חזקות כיתה ז

בדף זה:

  1. הגדרת החזקה.
  2. מעבר מכתיבה רגילה לכתיב חזקות.
  3. כמה ביטוי הכולל חזקה שווה.
  4. מינוס בתוך הסוגריים ומחוץ לסוגריים.
  5. כאשר יש חזקה זוגית על מספר שלילי התוצאה חיובית. כאשר החזקה אי זוגית התוצאה שלילית.
  6. סדר פעולות חשבון וחזקות.
  7. תכונה של חזקות: הן גדלות וקטנות מהר.
  8. בעיות מילוליות עם חזקות.

1. הגדרת החזקה

חזקה היא כתיב מקוצר של פעולת הכפל:
3 * 3 = 3²
6 * 6 * 6 = 6³
2*2*2*2 = 24

חזקה מורכבת ממעריך חזקה ובסיס חזקה.
35
3 הוא בסיס החזקה.
5 הוא מעריך החזקה.

מעריך החזקה הוא זה שקובע כמה פעמים המספר יופיע בפעולת הכפל:
3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 35

2.מספרים בחזקת 1 או חזקת 0

כל מספר בחזקת 1 שווה למספר עצמו:
5 = 51,     12 = 121,       8 = 81.

הסיבה לכך היא שאמרנו שמעריך החזקה הוא מה שקובע כמה פעמים המספר יופיע, ואם כתוב שהוא מופיע פעם אחת אז הוא מופיע פעם אחת.
4 = 41

כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1.
1 = 40,     1 =  90,      ,1 = 70.

לדבר זה אין סיבה הגיונית אלא זו הגדרה מתמטית.

2. כתבו את הביטויים הבאים בכתיב חזקות

  1. 3*3*3*3*3 =
  2. 6*6=
  3. 20*20*20*20=
  4. x*x*x=
  5. 4³ * 4² =

פתרונות

  1. 3*3*3*3*3 = 35
  2. 6*6=62
  3. 20*20*20*20=204
  4. x*x*x=x3
  5. 4³ * 4² =  4*4*4*4*4 = 45

3. מצאו כמה הביטוי שווה

פתרו את התרגילים הבאים:

  1. 42=
  2. 23=
  3. 31=
  4. 0.13=
  5. 0.5² =
  6. 0.31=

פתרונות

  1. 16 = 4 * 4 = 4²
  2. 8 = 2 * 2 * 2 = 2³
  3. 3 = 3¹
  4. 0.001 = 0.1 * 0.1 * 0.1 = 0.1³
  5. 0.25 =  0.5 * 0.5 = 0.5²
  6. 0.3 = 0.3¹

תרגילים בהם יש מכפלה של 2 ביטויים עם חזקות ואותו בסיס

הכוונה היא לתרגילים כאלו 44*42=
אם נפרק את החזקה נקבל 4= 4*4*4*4*4*4
לכן הכלל הוא שבמקרה של מכפלה של חזקות עם אותו בסיס מחברים את מעריכי החזקה.
510 = 54*56
x4*x3 = x7

דוגמאות:
2 * 2 * 2 * 2 = 2² * 2²
7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 7² * 7³
6 * 6 * 6 * 6 = 6 * 6³

הערה
שימו לב להבדל בין שני התרגילים:
2 * 2 * 2 * 2 = 2² * 2²
לעומת
2*2 + 2*2 = 2² + 2²

4.מינוס בתוך הסוגריים ומחוץ לסוגריים

האם יש הבדל בין התרגילים:
²(3-)
3²-

יש הבדל.
כאשר המינוס בתוך הסוגריים אנו מעלים את המספר ואת המינוס בחזקה:
9 = (3-) * (3-) = ²(3-)

לעומת זאת כאשר המינוס מחוץ לסוגריים המינוס נשאר מחוץ לפעולת החזקה ומצטרף רק לתוצאה הסופית.
כלומר תוצאה של תרגיל כזה היא תמיד שלילית.
9- = (3 * 3) – = 3²-

