קשה עם כתיב החזקות כאן באתר.
      אם את מנויה צרי קשר בוואטסאפ

      תגובה
  4. maya5

    לא הבנתי איך פותרים את הבעיה המילולית – מה מסמל בסיס החזקה 2? את מספר העצים שהכניס הנגר? את מספר החלקים שכל עץ נחתך כל שעה?

    איך הייתי יכולה לחשב אם הנתונים היו, למשל, שהמכונה חותכת כל עץ ל 5 חתיכות בשעה, והנגר הכניס 4 עצים למכונה?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מתנצל על התגובה המאוחרת.
      השאלות הללו נפתרות על ידי ניסוי וטעייה, כלומר רושמים את המספרים ומנסים לחשוב על ביטוי שמייצג אותם.
      במקרה זה 2 מייצג את הכמות עבור n = 1.
      השאלה שהצגת מורכבת יותר ולא מתאימה לכיתה ז, וגם היא נפתרת על ידי ניסוי ותהיה.
      המבנה שמתאים לה הוא 4 כפול 5 בחזקת n – 1 (זה מתאים לכל המקרים חוץ מ n = 0).
      אם זאת יש שני כללים שלפיהם בונים את הביטוי:
      1.מכוון שבדוגמה שלך כל פעם הגדילה היא פי 5 – אז החזקה נמצאת מעל ה 5. כדי שכאשר החזקה תגדל ב 1 אז הביטוי כולו יגדל פי 5.
      2.את האיבר הראשון מוצאים על ידי מחשבה – ובהתאם למספר שצריך להתקבל.

      תגובה
  9. לודה

    תודה על התשובה אך התרגיל הינו כפי שרשמתי למעלה: בתוך הסוגרים מינוס 2 בחזקת 2.
    האם גם במקרה הזה אני קודם כל משייכת את החזקה למספר שמעליו נמצאת ורק אח”כ מצמידה את המינוס?
    (2^2-) יהיה שווה למינוס 4?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      בצורה שאת כתבת אני לא מבין מה מוסיפים הסוגריים במקרה זה.
      עד כמה שאני מבין את מה שכתוב כאן התשובה היא 4-.

      תגובה
  10. לודה

    שלום.
    תודה רבה על הסרטונים וההסברים הכתובים. עוזר לי מאוד להיזכר בחומר שכבר שכחתי מזמן ולהסביר לאחר מכן לילדה.
    אשמח לעזרה לגבי חזקות בתוך הסוגרים (לא מוצאת בשום מקום הסבר), האם החזקה מתייחסת למספר בלבד או גם לסימן מינוס שלידו. (2^2-)
    תודה מראש.

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום לודה
      אם התרגיל כולו נראה כך לדוגמה:
      = 2^2 – 10
      אז החזקה היא רק על המספר וללא המינוס.
      יש הסבר למירב המצבים האפשריים כאן בדף.

      תגובה
  11. אנונימי

    ממש תודה יש לי מחר מבחן וממש עזרתם לי למדתי את זה מפה ב10 דקות בזמן שהמורה מלמדת את זה 5 חודשיים

    תגובה
  12. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    כתבת שלחזקת 0 אין סיבה הגיונית…
    נציב את X כבסיס החזקה ואת Y כמעריך החזקה. אם עושים X בחזקת Y (מחלקים את X בחזקת Y, כמובן, ולא את Y חלקי X) חלקי X, יוצא X בחזקת Y פחות 1 (רק הY פחות אחד). אם מציבים את 1 במקום Y אז יוצא X.X חלקי X זה אחד, וכביכול זה גם X בחזקת 0…

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מה שכתבת זו הוכחה מתמטית ואני מסכים שיש כזו.
      מה שאני התכוונתי שלהסביר במילים מה זה בכלל x בחזקת 0 הוא משהו בעייתי.
      למשל אני יודע להגיד ש x בריבוע זה x * x.
      ומה זה x בחזקת 0?

      תגובה
  13. אגם

    היי, מה עושים כשיש לי סוגריים, עם נעלם, וכל היופי הזה בחזקה. התשובה צריכה לצאת 6% ואין לי מושג למה. לפי הפתרון בספר זה 6% וזו המשוואה. אפרק אותה לחתיכות שיהיה אפשר להבין איך היא מסודרת:
    54,315
    *
    (1+i)בחזקת 4
    *
    4.2/3.6
    =
    80,000

    מה אני עושה עם הסוגריים והנעלם הזה שיש לו חזקה?? תודה על המענה :)

    תגובה