דוגמאות נוספות למינוס בתוך הסוגריים:
25 = (5-) * (5-) = ²(5-)
100 = (10-) * (10-) = ²(10-)

8-  =(2-) * (2-) * (2-) = ³(2-)
1000-  =(10-) * (10-) * (10-) = ³(10-)

דוגמאות נוספות למינוס מחוץ לסוגריים:
25- = (5 * 5) – = 5²-
100- = (10 * 10) – = 10²-

8- = (2* 2 * 2) – = 2²-
100 – = (  10 * 10) – = 10²-

*הערה
כאשר המינוס מחוץ לסוגריים תוצאת תמיד תהיה שלילית.
כי אנו מוסיפים את המינוס לאחר ביצוע החזקה.

5.מדוע כאשר המינוס בתוך הסוגריים והחזקה זוגית התשובה חיובית וכאשר החזקה אי זוגית התשובה שלילית?

דבר זה נובע מכך שמספר שלילי כפול מספר שלילי שווה למספר חיובי.
לכן כאשר יש מספר זוגי של מספרים שליליים הכפולה שלהם אחד בשני הופכת אותם לחיוביים.

= (2-) * (2-) * (2-) * (2-) = 4(2-)
= (2-) * (2-) * 4 = 4(2-)
16 = (2-) * 8- = 4(2-)

מכפלה של כל זוג מספרים שליליים הופכת לחיובית

כאשר החזקה היא אי זוגית
לעומת זאת כאשר יש מכפלה של מספר אי זוגי של מספרים שליליים.
כל זוג של מספרים הופך לחיובי אבל תמיד נשאר אחד "ללא זוג" והופך את התרגיל כולו לשלילי.

(2-) בחזקת 3 נותן תשובה שלילית כי 2- אחד הופך את התוצאה לשלילית
(2-) בחזקת 3 נותן תשובה שלילית כי 2- אחד הופך את התוצאה לשלילית
גם (2-) בחזקת 5 נותן תוצאה שלילית
גם (2-) בחזקת 5 נותן תוצאה שלילית

6. סדר פעולות חשבון וחזקות

חזקה קודמת לארבעת פעולות חשבון אך לא קודמת לסוגריים. למשל:

דוגמה 1 
= 2+4²
= 2+16
18

בתרגיל זה ביצענו את פעולת החזקה לפני פעולת החיבור.

דוגמה 2
= 3²*2
= 9*2
18

בתרגיל זה ביצענו את פעולת החזקה לפני פעולת הכפל.

דוגמה 3
= ²(2+3) + 4
= 5² + 4
29 = 25 + 4

בתרגיל זה ביצענו את פעולת הסוגריים לפני פעולת החזקה.

דוגמה 4 (סוגריים קודמים לחזקה)
= (8 + 2) * 3²
= 10 * 3²
90 = 10 * 9

בתרגיל זה ביצענו את פעולת הסוגריים לפני פעולת החזקה.

פתרו את התרגילים הבאים

 

  1. 7+2²
  2. 3²-2³
  3. 2³+5²+2
  4. 4²*3
  5. 16:2²

פתרונות

7+2²
11 = 4 + 7 = 7+2²

3²-2³
1 = 8 – 9 = 3²-2³

2³+5²+2
35 = 2 + 25 +8 = 2³+5²+2

4²*3
48 = 16 * 3 = 4²*3

16:2²
4 = 4 : 16 = 2² : 16

7. קצב השינוי בחזקה הוא מהיר

קצב ההשתנות של חזקה הוא קצב מהיר:
כלומר ההבדל בין 10² ל 104 הוא הבדל גדול יחסית:
100 = 10 * 10
10,000 = 10 * 10 * 10 * 10 = 104

דוגמה נוספת:
27 = 3³
729 = 36
19,683 = 39

שימו לב שכאשר בסיס החזקה הוא שבר ערך תוצאת החזקה תרד:
0.25 = 0.5²
0.015625 = 0.56

8. בעיות מילוליות עם חזקות

תרגיל

לחוטב עצים יש מכונה החותכת עץ ל -2 פעם בשעה. לאחר מיכן לוקחת את העצים שנוצרו וחותכת אותם ל- 2 פעם בשעה. וכו…. החוטב הכנס למכונה עץ אחד.

  1. כמה עצים יהיו במכונה כעבור 4 שעות?
  2. כמה עצים יהיו במכונה כעבור n שעות?

פתרון

אז כמה עצים יש במכונה?
בזמן 0 – 1 עץ.
בזמן 1 שעות – 2 עצים.
בזמן 2 שעות – 4 עצים.
בזמן 3 שעות – 8 עצים.
בזמן 4 שעות – 16 עצים.

אנו רואים שהביטוי 2n מבטא את כמות העצים לאחר n שעות.

**הרחבה:
ואם החוטב היה מכניס 2 עצים למכונה?

בזמן 0 -2 עצים.  (כלומר 21)
בזמן 1 שעות -4 עצים.  (כלומר 22).
בזמן 2 שעות – 8 עצים. (כלומר 23).
בזמן 3 שעות – 16 עצים. (כלומר 24).
בזמן 4 שעות – 32 עצים. (כלומר 25).

אנו רואים שלמקום ה- n מתאימה חזקה של n+1 לכן כעבור n שעות יהיו במכונה 2n+1.

 

שאלון טריוויה מסכם

קבעו האם כל תרגיל הוא נכון או לא נכון:

שאלה 1
הביטוי הבא הוא חיובי:
9(2-)

לצפייה בפתרון

לא נכון.

הפתרון המלא:
המינוס נמצא בתוך הסוגריים, אז החזקה נמצאת על המינוס.
ומאחר והחזקה אי זוגית אז התוצאה היא שלילית.

 

שאלה 2
הביטוי הבא הוא חיובי:
8(3-)

לצפייה בפתרון

נכון.

הפתרון המלא:
המינוס נמצא בתוך הסוגריים, אז החזקה נמצאת על המינוס.
ומאחר והחזקה זוגית אז התוצאה היא חיובית.

 

שאלה 3
הביטוי הבא הוא חיובי:
24

לצפייה בפתרון

לא נכון.

הפתרון המלא:
כאשר המינוס לא בתוך הסוגריים אז החזקה לא נמצאת על המינוס.
16- = (2 * 2 * 2 * 2)- = 24

 

שאלה 4
הביטוי הבא הוא חיובי:
33

לצפייה בפתרון

לא נכון.

הפתרון המלא:
כאשר המינוס לא בתוך הסוגריים אז החזקה לא נמצאת על המינוס.
27- = (3 * 3 * 3)- = 33

 

שאלה 5
44 = 5 – 2(4+3)

לצפייה בפתרון

נכון.

הפתרון המלא:
נפתור לפי סדר הפעולות:

  1. חיבור בתוך הסוגריים
  2. חזקה
  3. חיסור

= 5 – 2(4+3)
= 5 – 2(7)
44 = 5 – 49

 

שאלה 6
32 = 42 + 42

לצפייה בפתרון

נכון.

הפתרון המלא:
נפתור לפי סדר הפעולות:

  1. חזקות
  2. חיבור

= 42 + 42
32 = 16 + 16

 

שאלה 7
18 = 32 * 32

לצפייה בפתרון

לא נכון.

הפתרון המלא:
מאחר ובין הביטויים יש כפל (*),
אז ניתן לחבר את החזקות (לא את הביטויים) כך:
81 = 34 = 32 * 32

 

שאלה 8
1 = 01

לצפייה בפתרון

לא נכון.

הפתרון המלא:
כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו.
לכן,
0 = 01

 

הנושא הממשיך את נושא החזקות הוא שורש ריבועי כיתה ז.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.